高中数学论文集:用导数求几类参数问题
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用导数法求几类参数问题
何大柯 (浙江奉化武岭中学 315502)
导数及其思想方法是中学数学新增的内容,是中学数学知识的一个重要交汇点。纵观近几年的高考试题和各地的模拟试题,运用导数法求参数范围,是高考命题一个的新趋向,以此考查学生的函数方程、分类讨论和数形结合思想、代数推理能力、不等式技能及创新意识。下面举例探讨几类参数问题的导数求法,以展示导数的工具作用。
一、与函数单调性有关的参数问题
例1、(2004全国Ⅰ,文19)
已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围.
解:函数f (x )的导数:.163)(2-+='x ax x f
则0)(≤'x f (R x ∈)时,)(x f 是R 上是减函数
)(01632R x x ax ∈≤-+ .3012360-≤⇔≤+=∆<⇔a a a 且 所以,当))((,0)(,3R x x f x f a ∈≤'-≤知由时是减函数;
所求a 的取值范围是(].3,-∞-
评注:对三次函数求导,利用导函数为二次函数特点、结合二次函数的性质得以解决,体现了导数处理函数单调性的优点。
我们把问题一般化:
三次函数 f(x)=ax 3+bx 2+cx+d (a ≠0)⇒f '(x)=3ax 2+2bx+c
①若f(x)在R 上是增函数⇔f '(x)≥0,则a>0,且Δ≤0;
②若f(x)在R 上是减函数⇔f '(x)≤0,则a<0,且Δ≤0.
例2、(2005全国卷Ⅱ,理22) 已知a≥ 0 ,函数f(x) = ( 2x -2ax )x e
(1)当X 为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论;
(2)设 f(x)在[ -1,1]上是单调函数,求a 的取值范围.
解:(I )x e a ax x x x f )222()(2--+=' 令,0)(='x f
即2x +2(1-a )x -2a =0 得 11,112221++-=+--=a a x a a x 当x 变化时,()f x 、'()f x 的变化如下表
12当a ≥0时,1x <-1,2x )(,0x f ≥在()21,x x 上为减函数,在),(2+∞x 上为增函数,而当0
所以当112++-=a a x 时,)(x f 取得最小值
(II )当a ≥0时,)(x f 在[]1,1-上为单调函数的充要条件是12≥x 即1112≥++-a a ,解得a 4
3≥ 于是)(x f 在[-1,1]上为单调函数的充要条件是4
3≥a 评注:此题关键在于利用导数对极值点大小的判断,抓住极值点与所给区间的位置关系,数形结合,把问题解决。
二、与函数极值有关的参数问题
例3、(2004湖北文22)
已知c bx x x g b x x f c b ++=+=>->2)()(,0,1的图象与函数函数的图象相切。
(Ⅰ)求b 与c 的关系式(用c 表示b );
(Ⅱ)设函数),()()()(+∞-∞=在x g x f x F 内有极值点,求c 的取值范围 解:(Ⅰ)易求 .21c b +-=
(Ⅱ).43)(.
)(2)()()(22223c b bx x x F bc x c b bx x x g x f x F +++='++++==
当且仅当.),()(,0上有极值点在函数时+∞-∞>∆x F
24(3)0,33.12,123123.
074374 3.
(0,743)(743,).
b c b c b c b c c c c c c c c ∆=-><->=-+∴-+<-+><<->+-⋃++∞由得或或解之得或故所求的取值范围是 评注:三次函数 f(x)=ax 3+bx 2+cx+d (a ≠0)⇒f '(x)=3ax 2+2bx+c
<1>若f(x)在R 上无极值点⇔Δ≤0
<2>若f(x)在R 上有极值点⇔Δ>0
三、与方程有关的参数问题
例4、若关于x 的方程x 3-3x=a 有3个互不相等的实根,求实数a 的取值范围。 解:设f(x)= x 3-3x,y=a,∵=')(x f 3x 2-3=3(x-1)(x+1)
∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在[-1,1]上单调
递减,(1,+∞)单调递增
∴[f(x)] 极小值=-2,[f(x)] 极大值=2
要使直线y=a 与函数f(x)的图像有3个相异的交点,
只需a ∈(-2,2)
评注:通过构造函数,用导数求函数的极值,数形结合把问题巧妙解决。
例5、( 2005全国卷III ,理22) 已知函数()2472x f x x
-=-,[]01x ∈, (Ⅰ)求()f x 的单调区间和值域;
(Ⅱ)设1a ≥,函数g(x)=x 3-3a 2x-2a, []01x ∈,,若对于任意[]101x ∈,,总存在
[]001x ∈,,使得()()01g x f x =成立,求a 的取值范围
解:(Ⅰ)易求 ()f x 的值域为[]43--,
(Ⅱ)对函数()g x 求导,得 ()()223g x x a =-,
因此1a ≥,当()01x ∈,时, ()()2310g x a -≤,
因此当()01x ∈,时,()g x 为减函数,从而 ()()()10g x g g ∈⎡⎤⎣⎦,
又()21123g a a =--,()02g a =-,即当[]1x ∈0,时有
()21232g x a a a ⎡⎤∈---⎣⎦,
任给[]11x ∈0,,()[]143f x ∈--,,存在[]001x ∈,使得()()01g x f x =,则
[]2
123243a a a ⎡⎤---⊃--⎣⎦,,,即212341232a a a ⎧--≤-⎨-≥-⎩()() 解1()式得 1a ≥或53a ≤-,解2()式得 32
a ≤,又1a ≥, 故:a 的取值范围为312
a ≤≤ 评注:运用导数工具,理解方程内涵,自觉转化为集合观点思考问题、解决问题。
四、与不等式有关的参数问题
例6、(05浙江五校)
若存在正实数x ,使不等式
)1ln(1ln x
kx x x +>+成立,求实数k 的取值范围。 解:要使不等式)1ln(1ln x kx x x +>+成立,即 lnk 1(ln 2x x +-, 当0 x x +1ln + ln(1+x)- lnx 取最大值为ln2, ∴ln2≥lnk 时,存在正实数x ,使原不等式成立,即0 变式:对任意的正实数x ,使不等式 )1ln(1ln x kx x x +≤+恒成立,求实数k 的取值范围。 简析:lnk ≥x x +1ln + ln(1+x)- lnx 恒成立,lnk ≥y max = ln2,∴k ≥2 评注:对于不等式中存在性问题和恒成立问题向来是数学的难点之一,我们通过变量分离(或二次方程根的分布)、构造函数运用导数求出函数的最值,从而把问题巧妙解决 综上可知,运用导数法求有关的参数问题,体现了导数的工具性、现代性,使中学数学解题增添了新的活力。强化导数的应用意识,善于用等价转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法,不断提高解题的综合能力。