第二章 波动方程和平面波解

可得
r
rr
( f F) f F F f
r
r
r
( fF) f F f F
E r E0 exp ik r E0 exp ik r ik E0 exp ik r ik E r
和
E r E0 exp ik r exp ik r E0 ik exp ik r E0 ik E0 exp ik r ik E r
c
j
1
j
j
本征阻抗
c
c
j
2π f ej45o (1 j) π f
良导体中电磁波的磁场强度的相位滞后于电磁强度45o。
令
c (1 j)
πf
RS
jX S
ZS
表面阻抗
RS
1
表示厚度为
的导体每平米的电阻，称为导体的表面电阻率
X S 称为表面电抗
《高等电磁场理论》
13
表 一些金属材料的趋肤深度和表面电阻
材料名称 电导率σ /(S/m) 趋肤深度δ /m
银
6.17×107
紫铜
5.8×107
铝
3.72×107
钠
2.1×107
黄铜
1.6×107
锡
0.87×107
石墨
0.01×107
《高等电磁场理论》
0.064 / f 0.066 / f 0.083/ f 0.11/ f 0.13/ f 0.17 / f 1.6 / f
f
jk j (1 j )1 2 j
π f
2 相速： v 2
π f
ej45o (1 j)
2
f
《高等电磁场理论》
11
趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能 存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。
趋肤深度（）：
Eme
Em e
1
1
1
π f
Em
Em e
趋肤深度
铜：
f 50Hz， 6.6102 9.33103 m
50
4π 107 H/m f 1MHz， 6.6 102 6.6 105 m
5.8 107S/m
106
f 10GHz， 6.6 102 6.6 107 m
《高等电磁场理论》
10 109
良导体： 1
vphase
k
0 0
k 0
vgroup
1 dk
d
dk 0
d 0
若波数k不是频率ω的线性函数，这时 vphase vgroup，且和
频率有关，这一类介质称为色散介质。 《高等电磁场理论》
y1
cos
1
t
z c
,
1
51
y2
cos 2
t
z c
,
2
49
《高等电磁场理论》
18
E
2
E0
cos
表面电阻RS /(Ω/m2)
2.52107 f 2.61107 f 3.26107 f
5.01107 f
14
4、 弱导电媒质中的均匀平面波(特例)
弱导电媒质： 1
(1 x)1/ 2 1 x 2
jk j (1 )1/2 j
j
2
2
c
c
(1 )1/2 j
(1 j ) 2
为电子浓度 为电子电量 为电子质量
《高等电磁场理论》
5000 1000
白天 夜间
F2
电离层电子密度的典型高度分布
F1
100
50 107
109
1011
电子数 m3
130km
E 90km
D C
70km 50km
1013
电离层各层电子浓度的最大值
D层
E层
F1层
F2层
高度范围
60～90 km
电子浓度最大值（个/m3） 109~1010
2
1
设波沿z传播
E E0 expkIzexp ikR z t
波的衰减长度（透入深度）为
dp
1 kI
波的相速
vphase kR
《高等电磁场理论》
10
3、良导体中的均匀平面波(特例)
良导体： 1
良导体中的参数
金、银、铜、铁、铝等金属
对于无线电波均是良导体。
例如铜： 1.041018
电子浓度最大值所在高度 约70 km
《高等电磁场理论》
90～150 km 109~1011 约110 km
150～200 km 1011 190～200 km
200～500 km 1011~1012 约300 km
对于非磁性等离子体
k
k
k2
2
200
1
2 p
2
设波矢量k沿z方向
情形一：电磁波频率大于等离子体频率， p
k
0 0
1
2 p
2
p
c
2
1
2 p
vphase
k
1 p
0 0
1
2 p 2
vgroup
1 k
c
k
1
1
2 p
2
《高等电磁场理论》 O
c
1
2 p 2
k c
vphase c vgroup c
k
vphase vgroup c2
若 p
则
k
0 0
1
2 p
2
c
1
2 p
Ssuarmfaecephwaisthe
kR
kI
之间的夹角为未知。 在半空间介质反折射情况需要通过边界条件才可确定。
若 kR // kI 例如平面波垂直于有耗介质表面入射时的透射波
kR2 kI2 2 2kR kI
《高等电磁场理论》
kR2
2
2
1
2
1
kI2
2
2
1
平面波情形有以下算子对应关系 ik
E i H H i E
E 0 H 0
ik E i H ik H i E
H 1 kE
E 1 k H
和
kE 0 kH 0
《高等电磁场理论》
E
1
k
1
k
E
1
2
k
k
E
E
k
k
1
2
E
k
k
色散关系
k k k 2 2
表示：平面波波矢量与介质本构参数之间关系
且
1 0
利用Taylor展开
2 0
其中 0 , 振0 为幅中心因频子率。
相位因子 E
2E0
cos
dk
d
0
z t exp
ik 0 z 0t
《高等电磁场理论》
E
2
E0
cos
dk
d
0
z t exp
ik 0 z 0t
上式表明窄带信号的传播应当区分两种传播速度：其 一为相速，即相位因子传播速度；其二为群速，即振 幅因子传播速度。
若 k kR ikI
则
k k k 2 2
E r E0 expik r E0 expkI rexpikR r
expkI r 表示振幅衰减，
kI
为波衰减方向；
expikR r
kR
代表波的相位传播； 可见在无耗介质中，如
为波的传播方向 果波矢量k是复数，波
则 kR2 kI2 2
《高等电磁场理论》
2、无耗和有耗介质中的平面波特征
情形一 ：无耗介质中平面波 、 为实数,k为实数
H 1 k E kˆ E 1 kˆ E
表明电磁场方向和传播方向三者相互垂直，成右手螺旋关系
真空
kˆ 为传播方向单位矢，波阻抗η
0 0
377E
《高等电磁场理论》
k H
无耗介质时，波矢量k也可能是复数
dk
d
0
z t exp
ik 0 z 0t
包络波，速度vg
z 载波，速度vp
《高等电磁场理论》
等离子体（plasma）是一种色散介质，其介电系数为
plasma
0
1
2 p
2
p
Nq2
m 0
朗缪尔
等离子体频率，或等离子体电子震荡频率，或Langmuir频率
其中：
N
q 1.61019 C m 9.11031kg
趋肤深度
2
(1 x)1/ 2 1 x 2
弱导电媒质中均匀平面波的特点
相位常数近似于理想介质中的相位常数 透入深度和频率无关 《高等电磁场理论》
5、相速群速和等离子体介质
设平面波沿z传播，信号为携带有多个频率成分的窄带信号
假设仅包含两个相近的频率成分，1 和 2 ，即
E E0 exp ik 1 z 1t E0 exp ik 2 z 2t
表示振幅衰减，
kI
为等振幅面的传播方向 ；
exp ikR r t 代表波的相位传播；
kR
为等相位面的传播方向
《高等电磁场理论》
非均匀平面波
——在有耗介质中等振幅面与等相位面可能不一致y
kR2 kI2 2
ki i r
kr
Media 1
x
Media 2
2kR kI
t kt
Surface with same amplitude
p
Nq2
m 0
1.12 1011 1.62 1038 9.11031 8.851012
0.03561016 0.189108 Hz 19MHz 《高等电磁场理论》
《高等电磁场理论》
高
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第二章 波动方程
电 磁
&平面波解
场 理
论
2.1介质中平面波
1、均匀介质中时谐场无源Maxwell方程
E i H H i E
E 0 H 0
电场的波动方程（Helmholtz方程） 2 E k 2 E 0, k k k 2 2
平面波解为
E r E0 expik r
《高等电磁场理论》
2 2
p
k c
1
O
k
《高等电磁场理论》
等离子体色散关系曲线
情形二：电磁波频率小于等离子体频率， p
则
kI
0 0
2 p
2
1
k
k
k2
2
200
1
2 p
2
E E0 expikzexp-it E0 expkIzexp-it
说明：电磁波沿z方向呈指数衰减，没有传播.
某电离层中电子密度 N 1.121011m3 可得
2kR kI 0
kR kI
的衰减方向必定与其传 播方向相互垂直，或者 说波的等振幅面与等相
《高等电磁场理论》
位面相互垂直。
情形二：有耗介质中平面波。
i
k kR ikI
k
k
kR2
kI2
i2kR
kI
2
2
i
E E0 exp kI r exp ikR r t
expkI r