幂级数间接展开法

1 x2
解： 由
1
(1)n xn , | x | 1
1 x n0
知 f (x) 1 (1)n x2n , | x2 | 1 1 x2 n0
即 | x | 1
例 将函数 f ( x ) arctan x 展开成 x 的幂级数.
解： f (x) 1 (1)n x2n , x (1,1) ，两边积分得 1 x2 n0
(2n 1)!
例
将函数 f ( x ) e x2 展开成 x 的幂级数.
解：
由 e x x n 1 x x 2 x n , | x |
n0 n!
2!
n!
知
2
ex
x2n 1 x2 x4 x2n ,
| x |
n!
n0
2!
n!
例
将函数 f ( x ) 1 展开成 x 的幂级数.
常用的函数展开式有:
1
xn 1 x x2 xn , | x | 1
1 x n0
ex xn 1 x x2 xn , | x |
n0 n!
2!
n!
x 2n1
sin x (1)n
n0
(2n 1)!
x x3 x5 (1)n x2n1 , | x |
3! 5!
微积分Ⅱ
CalculusⅡ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念
§10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
幂级数间接展开法
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则(四则 法则, 逐项求导逐项求积),将所给函数展成幂级数。
收敛；
n0 2n 1
n0 2n 1
当 x 1 时,
(1)n 收敛。
n0 2n 1
所以， arctan x (1)n x , 2n1 x [1,1] n0 2n 1
例
11
证明 1 (1)n1
1
.
பைடு நூலகம்
4 35
2n 1
证：由 arctan x (1)n x , 2n1 x [1,1] n0 2n 1 令 x 1,
则 arctan1 1 1 1 (1)n1 1 .
4
35
2n 1
THANK YOU
x
f (x) f (0) f (x)dx
x
(1)n x2n dx
(1)n x2n1
0
0
n0
n0 2n 1
因 f (0) 0, 所以
f ( x) arctan x (1)n x 2n1 , x (1,1) n0 2n 1
当 x 1 时 ，
(1)n (1)2n1
(1)n1