飞行模型
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2第三个月可以使用的飞机总数 等于第二个月的飞机总数 减去第二个月被击落的 架加上第二个购买的新飞机数 。第三个月可以使用的飞行员总数 等于第二个月可以使用飞机数目，减去第二个月执行过任务的 人，加上第二个月新招募的 ，再加上第2个月休假后归队的 个。则有：
3第四个月同第三个月的情况一样，即：
综上，得到这个约束最优化模型为：
5、假设每个月甲方执行飞行计划时，无任何飞机被击落；在他们返回途中有20%被击落。另外在训练、运送物资及闲置等时候飞机不会出事。
6、假设每月参与飞行的飞行员不再参与培训新飞行员的任务。
三
符号
变量说明
第 个月招聘的新飞行员数目, =1、2、3；
第 个月购买的飞机数目, =1、2、3；
第 个月可以使用的飞行员数目, =1、2、3、4；
摘要
甲方飞行员飞行计划可用线性规划的方法实现，求解目标为在满足供给的前提下，使总的费用最低的最优解。总费用为购买新飞机的花费、闲置的熟练飞行员报酬、教练和飞行员报酬（包括培训费用）、执行飞行任务的熟练飞行员报酬、休假期间的熟练飞行员报酬之和，其中执行飞行任务的熟练飞行员报酬和休假期间的熟练飞行员报酬是固定的，总费用不会受它们影响。对于这一类约束最优解的模型，首先计算出每个月可飞行的飞机数量、每个月可参与飞行的飞行员数量；其次，列出每个月的费用，我们可以根据题目给出要求写出对应的目标函数，其次再根据题目中的约束条件建立相应的约束函数；最后，用LINGO软件输入相应的代码，求出约束条件下目标函数的最优解。
x1+30>450;
x1+x2-180>450;
x1+x2+x3-510>=600;
x1<=570;
x2-19*x1<=-420*19;
x3-19*x1-19*x2<=-870*19;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);
结果：
Linearization components added:
对于本题我们建立的模型比较单一，这样是模型的推广受到一定的限制。
八
[1]赵静、但琦.数学建模与数学实验（第四版）.北京:高等教育出版社,2014
Total solver iterations: 2779
Model Class: MINLP
Total variables: 25
Nonlinear variables: 1
Integer variables: 21
Total constraints: 49
Nonlinear constraints: 1
Constraints: 35
Variables: 15
Integers: 15
Local optimal solution found.
Objective value: 67854.00
Objective bound: 67854.00
Infeasibilities: 0.1000000E-05
Extended solver steps: 33
每个月可以使用的飞行员数目和可以使用的飞机数目：
330
110
五
从表格中可以得到各项消费项目的费用，利用这些参数再结合对应的各个变量，便可以建立一个优化模型，运用线性规划的方法，通过LINGO软件便可以解出约束条件下的最优解，从而得到甲方人力，财力和物力的最佳分配。
1
模型：每名熟练飞行员作为教练每个月指导20名飞行员情况下。
第 个月可以使用的飞机数目, =1、2、3、4；
第 个月的教练数目, =1、2、3、4；
第一个月费用总额；
第二个月费用总额 ；
第三个月费用总额；
第四个月费用总额；
此次战斗中空投的总费用；
四
这个问题条件较多，看起来很复杂，但只要理解了这个题目中所描述的事实，我们可以建立一个约束最优化模型。首先，由题目可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员的数量是确定的，所以这部分的报酬是固定的，在优化目标中可以直接算出。
;
建立目标函数，使总的花费最低，即：
Min ;
建立约束条件，从题中很容易得到：
1第二个月可以使用的飞机总数 等于第一个月的飞机总数 ，减去第一个月被击落的 架，加上第一个购买的新飞机数 。第二个月可以使用的飞行员总数 等于第一个月可以使用的飞行员数目 ，减去第1个月执行过任务的 人，加上第一个月新招募的个 。则有：
Total nonzeros: 123
Nonlinear nonzeros: 1
Variable Value
W1 19422.00
W2 15604.80
W3 25315.20
W4 7512.000
Y1 60.00000
X1 444.0000
Y2 30.00000
X2 438.0000
Y3 80.00000
分析题目可得，每月的花费包括了：
1购买新飞机的费用；
2闲置的熟练飞行员的报酬；
3教练和新飞行员的报酬（包括培训费用）；
4执行飞行任务的熟练飞行员报酬；
5休假期间的熟练飞行员报酬；
每月总花费分别为：
1第一个月费用总额：
;
2第二个月费用总额：
3第三个月费用总额：
;
4第四个月费用总额：
;
所以，总的花费W示为：
七
本题中根据题目条件我们建立了一个约束最优化模型，这样的求解约束最优化模型的方法和思路可以用来求解任何约束最优化的问题，并且用LINGO软件可很方便的求解这一类问题，从而使得我们的模型易于理解和推广。由于题目的目标函数和约束函数都是线性的，则这一类问题也可以划分为线性规划问题，那么本题的方法也同样适用于求解非线性规划的问题。从这个角度来看，约束最优化问题和线性规划具有统一性。本题中这样的建模方法和求解思路可以用来求解实际生活中的很多问题，如合理下料问题（题目给出几种不同长度的材料，问应如何裁截才能使这些管料，既能满足题目要求，又能使残料最少），这个问题的求解思路和方法与本题的几乎完全相同，还有运输问题（不同型号的车，运送货物到不同的目的地，要求总的运费最少）这也是求解约束最优化的问题，等等。
通过用LINGO软件求解得：
4个月开始时甲方购买的新飞机的数量分别为60，30，80，0；每个月培训新飞行员的数目为444,438,228，0；则最后求得总消费最低为67854.00。
关键字：总费用最低飞行员数量飞机数量教练数目
定性分析定量计算约束最优化模型
一
这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月。由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送4个月的供给分别需要2次，3次，3次，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成(每架飞机需要3名飞行员)，可以运送10万t物资。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有20％的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第1个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员(包括他自己在内)进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。已知各项费用(单位略去)如下表所示，请为甲方安排一个飞行计划。
w3=190*y3+450*9.8+360*4.8+(x3+@floor(x3/19)+1)*9.8+(x1+x2-630-@floor(x3/19)-1)*6.8;
w4=360*4.7+600*9.7+(x1+x2+x3-1110)*6.7;
90+y1>=150;
60+y1+y2>=150;
y1+y2+y3+30>=200;
Min ;
且 、 、 都为整数
2
注：此为优化后的模型，即在满足教练培训飞行员人数达到19人的条件下剩余人数不足19人的情况。
min=w1+w2+w3+w4;
w1=200*y1+300*9+7*(30-@floor(x1/19)-1)+(x1+@floor(x1/19)+1)*10;
w2=195*y2+4.9*240+8.9*450+(x2+@floor(x2/19)+1)*9.9+(x1-420-@floor(x2/19)-1)*6.9;
根据题目要求，则每月参与飞行任务的飞机数量依次为100，150，150和200架，这些飞机最后能返回甲方，参与下个月的飞行任务的数量依次为80，120和120。每月参与飞行任务的飞行员数量依次为300，450，450和600人，这些飞行员最后能返回甲方的人数依次为240，360和360，但是这些飞行员紧接着的一个月是休假的，这些因素都会影响下个月飞行任务的飞机和飞行员的安排。
本文中根据对问题的理解，我们建立了一个约束最优化模型。由于题目给的变量和约束条件较多，首先我们对题目做了相应的定性分析和定量计算，这样使得变量数目极大地减少了，方便对问题的理解和具体的计算。这个约束最优解的模型的具体求解，我们是用LINGO软件来实现。在LINGO软件中，我们只需输入有关的源代码，就可以得到约束问题的最优解。前面对于问题所作的定性分析和定量计算，与由LINGO软件得到的最终答案是一致的。
第1个月
第2个月
第3个月
第4个月
新飞机价格
200.0
195.0
190.0
185.0
闲置的熟练飞行员报酬
7.0
6.9
6.8
6.7
教练和飞行员报酬（包括培训费用）
10.0
wk.baidu.com9.9
9.8
9.7
执行飞行任务的熟练飞行员报酬
9.0
8.9
9.8
9.7
休假期间的熟练飞行员报酬
5.0
4.9
4.8
4.7
二
1、假设新飞行员训练时不占用飞机，新飞机检查时不占用飞行员。
2、假设飞行员数目只会因为飞机被击落而减少，不受疾病、退休等因素影响
3、假设没有援军等其它因素来干扰甲乙双方的战争；每月甲方的空中运送计划没有其他因素影响，空运的物资、次数及飞机数目不变。
4、。假设新飞机经一个月检查后都可以投入使用；新飞行员经一个月训练后都可以投入飞行,而且被训练后的新飞行员便成为了熟练飞行员。
X3 228.0000
问题的约束最优解为：
目标函数 67854.00
4个月开始时甲方购买的新飞机的数量分别为60，30，80，0；每个月培训新飞行员的数目为444,438,228，0；则最后求得总消费最低为67854.00。
在写模型的求解时，由于题目给出的约束变量较多，我们对部分变量作了定性的分析和定量的计算，这些分析和计算都在用LINGO软件求解时得到了验证，他们的最终结果是一致的。所以，经检验本模型是正确的。
3第四个月同第三个月的情况一样，即：
综上，得到这个约束最优化模型为：
5、假设每个月甲方执行飞行计划时，无任何飞机被击落；在他们返回途中有20%被击落。另外在训练、运送物资及闲置等时候飞机不会出事。
6、假设每月参与飞行的飞行员不再参与培训新飞行员的任务。
三
符号
变量说明
第 个月招聘的新飞行员数目, =1、2、3；
第 个月购买的飞机数目, =1、2、3；
第 个月可以使用的飞行员数目, =1、2、3、4；
摘要
甲方飞行员飞行计划可用线性规划的方法实现，求解目标为在满足供给的前提下，使总的费用最低的最优解。总费用为购买新飞机的花费、闲置的熟练飞行员报酬、教练和飞行员报酬（包括培训费用）、执行飞行任务的熟练飞行员报酬、休假期间的熟练飞行员报酬之和，其中执行飞行任务的熟练飞行员报酬和休假期间的熟练飞行员报酬是固定的，总费用不会受它们影响。对于这一类约束最优解的模型，首先计算出每个月可飞行的飞机数量、每个月可参与飞行的飞行员数量；其次，列出每个月的费用，我们可以根据题目给出要求写出对应的目标函数，其次再根据题目中的约束条件建立相应的约束函数；最后，用LINGO软件输入相应的代码，求出约束条件下目标函数的最优解。
x1+30>450;
x1+x2-180>450;
x1+x2+x3-510>=600;
x1<=570;
x2-19*x1<=-420*19;
x3-19*x1-19*x2<=-870*19;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);
结果：
Linearization components added:
对于本题我们建立的模型比较单一，这样是模型的推广受到一定的限制。
八
[1]赵静、但琦.数学建模与数学实验（第四版）.北京:高等教育出版社,2014
Total solver iterations: 2779
Model Class: MINLP
Total variables: 25
Nonlinear variables: 1
Integer variables: 21
Total constraints: 49
Nonlinear constraints: 1
Constraints: 35
Variables: 15
Integers: 15
Local optimal solution found.
Objective value: 67854.00
Objective bound: 67854.00
Infeasibilities: 0.1000000E-05
Extended solver steps: 33
每个月可以使用的飞行员数目和可以使用的飞机数目：
330
110
五
从表格中可以得到各项消费项目的费用，利用这些参数再结合对应的各个变量，便可以建立一个优化模型，运用线性规划的方法，通过LINGO软件便可以解出约束条件下的最优解，从而得到甲方人力，财力和物力的最佳分配。
1
模型：每名熟练飞行员作为教练每个月指导20名飞行员情况下。
第 个月可以使用的飞机数目, =1、2、3、4；
第 个月的教练数目, =1、2、3、4；
第一个月费用总额；
第二个月费用总额 ；
第三个月费用总额；
第四个月费用总额；
此次战斗中空投的总费用；
四
这个问题条件较多，看起来很复杂，但只要理解了这个题目中所描述的事实，我们可以建立一个约束最优化模型。首先，由题目可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员的数量是确定的，所以这部分的报酬是固定的，在优化目标中可以直接算出。
;
建立目标函数，使总的花费最低，即：
Min ;
建立约束条件，从题中很容易得到：
1第二个月可以使用的飞机总数 等于第一个月的飞机总数 ，减去第一个月被击落的 架，加上第一个购买的新飞机数 。第二个月可以使用的飞行员总数 等于第一个月可以使用的飞行员数目 ，减去第1个月执行过任务的 人，加上第一个月新招募的个 。则有：
Total nonzeros: 123
Nonlinear nonzeros: 1
Variable Value
W1 19422.00
W2 15604.80
W3 25315.20
W4 7512.000
Y1 60.00000
X1 444.0000
Y2 30.00000
X2 438.0000
Y3 80.00000
分析题目可得，每月的花费包括了：
1购买新飞机的费用；
2闲置的熟练飞行员的报酬；
3教练和新飞行员的报酬（包括培训费用）；
4执行飞行任务的熟练飞行员报酬；
5休假期间的熟练飞行员报酬；
每月总花费分别为：
1第一个月费用总额：
;
2第二个月费用总额：
3第三个月费用总额：
;
4第四个月费用总额：
;
所以，总的花费W示为：
七
本题中根据题目条件我们建立了一个约束最优化模型，这样的求解约束最优化模型的方法和思路可以用来求解任何约束最优化的问题，并且用LINGO软件可很方便的求解这一类问题，从而使得我们的模型易于理解和推广。由于题目的目标函数和约束函数都是线性的，则这一类问题也可以划分为线性规划问题，那么本题的方法也同样适用于求解非线性规划的问题。从这个角度来看，约束最优化问题和线性规划具有统一性。本题中这样的建模方法和求解思路可以用来求解实际生活中的很多问题，如合理下料问题（题目给出几种不同长度的材料，问应如何裁截才能使这些管料，既能满足题目要求，又能使残料最少），这个问题的求解思路和方法与本题的几乎完全相同，还有运输问题（不同型号的车，运送货物到不同的目的地，要求总的运费最少）这也是求解约束最优化的问题，等等。
通过用LINGO软件求解得：
4个月开始时甲方购买的新飞机的数量分别为60，30，80，0；每个月培训新飞行员的数目为444,438,228，0；则最后求得总消费最低为67854.00。
关键字：总费用最低飞行员数量飞机数量教练数目
定性分析定量计算约束最优化模型
一
这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月。由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送4个月的供给分别需要2次，3次，3次，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成(每架飞机需要3名飞行员)，可以运送10万t物资。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有20％的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第1个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员(包括他自己在内)进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。已知各项费用(单位略去)如下表所示，请为甲方安排一个飞行计划。
w3=190*y3+450*9.8+360*4.8+(x3+@floor(x3/19)+1)*9.8+(x1+x2-630-@floor(x3/19)-1)*6.8;
w4=360*4.7+600*9.7+(x1+x2+x3-1110)*6.7;
90+y1>=150;
60+y1+y2>=150;
y1+y2+y3+30>=200;
Min ;
且 、 、 都为整数
2
注：此为优化后的模型，即在满足教练培训飞行员人数达到19人的条件下剩余人数不足19人的情况。
min=w1+w2+w3+w4;
w1=200*y1+300*9+7*(30-@floor(x1/19)-1)+(x1+@floor(x1/19)+1)*10;
w2=195*y2+4.9*240+8.9*450+(x2+@floor(x2/19)+1)*9.9+(x1-420-@floor(x2/19)-1)*6.9;
根据题目要求，则每月参与飞行任务的飞机数量依次为100，150，150和200架，这些飞机最后能返回甲方，参与下个月的飞行任务的数量依次为80，120和120。每月参与飞行任务的飞行员数量依次为300，450，450和600人，这些飞行员最后能返回甲方的人数依次为240，360和360，但是这些飞行员紧接着的一个月是休假的，这些因素都会影响下个月飞行任务的飞机和飞行员的安排。
本文中根据对问题的理解，我们建立了一个约束最优化模型。由于题目给的变量和约束条件较多，首先我们对题目做了相应的定性分析和定量计算，这样使得变量数目极大地减少了，方便对问题的理解和具体的计算。这个约束最优解的模型的具体求解，我们是用LINGO软件来实现。在LINGO软件中，我们只需输入有关的源代码，就可以得到约束问题的最优解。前面对于问题所作的定性分析和定量计算，与由LINGO软件得到的最终答案是一致的。
第1个月
第2个月
第3个月
第4个月
新飞机价格
200.0
195.0
190.0
185.0
闲置的熟练飞行员报酬
7.0
6.9
6.8
6.7
教练和飞行员报酬（包括培训费用）
10.0
wk.baidu.com9.9
9.8
9.7
执行飞行任务的熟练飞行员报酬
9.0
8.9
9.8
9.7
休假期间的熟练飞行员报酬
5.0
4.9
4.8
4.7
二
1、假设新飞行员训练时不占用飞机，新飞机检查时不占用飞行员。
2、假设飞行员数目只会因为飞机被击落而减少，不受疾病、退休等因素影响
3、假设没有援军等其它因素来干扰甲乙双方的战争；每月甲方的空中运送计划没有其他因素影响，空运的物资、次数及飞机数目不变。
4、。假设新飞机经一个月检查后都可以投入使用；新飞行员经一个月训练后都可以投入飞行,而且被训练后的新飞行员便成为了熟练飞行员。
X3 228.0000
问题的约束最优解为：
目标函数 67854.00
4个月开始时甲方购买的新飞机的数量分别为60，30，80，0；每个月培训新飞行员的数目为444,438,228，0；则最后求得总消费最低为67854.00。
在写模型的求解时，由于题目给出的约束变量较多，我们对部分变量作了定性的分析和定量的计算，这些分析和计算都在用LINGO软件求解时得到了验证，他们的最终结果是一致的。所以，经检验本模型是正确的。