电磁场与电磁波(金立军版)第四章答案

， C2 e
ln a c b ln 1 ln a 2 c ln b b c ln 2 ln c 1 a ln a
e
C3
， C4 e
e
代入上式，得
1
ee
c b ln 1 ln a 2 c ln b e
2
1 d d r 0 r dr dr
设媒质 1 和媒质 2 的电位分别为 φ1 和 φ2，那么
1 ( ) C1 C2 ， 2 ( ) C3 C4
根据边界条件，得知
1 (a) e ， 2 (b) 0 ， 1 (c) 2 (c) ， 1
4-11 已知圆柱形电容器的长度为 L，内、外电极半径分别为 a 及 b，填充的介质分为两层，分界面半径 为 c。在 a<r<c 区域中，填充介质的参数为 ε1、σ1；在 c<r<b 区域中，介质参数为 ε2、σ2。若接上电动 势为 e 的电源。试求：①各区域中的电流密度；②内外导体表面上的电荷密度；③两种介质分界面上的 自由电荷密度。 解 ①建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为
er
电流密度为 J = E =
0
b r ln a

er
电流强度为 I

S
J dS 2
0
d
0
b a ln a
0
ad dz
d0
b 2 ln a
b 2 ln a。 由此求得两个表面之间的电阻为 R 0 I d
4 6 2
（b）电流密度 J I / S 1500 /(10 10 ) 1.5 10 A / m
4-2 在电场作用下，真空中电子运动的平均速度是 3×105m/s。若电流密度为 10A/cm2，求电子运动方 向假想垂直单位面积上的电子数。 解
4 19 N J / v/ e 1 0 1 0 / 3 5 1 0 / 1 .6 1 0 8 2 .1 0 8 10
e
2
e
b c ln 2 ln c 1 a
J1 J 2 1 E1
1 2 e
c b 2 ln a 1 ln c r
er
②r=a 表面上的电荷密度为
0
t
则初始电荷为 Q0 0.004C (c) t=2τ=0.04s 时，穿过包围面的总电荷为 Q2 0.00346C (d) 解方程 e
50t
0.1 ，得所需时间 t 0.0461s
4-6 设同轴电缆内导体半径为 a，外导体的内半径为 b，填充介质的电导率为 σ。根据恒定电流场方程， 计算单位长度内同轴线的漏电导。 解 设 r=a 时， φ=U；r =b 时，φ=0。建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为
sa en ( D1 D2 ) 1 E1n
1 2 e
c b 2 ln a 1 ln c a
r=b 表面上的面电荷密度为
sb en ( D1 D2 ) 2 E2 n
2 1e
2
1 d d r 0 r dr dr a
求得同轴线中的电位 φ 及电场强度 E 分别为
U ln ln ， E r b b
r
1
U er a ln b
则
J =E =
1 U er r a ln b
a c
4-12 有两块不同导电率的薄钢片构成一导电弧片，如题 4-12 图所示。若 σ1＝6.5×107S/m，σ2＝1.2× 107S/m，R2＝45cm，R1＝30cm，厚度为 2mm。电极间电压 U＝30V，电极的电导率 σ>>σ1，求：①弧 片内的电位分布（设 x 轴上的电极为零电位） ；②总流 I 和弧片电阻；③在分界面上， D 、 J 和 E 是否 突变？④分界面上的电荷密度 ρs。 解 J 线沿 Φ 方向，且垂直于电极，也垂直于等位线，因此 φ 仅与 Φ 有关。令 σ1 区和 σ2 区的电位分别 为 φ1、φ2，则 ①
2 U a ln b
单位长度内通过内半径的圆柱面流进同轴线的电流为
I J dS
S
那么，单位长度内同轴线的漏电导为
G
I 2 U a ln b
4-7 设双导线的半径为 a，轴线间距为 D，导线间的媒质电导率为 σ，根据恒定电流场方程，计算单位 长度内双导线之间的漏电导。 解 设双导线的两根导线上线电荷密度分别为+ρ 和-ρ，利用叠加原理和高斯定律可求得两导线之间垂 直连线上任一点的电场强度大小为



21 2 2
1 21 0 r 2 2 1 2 2 0 r 2 2
4-1 每立方米铜中大约有 8.5×1028 个自由电子。若铜线截面积为 10cm2，通过电流 1500A。求（a）电 子平均漂移速度； （b）电流密度。 解 （a）电子飘移速度 v
J


I /S 1500 /(10 104 ) 1.1 104 m / s 28 19 Ne 8.5 10 1.6 10
得出
1 r
r c
2
2 r
r c
C1
e c b ln 1 ln a 2 c e b c ln 2 ln c 1 a ln r c b ln 1 ln a 2 c ln r b c ln 2 ln c 1 a
G
I U
D
Da ( D a) ln( ) a
S /m
若 D>>a 则单位长度内双导线之间的漏电导为
G

D ln( ) a
S /m
4-8 已知环形导体尺寸如题 4-8 图所示。试求 r=a 与 r=b 两 间的电阻。 解 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为
个表面之
2
4mV0 a 2 M (ma ka 2 ) 4mV0 b 2 M (mb kb )
2
（d） Q内 sa S a

4mV0 a M (m ka ) 4mV0 b M (m kb )
Q外 sb S b

mV 0 （e） J ar Mr 2 4mV 0 （f） I
dl
A
Leabharlann Baidu
R
4r 2 ( m k )4r 2 4m ln abk am

a a
b
dr
b
dr
1
abk bm
r
I V0 / R
4mV 0 abk bm ln abk am
mV 0 ar abk bm 2 ln r abk am
J
I 4r
50t
4-5
A ，求（a）驰豫时间； （b）初
始电荷； （c）在 t＝2τ 时间内，通过包围面的总电荷； （d）电流衰减到初始值 10％所需要的时间。 解 （a） 1/ 50 0.02s (b) t 时间内穿过导体表面的电荷量为
Q 0.2e50t dt 0.004(1 e50t )C
4-3 一宽度为 30cm 的传输带上电荷均匀分布，以速度 20m/s 匀速运动，形成的电流所对应的电流强度 为 50μA，计算传输带上的面电荷密度。 解
S
J S I / L 50 106 / 30 102 8.33 106 C / m2 v v 20
4-4 （略） 孤立导体内有多余电荷，已知经电荷包围面流出的电流 i 0.2e
E
那么两导线之间的电位差为
1 1 2 r D r
Da
U
单位长度内两导线之间的电流大小为
a
E dr
Da ln( ) a
I J dS E dS
S S
D ( D a)
则单位长度内两导线之间的漏电导为
（b）电流密度与分界面法线的夹角
2 arctan( J 2t / J 2n ) arctan(2.5/ 43.3) 3.3
（c）分界面上的面电荷密度是
S J 2n (
2 1 4 9.6 ) 43.3( ) 8.854 1012 1.165 1010 C / m2 2 1 10 100
4-9 两半径分别为 a 和 b（b>a）的同心导电球壳之间填充了非均匀材料，其电导率 m / r k ，式 中 a r b ，且 m 和 k 均为常数。设内球壳电位为 V0，外球壳接地。计算（a）媒质的电阻； （b）每 个球的面电荷密度； （c）媒质中的体电荷密度； （d）每个球体上的总电荷； （e）区域中的电流密度； （f） 通过区域的电流。问当 m→0 时，电阻是多少？ 解 （a）利用 dR
2
ar
J E

mV 0 ar abk bm ln (mr kr 2 ) abk am
（b）内壳外表面
sa D n内 E a
外壳内表面
mV0 mV0 2 abk bm ln (mr kr 2 ) M (ma ka ) abk am
mV0
M (mb kb 2 )
sb ( Dr外 0)( a r )



（c） v D
mV0 mV0 1 2 1 2 (r Dr ) [r ] 2 r 2 r 2 r r M (mr kr ) M (m kr ) 2 r 2
c b 2 ln a 1 ln c b
③两种介质分界面上的自由电荷密度
sc en ( D1 D2 ) (
1 2 (1 2 2 1 )e ) J1n 1 2 c b 2 ln 1 ln c
1 d d r 0 r dr dr
题 4-8 图
该方程的解为 (r ) C1 ln r C2 令 (a) 0 ， (b) 0 ， 求得常数 C1
0
b ln a
。那么，电场强度为
E(r) = -
d dr
0
b r ln a
J 2 n J1n 50 cos 30 43.3 A / m 2 E2t E1t J1 sin 30
1

50sin 30 0.25V / m 100
J 2t 2 E2t 2.5 A / m 2 J 2 ( J 2 n 2 J 2t 2 )1/ 2 43.37 A / m 2
M m
ln R lim
m
abk bm abk am lim ln(abk bm) ln(abk am) 4m 4m m
b a abk bm abk am b a lim 4 4abk m
4-10 媒质 1 的电导率为 100S/m，相对电容率为 9.6，其中的电流密度为 50A/m2，和分界面法线的夹角 为 30º。如果媒质 2 的电导率为 10S/m，相对电容率为 4，其中电流密度是多少？它和分界面法线的夹 角是多少？分界面上的面电荷密度是多少？ 解 （a）电流密度