线性控制理论第5章 线性系统的综合设计

~~ ~ ~ x Ax b u ~~ y c x
（5-14）
式中
0 P 1AP A 0 a0
1 0 a1
0 1 an 1
cP c0 c1 cn1 c
图5-1中被控系统 0 A, B, C 的状态空间表达式为
Ax Bu x y Cx Du
（5-1）
式中，x —n维状态向量，u —r维输入向量， y —m维输出向量，A —nn矩阵， C —mn矩阵， B —nr矩阵， D —mr矩阵。
状态反馈控制律为
（5-3）
若 D 0 ，则
( A BK ) x Br x y Cx
（5-4）
简记为
( A BK ), B, C
K
经过状态反馈后，系统的传递函数阵为
GK (s) CsI ( A BK ) B
1
B
由此可见，经过状态反馈后: 输入矩阵B和输出矩阵 C 没有变化，仅仅是系 统矩阵 A 发生了变化，变成了 A BK ； 状态反馈阵 K 的引入，没有引入新的状态变量， 也不增加系统的维数，但通过 的选择可以有条件 K 自由改变系统的特征值，从而使系统获得所要求的 性能。
K 阵是存在的 由于P 为非奇异变换阵，所以
（2）必要性：如果被控系统通过状态的线性反 馈可实现极点的任意配置，需证明被控系统的状态 是完全能控的。 采用反证法，假设被控系统可实现极点的任意配 置，但被控系统的状态不完全能控。 将系统分解为能控和不能控两部分，即
Ac A12 b1 x x u 0 0 Ac y c1 c2 x
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
无论是在经典控制理论中，还是在现代控 制理论中，反馈都是系统设计的主要方式。 经典控制理论是用传递函数来描述系统的， 因此，只能从输出引出信号作为反馈量。 现代控制理论使用系统内部的状态来描述 系统，所以除了可以从输出引进反馈信号外， 还可以从系统的状态引出信号作为反馈量以实 现状态反馈。
采用状态反馈不但可以实现闭环系 统的极点任意配置，而且它也是实现系 统解耦和构成线性最优调节器的主要手 段。
5.1.1 状态反馈 状态反馈就是将系统的状态向量通过线性反馈 阵反馈到输入端，与参考输Leabharlann Baidu向量进行比较，然 后产生控制作用，形成闭环控制系统。 状态反馈系统框图如图5-1所示。
图5-1多输入多输出系统的状态反馈结图
~~ u r Kx
将上式代入式（5-14）中，可求得对 ~ x 的闭 环系统的状态空间式为
~ ~~ ~ ~ ~ x (A bK)x br ~~ y c x


式中
0 1 ( A bK ) 0 0 (a0 k1 ) (a1 k2 )
反馈 5.1.3 从输出到状态向量 x 线性反馈就是将系统的输出向量 从系统输出到 x ，形成闭环 通过线性反馈阵，反馈到状态向量导数 x 控制系统。这种反馈形式在状态观测器中获得应用。
多输入多输出系统从输出到反馈如图5-3所示。
图5-3多输入多输出系统从输出到
x
反馈结构图
图5-3中被控系统 A, B, C 的状态空间表达式为 Ax Bu x （5-9） y C x D u
0 ~ b P 1b 0 1
被控系统 0 A, b, c 的传递函数为
n 1 c s c1s c0 1 n 1 G 0 (s) c( sI A) b n （5-15） n 1 s an1s a1s a0
第 5章 状态反馈和状态观测器
知识要点：
利用状态反馈任意配置系统的极点;
利用输出到反馈任意配置观测器的极点；
串联解耦和反馈解耦的可解耦性条件，解耦 控制的设计方法步骤； 理解分离定理，分别独立设计矩阵K 和L ，
以构成状态反馈的闭环控制系统。
目 5.1 5.2 5.4 5.5 5.6
录
线性反馈控制系统的基本结构 系统的极点配置 状态观测器的设计 带状态观测器的闭环控制系统 利用MATLAB实现系统的状态反馈 和状态观测器 小结 习题
A LC x B LDu x y Cx Du
（5-11）
D 0则 若，
A LC x Bu x y Cx
（5-12）
简记为 L A LC , B, C 。
闭环系统的传递函数阵为
GL ( s) CsI ( A LC) B
f K (s) sI ( A bK)
f * (s) (s 1 )(s 2 )(s n )
1
则G0 (s)和 G H (s) 有如下关系
GH (s) G0 (s)I HG0 (s)
1
由此可见，经过输出反馈后: 输入矩阵B和输出矩阵C没有变化，仅仅是系统 矩阵 A 变成了 A BHC ； 闭环系统同样没有引入新的状态变量，也不增加 系统的维数。 由于系统输出所包含的信息不是系统的全部信息， 即m<n，所以输出反馈只能看成是一种部分状态反馈。
u I HD r HCx
1
再将上式代入（5-5），可得输出反馈闭环系统 的状态空间表达式为
1 1 x A B I HD HC x B I HD r （5-7） 1 1 y C DI HD HC x DI HD r
u r Kx
（5-2）
式中, r—r维参考输入向量，K —rn状态反馈 矩阵。对于单输入系统， K —1n行矩阵。 把式（5-2）代入式（5-1）中整理后，可得状 态反馈闭环系统的状态空间表达式为
( A BK ) x Br x y (C DK ) x Dr

(an 1 kn ) 0 0 1
~ c ~ ~ c b 和 阵不变。 阵不变表明增加状态反馈 后，而不能改变传递函数的零点。
其对应的特征多项式为
n n 1 fK ( s ) s ( a k ) s ( a k ) s ( a k n 1 n 1 2 0 1)
5.1.2 输出反馈 输出反馈就是将系统的输出向量通过线性反馈 阵反馈到输入端，与参考输入向量进行比较，然后 产生控制作用，形成闭环控制系统。
图5-2多输入多输出系统的输出反馈结构图
图5-2中被控系统 0 A, B, C 的状态空间表达式为
Ax Bu x y Cx Du
sI ( Ac b1 K c ) sI Ac
由此可见，利用状态的线性反馈只能改变系统 能控部分的极点，而不能改变系统不能控部分的极 点，也就是说，在这种情况下不可能任意配置系统 的全部极点，这与假设相矛盾，于是系统是完全能 控的。必要性得证。
求取状态反馈阵 K 的方法 方法一：
根据
0
式中，x —n维状态向量， u —r维输入向量， y —m维输出向量， A —nn矩阵， . B —nr矩阵， C —mn矩阵， D —mr矩阵。 的线性反馈，可 加入输出到状态向量导数 x 得闭环系统 Ax Ly Bu x （5-10）
y Cx Du
式中, L 为nm线性反馈矩阵。对单输出系统, L 为n1列矩阵。 把式（5-9）中 y 代入式（5-10）中整理后，得
引入状态反馈
u r Kx
式中
系统变为
K K c
Kc
Ac b1K c x 0 y c1 c2 x
b1 A12 b1K c x r Ac 0
相应的特征多项式为
sI ( A b K ) sI ( Ac b1K c ) ( A12 b1K c ) 0 sI Ac


A BHC x Br x D 0 若， 则 y Cx
（5-8）
简记为
A BHC, B, C
H
经过输出反馈后，系统的传递函数为
GH (s) CsI A BHC B
1
若原被控系统的传递函数阵为
G0 (s) C sI A B
因为线性变换不改变系统的特征值，故系统 0 ( A, b,c) 的特征多项式为
s n a s n 1 a s a f ( s) sI A sI A n 1 1 0
（5-16）
在能控标准型的基础上，引入状态反馈 式中
~ ~ ~ ~ K k1 k2 kn
（5-17）
闭环系统的传递函数为
n 1 c s c1s c0 n 1 GK ( s ) c s I ( A bK ) b )s n1 (a k ) s (a k ) s n (an1 k n 1 2 0 1 1
假如任意提出的n个期望闭环极点为 1 , 2 ,n ， 期望的闭环系统特征多项式为
f * (s) (s 1 )(s 2 )(s n )
s a s
n
* n1 n1
a s
* n 2 n 2
a
* 0
（5-18）
令 s 的同次幂的系数相等，则有 a* a (i 1,2, n) k i i 1 i 1
k k k 于是得 K n 1 2 （5-19） * * * a0 a0 a1 a1 an1 an1
~ K 该结果表明 是存在的。
u r Kx r KP~ x
和
~~ u r Kx
~ K KP 1
可得到原系统 0 ( A, b,c) 的状态反馈阵 K 的表达式为
1
的 由此可见，从系统输出到状态向量导数 x 线性反馈： 输入矩阵 B 和输出矩阵 C 没有变化，仅仅是系 统矩阵 A 变成了 A LC ； 闭环系统同样没有引入新的状态变量，也不增 加系统的维数。
5.2系统的极点配置
所谓极点配置： 就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极 点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期 望的动态性能。 本节重点讨论单输入单输出系统在已知期望极 点的情况下，如何设计反馈增益矩阵。
5.2.1 采用状态反馈实现极点配置 单输入单输出线性定常系统通过状态反馈， 得闭环系统的状态空间表达式为
( A bK ) x br x y cx
式中，反馈矩阵 K 为 1 n 的矩阵。
（5-13）
定理5-4 通过状态的线性反馈，可实现闭环 系统 K A bK,b,c 极点任意配置的充分必要条件 是被控系统 0 ( A, b,c) 的状态是完全能控的。 证明：（1）充分性：若被控系统的状态是完 全能控的，那么闭环系统必能任意配置极点。 x 线性变换，将其化成能控标准型 利用 x P~
（5-5）
式中， x —n维状态向量， u —r维输入向量， y —m维输出向量， A —nn矩阵， B C —mn矩阵， —nr矩阵， D —mr矩阵。
输出反馈控制律为
u r Hy
（5-6）
式中, r—r维参考输入向量， H—rm输出反馈矩阵。 把式（5-5）的输出方程代入式（5-6）中整理后，得