超静定结构的解法

8.1 超静定结构及超静定次数的确定
课堂练习： 判定下列结构的超静定次数：
3
3
3
3
n12
2
3
1
n6
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
课堂练习： 判定下列结构的超静定次数：
1
1
1
n3
3
n3
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
组成无多余约束几何不变体系的基本规则： (1) 两刚片法则： 两个刚片用三根不共点的链杆相连，或者，两刚片用 一铰和一不通过铰心的链杆相连，可组成一个无多余约束 的几何不变体系。 (2) 三刚片法则（三角形法则）： 三刚片用不共线的三个铰两两相连，可组成一个无多 余约束的几何不变体系。 (3) 二元体法则： 在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几 何组成性质。
P A
X2
C
X3
X3
位移条件：
P
X1
X1
(a) B
X2
(b)
∆1=0 ∆2=0
原结构
静定基 位置
D1 D2
DD12PPDD12XX1 1DD1X22X2DD1X23X300
D3 D3P D3X1 D3X2 D3X3 0
∆3=0
原因
8.2 力法和典型方程
➢力法的典型方程： 定义： δi j：由Xj=1引起的沿Xi方向的位移
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
课堂练习： 判定下列结构的超静定次数：
(a) 1次 (c) 1次
(b) 2次
(e) 1次
(f) 3次
(c) 4次
(g) 3次
(i) 4次
(h) 9次
8.2 力法和典型方程
8.2 力法和典型方程
力法：以力为未知数求解超静定问题的方法。
求解超静定问题的方法有多种，力法是最基本、也是历史最悠 久的一种。它是以多余约束力为未知数，列出变形补充方程求解 后，其他未知力和变形等就可按静定结构来计算。
M M P X 1 M 1 0 X 2 M 2 0 X 3 M 3 0
6)校核：求得多余约束力后，再按计算静定结构位移的方法，计算一 下超静定结构的位移，看它是否满足巳知的变形条件或连续性条件。如 满足，则结果正确。
力法解超静定：
q
原结构
A
l
q
静定基
A
q
A
A
A
8.2 力法和典型方程
解: 1、确定静定基
d 21
d
' 21
(d)
d 22
d
' 32
(e)
d 23
d
' 23
(f )
8.2 力法和典型方程
➢力法的典型方程：
δi j：由Xj=1引起的沿Xi方向的位移 位置 原因
D 1P
D 3P
d 31
d 11
d
' 31
d 12
d 32
d
' 12
P
D 2P
d 21
d
' 21
(c) (d)
d 22
d
' 32
(e)
d 33
d 13
d
' 33
d 23
d
' 23
(f )
D1 D2
DD12PPDD12XX1 1DD1X22X2DD1X23X300
d D1X1 11X1 D2X1 d21X1
D3 D3P D3X1 D3X2 D3X3 0 D3X1 d31X1
D1X2 d12X2 d D2X2 22X2 D3X2 d32X2
D1X3 d13X3 D2X3 d23X3 D3X3 d33X3
8.2 力法和典型方程
➢力法的典型方程：
dij d ji ——位移互等定理
D1
D1P
d11X1
d12X2
d13X3
0
D2 D2Pd21X1d22X2 d23X3 0
D3 D3Pd31X1d32X2 d33X3 0
(8-1)
典型方程
X1
X1
X2 X2 X3
X3 X2
X3 X3 X2
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
解除多余约束的几种情况： 1. 去掉一个支座链杆相当于解除1个约束。 2. 在杆件内添加一个铰，相当于解除1个约束； 3. 去掉一个固定铰支座,或拆开一个单铰相当于解除 2个约束； 4. 去掉一个固定端支座相当于解除3个约束； 5. 切断一根梁（杆）或切开一个闭合框相当于解除3 个约束;
M P ( x ) — — 荷 载 单 独 作 用 时 ， 静 定 基 的 弯 矩 ;
8.2 力法和典型方程
n次超静定结构：
d d d 11X112X21nXnD1P0 d d d 21X122X22nXnD2P0
d d d n 1 X 1n 2 X 2 n n X n D n P 0
——力法典型方程
B
X2
X1
X1
X1
X2 X2
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
解除多余约束的几种情况： 4.去掉一个固定端支座相当于解除三个约束；
X3
X1
X2
X1 X2 X3
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
解除多余约束的几种情况：
5.切断一根梁相当于解除三个约束。
或：切开一个闭合框相当于解除三个约束。
X1
X1
4）系数、自由项的含义：位移
dii:由Xi 1引起的 Xi方 沿向产生的 dij:由Xj 1引起的 Xi方 沿向产生的位
D i P : 由 荷 载 引 起 的 沿 X i 方 向 产 生 的 位 移
8.2 力法和典型方程
力法的解题步骤：
1、确定静定基 2、列力法方程 3、求系数、自由项(画各弯矩图，图乘法） 4、解方程求多余力 5、画内力图 6、校核
C
X2 X3
X3
位置 原因
P
P X1
X1
X2
(a)
(b)
∆iP：由外荷载引起的沿Xi方向的位移
A
B
由外荷载引起的位移：
D 1P
D 3P
原结构
静定基
P
D 2P
由X1=1引起的位移 由X2=1引起的位移 由X3=1引起的位移
(c)
d 31
d 11
d
' 31
d 12
d 32
d
' 12
d 33
d 13
d
' 33
EI
l 3
2
4
8EI
l M10图
X1=1
5、解方程求X1
△1P 等于X1=1产生的弯矩图与 外荷载弯矩图互乘/EI；
X1
D1P
d11
3ql 8
8.2 力法和典型方程
q
原结构
B
A
l
X1
D1P
d11
3ql 8
静定基
A
q
A
l
q
6、求原结构的反力和内力
B
X1
反力:根据整体平衡求支座反力
作内力图:
X1 X1
可变体系 X1
静定基不唯一
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
解除多余约束的几种情况： 2. 在杆件内添加一个铰，相当于解除一个约束；
X3
X1
X2
也称：刚结点（刚性联结）变铰结点相当于解除一个约束；
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
解除多余约束的几种情况： 3.去掉一个固定铰支座,或拆开一个单铰相当于解除 两个约束；
A
FB
C
A
FB
C
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
➢超静定次数的确定：
超静定次数=多余约束的个数 确定方法：如果从原结构中去掉n个约束后，结构成为静 定结构，则原结构的超静定次数=n
B
BX 1
n 1
A
A
X 1 ——多余约束力
静定基：超静定结构解除多余约束后得到的几何不变体，称 为该超静定结构的静定基。
q
A
l
B
l
5、解方程求X1
q
B
X1
X1
D1P
d11
3ql 8
B
6、求原结构的反力和内力
3
ql
反力:根据整体平衡求支座反力
8
ql 2 / 8
内力: MM10X1MP
M图
ql 2 / 8
M Al8 3ql1 2ql21 8ql2(上 拉 ）
8.2 力法和典型方程
力法的思路：
1、去掉多余约束，代以多余约束力，确定静定基； 2、以多余约束力为基本未知量，由位移条件建立力法方程； 3、解方程求多余约束力，进而求超静定结构的内力。
和杆件内力，这种结构称为超静定结构。
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
➢超静定结构的特性：
1.超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，求解内力 必须考虑变形条件。
2.超静定结构的内力与材料的物理性质和截面的几何性质有关。 （EI）
3.超静定结构在支座移动、温度改变等因素下，会产生内力。
4.超静定结构的局部位移和内力比静定结构小。
第八章
超静定结构的解 法
第八章 主要内容
8-1 超静定结构及超静定次数的确定 8-2 力法和典型方程 8-3 对称性的利用
重点：力法
本节内容
8.1 超静定结构及超静定次数的确定 8.2 力法和典型方程
8.1 超静定结构 及超静定次数的确定
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
➢ 超静定结构：几何不变体系，有多余约束。 不能利用静力平衡条件求出结构的全部支座反力
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
➢超静定次数的确定：
超静定次数=多余约束的个数 超静定结构根据解除约束的不同可以有多种静定基。
X1 X1 X2X2 X3 X3
n3
n 3 X 1 X 1 X 2 X 2 X 3 X 3
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
解除多余约束的几种情况： 1. 去掉一个支座链杆相当于解除一个约束。
δ11 =单位多余力产生的弯矩图自乘/EI；
D1P
MP(x) M10(x) dx
l
EI
1 EI
1 3
l
ql2 2
3l 4
Байду номын сангаас
ql4 8EI
△1P =单位多余力产生的弯矩图乘外荷 载弯矩图/EI；
8.2 力法和典型方程
力法的基本思路：
q
δ11 X1+∆1P=0 ——力法方程
原结构
A
静定基
A
其中
DiP i
li MEi0iM Ii Pdsi ——由外荷载引起的沿Xi方向的位移
d d ij i
li M E i0 iM Ii0 jdsii
li M E 0 jiM Iii0dsiji
——Xj=1由外荷载引起的沿Xi方向的位移
M i 0 ( x ) 、 M 0 j ( x ) — — 为 单 位 力 X i 1 、 X j 1 单 独 作 用 时 ， 静 定 基 的 弯 矩 ;
（为书写简便省略上划线）
1） 主系数： δi i> 0
等于Xi=1产生的弯矩图自乘/EI； 静定基的弯矩图
2） 付系数： δi j （i≠j） 可负，可正，零
dij dji 位移互等定理等于Xi=1、Xj=1产生的弯矩图互乘/EI；
3） Δ i P :自由项
等于外荷载弯矩图与Xi=1产生的弯矩图互乘/EI；
力法的基本思路：
1. 解除多余约束，使之成为静定结构——静定基； 2. 在静定基上施加与多余约束相对应的多余力——基本
未知量； 3. 应用变形条件求解多余约束力。
8.2 力法和典型方程
力法的基本思路：
q
解: 1、确定静定基 2、分析位移条件:B点处
原结构
A
l
B
原结构: ∆B=0
q
静定基:
q单独作用下:∆1P
静定基
A A A
B
X1
q
B
D1P
D11
B X1
d11
X1单独作用下:∆11 ∆11 +∆1P=∆B=0 3、建立方程： ∆11 =δ11X1
设δ11 ：单位多余力作用下，静定基 在去掉多余约束处的位移；
δ11 X1+∆1P=0 ——力法方程
A
B X1=1
δ11：系数
∆1P：自由项
8.2 力法和典型方程
X1=1
4、求系数δ11 和自由项∆1P
l d δ11 等于X1=1产生q 的弯矩图自乘/EI； 1 1lM 1 0(x) E IM 1 0(x)d xE 1 I l2 2 2 3 l3 lE 3 I
A
ql 2 / 2 MP图
B
D1P
D1P
MP(x) M10(x) dx
l
EI
1 1 ql2 3l ql4
力法的要点：
1、基本未知量——多余约束力； 2、位移条件：基本结构在多余约束力和荷载共同作用下, 在去掉多余约束处的位移等于原结构的实际位移。
8.2 力法和典型方程
➢力法的典型方程：
以一封闭刚架为例：
设在刚架中央截面C处截开，得两个半刚 架的静定基，超静定次数为3，故加三对多余 约束力X1， X2， X3以取代解除的约束作用；
B
2、位移条件:B点处
原结构: ∆B=0
B
静定基:
q单独作用下:∆1P
X1
X1单独作用下:∆11
B
D1P
D11
B X1
d11
∆11 +∆1P=∆B=0 ∆11 =δ11X1 3、建立方程：
δ11 X1+∆1P=0
B X1=1
8.2 力法和典型方程
d11
A
B X1=1
δ11 X1+∆1P=0
M10图
8.2 力法和典型方程
力法的解题步骤： 1)判断结构的超静定次数； 2)解除多余约束，代以相应的多余约束力Xi，选好静定基； 3)分别求出外荷载和多余约束力在静定基的解除约束处和其约束相
应的位移 D iP ,d ij ；
4)将 D iP ,d ij 代入典型方程，求出多余约束力Xi； 5) 用叠加法作出超静定结构的内力图后，可进行各种计算。以 作弯矩图为例，本题中的弯矩计算式可写为：
力法的基本思路：
d11
A
B X1=1
M10图
l
M10图
l
X1=1 X1=1
q
B
A
D1P
ql 2 / 2
MP图
M10图 l
X1=1
δ11 X1+∆1P=0 ——力法方程
δ11：系数
∆1P：自由项
4、求系数δ11 和自由项∆1P
d 1 设 在1 δ去1l1掉M ：1 多0 单(余x 位) E 约IM 多束1 0 余(处x 力)d 的作x 位 用移E 1 下I； ，l2 2 静 定2 3 l基3 lE 3 I