专题07一次函数的应用问题(解析版)【苏科版】 2020年中考数学必考经典题讲练案(江苏专用)

2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】

专题07一次函数的应用问题

【方法指导】

1. 解决一次函数的实际问题的一般步骤

（1）设出实际问题中的变量；

（2）建立一次函数关系式；

（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；

（4）确定自变量的取值范围； （5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；

（6）做答.

2、一次函数的最值问题

一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.

3、.一次函数实际问题的常见题型

（1）一次函数的图象型实际应用题

（2）一次函数的表格类问题

（3）一次函数的分段函数类应用题

（4）一次函数的最优化及方案设计型问题

【题型剖析】

【类型1】一次函数的实际生活图象问题

【例1】（2019•徐州）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A ．甲从中山路上点B 出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A 出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发xmin 时，甲、乙两人与点A 的距离分别为1y m 、2y m ．已知1y 、2y 与x 之间的函数关系如图②所示．

（1）求甲、乙两人的速度；

（2）当x 取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？

【分析】（1）设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象交点列方程组求解；

（2）设甲、乙之间距离为d ，由勾股定理可得22229(1200240)(80)64000()1440002

d x x x =-+=-+，根据二次函数最值即可得出结论．

【解析】（1）设甲、乙两人的速度分别为/am min ，/bm min ，则：

112001200ax y ax -⎧=⎨-⎩

2y bx =

由图②知： 3.75x =或7.5时，12y y =，∴1200 3.75 3.757.512007.5a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得：24080a b =⎧⎨=⎩

11200240y x ∴=-，令10y =，则5x =

11200240(05)2401200(5)x x y x x -⎧∴=⎨->⎩

剟 280y x =

答：甲的速度为240/m min ，乙的速度为80/m min ．

（2）设甲、乙之间距离为d ，

则222(1200240)(80)d x x =-+

2964000()1440002

x =-+， ∴当92

x =时，2d 的最小值为144000，即d 的最小值为12010 答：当92x =

时，甲、乙两人之间的距离最短．

【方法小结】本题考查了函数图象的读图识图能力，正确理解图象交点的含义，从图象中发现和获取有用信息，提高分析问题、解决问题的能力．

【变式1-1】（2019•建邺区校级二模）某校学生步行到郊外春游，一班的学生组成前队，速度为4/km h ，二班的学生组成后队，速度为6/km h ．前队出发1h 后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断的来回进行联络，他骑车的速度为/akm h ．若不计队伍的长度，如图，折线A B C --，A D E --分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程()y km 与后队行进时间()x h 之间的部分函数图象．

（1）联络员骑车的速度a

= ；

（2）求线段AD 对应的函数表达式；

（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得a 的值；

（2）根据函数图象中的数据可以求得线段AD 对应的函数表达式；

（3）根据题意和函数图象中的数据可以求得联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．

【解析】（1）由图可得，

11(44)1222

a =+⨯÷=， 故答案为：12；

（2）设线段AD 对应的函数表达式为y kx b =+，

4102

b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得84k b =-⎧⎨=⎩， 即线段AD 对应的函数表达式为184(0)2

y x x =-+剟； （3）设联络员折返后第一次与后队相遇的时间th 时，

11(126)()4(64)22

t +-=--⨯，

解得，2

3t =， 答：联络员出发23

h 时第一次与后队相遇． 【方法小结】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

【变式1-2】（2019•高港区三模）甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车在相遇之前同时改变了一次速度，并同时到达各自目的地，两车距B 地的路程()y km 与出发时间()x h 之间的函数图象如图所示．

（1）分别求甲、乙两车改变速度后y 与x 之间的函数关系式；

（2）若1m =，分别求甲、乙两车改变速度之前的速度；

（3）如果两车改变速度时两车相距90km ，求m 的值．

【分析】（1）利用待定系数法解得即可；

（2）分别求出甲、乙两车改变速度之后行驶的路程即可；

（3）根据题意列方程解答即可．

【解析】（1）设甲车y 与x 之间的关系式为：11y k b =+，根据题意得：

1111216040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11

80320k b =-⎧⎨=⎩， ∴甲车y 与x 之间的关系式为80320y x =-+；

设乙车y 与x 之间的关系式为：22y k b =+，根据题意得：

222221604360k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得22

10040k b =⎧⎨=-⎩， ∴乙车y 与x 之间的关系式为10040y x =-；

（2）当1m =时，甲车改变速度之前的速度为：36016023120(/)km h -÷⨯=；

乙车改变速度之前的速度为：360(360160)2360(/)km h --÷⨯=；

答：甲车改变速度之前的速度为120/km h ，乙车改变速度之前的速度为60/km h ；