线性代数 居余马 第4章 线性空间和线性变换

x1 x2 xn ) n y1 y2 yn ) A） n y1 y2 yn
= (1,, n)
= (1,,
= ((1,,
(1,, n)= (1,, n) A
n
i 0 , , 0 ,1, 0 , , 0 , i 1, 2 , , n 是 线 性 无 关 的 ;
一 个 n 阶 实 矩 阵 A a ij
nn
, 如 果 A 0, 则 A 的 n个
线 性 行 向 量 和 n个 列 向 量 也 都 是 线 性 无 关 的 .我 们 还 知 道 在 R 中 n 1个 向 量 都 是 线 性 相 关 的 ， 这 样
第4章 向量空间和线性变换
主要内容
Rn的基与向量关于基的坐标 Rn中向量的内积标准正交基和正交矩阵
说明：本章重点是第一节和第二节的内容, 第三节至第六节的内容自己阅读.若时间允 许，我们 再做详细 讨论 .
2013-5-18
第三章
2
4.1 Rn的基及向量关于基的坐标
从 前 面 的 知 识 我 们 知 道 :R 中 的 单 位 向 量
a1 1 a 21 a n1 a1 2 a 22 an2 a1 n a2n a nn
矩阵A=(aij)nn叫做基B1变为基B2的过渡矩阵 过渡矩阵A是可逆的。 A 的第 j 列是 j 在基{1, 2,, n}下的坐标。
1 A 2 1 1 1 0 1 0 1
A 是1, 2, 3按列排成的矩阵。
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第三章
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例3 已知R3的两组基B1={1, 2, 3}, B2={1, 2, 3}
为
1=(1, 1, 1)T, 2=(0, 1, 1)T, 3=(0, 0, 1)T 1=(1, 0, 1)T, 2=(0, 1, 1)T, 3=(1, 2, 0)T
Oxy
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第三章
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由图得
e1 (c o s ) e1 (s in ) e 2 e 2 ( s in ) e1 (c o s ) e 2
cos ( e1 , e 2 ) ( e1 , e 2 ) s in s in cos
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第三章
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定理4.2 设基B1变为基B2的变换矩阵为A ，向量 在B1 ,B2下的坐标分别为
ξ B x ( x1 , , x n ) ,
T
1
ξ B y ( y1 , , y n )
2
T
则
A y=x 或 y= A1x
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第三章
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证：由已知条件 =x1 1 + x2 2 ++ xn n= y1 1 + y2 2 ++ yn n
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第三章
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例1 Rn 有一组基B = {1, 2,, n}，其中
1 =(1, 1,,1), 2 = (0, 1,,1),, n = (0, 0,, 1)
求 = (a1, a2,, an) 在基 B下的坐标。
请思考!
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第三章
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解
x1 设B = (x1, x2,, xn)T，即 x2 = x11+x22 ++ xnn= β 1 ,β 2 , ,β n xn
1
sin co s
x y
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第三章
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4.2 Rn向量的内积 标准正交基和正交矩阵
4.2.1 n 维实向量的内积 欧氏空间
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第三章
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空间几何向量的运算中，讲过向量的长度、夹角 都可由向量的内积表示，而且向量的内积满足4条运 算规则。
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第三章
4
Rn 的基不是唯一的，而在给定基下的坐标是 唯一确定的。 Rn 中n个单位向量组成的基称为自然基。 在 R3 中， =a1 i + a2j + a3k。向量(a1, a2, a3) 是 关于自然基{ i, j, k} 的一组坐标。Rn中的向量 =(a1, a2,,an)T 也是关于自然基B={e1, e2,, en}的 坐标 B。
0 1 1
0 0 1
1
1 0 1
0 1 1
1 1 2 1 0 0
0 1 1
0 0 1
1 0 1
0 1 1
1 2 0
1 A 1 1
0 1 2
1 1 2
1 5 2 7 1 4
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第三章
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在平面直角坐标系中，坐标轴旋转的坐标变换公式 将坐标系Oxy绕原点O按逆时针方向旋转角, 得 , Oxy的自然基B1={e1,e2}={(1,0),{0,1}}
2 变换为Oxy的基B2= {e1 , e }
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第三章
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定理4.1
设 B1={1, 2,, n}是Rn的一组基, 且
η 1 a1 1α 1 a 2 1α 2 a n1α n η 2 a12 α 1 a 22 α 2 a n 2 α n η a α a α a α 1n 1 2n 2 nn n n
n
η
j

n

i 1
a ij α i
n
( j 1, 2 , , n )
n n
及

j 1
x jη
j


j 1
x j ( a ij α i )
i 1
(
i 1 j 1
a ij x j )α iLeabharlann Baidu 0
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第三章
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因1, 2,, n线性无关，i 的系数全为零,
为所求的过渡矩阵
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第三章
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解(2)
在基 B2下的坐标 y ，由定理 4.2得
0 1 2 2 3 2 1 1 2 1 2 1
1
1 y=A1 x 1 1 0 1 1
1 2 1
a1 1 a2 1 将各向量代入： an 1 1 a 1 n
0 1 1 1

0 0 1 1
0 x1 x2 0 0 xn 1 1 xn
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第三章
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定义4.4 向量 的长度
α (α , α ) a1 a 2 a n
2 2 2
代入
由于 在基 B1= (1,, n)下的坐标是唯一的，所以 x= A y 或 y=A1 x
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第三章
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例2 已知 B2= {1, 2, 3}是R3一组基，
1=(1, 2, 1)T , 2=(1, 1, 0)T, 3=(1, 0, 1)T
求 R3 的自然基B1={e1, e2, e3}到基B2的过渡矩阵A。
即
1 0 1
0 1 1
1 1 2 1 1 0
0 1 1
0 0 1
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
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第三章
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1 A 1 1
现在，推广到 n 维实向量。 定义4.3 设 = (a1, a2,, an)T, = ( b1, b2,, bn)T Rn , 规定, 的内积为 (, ) = a1b1+ a2b2 ++ anbn 当 , 为列向量时， (, ) = T = T
由定义易得内积有下列性质：, , Rn, R （1） (, )= ( , ) （对称性）； （2） (+, ) = ( , ) + (, ); （3） (, ) = ( , ); (2) (3)称为线性性 （4） (,) 0, 等号成立当且仅当 = 0（非负性）
y
y
y
y
e 2
即

e2 e1
P( x，y ) P(x,,y) x
o
基B1 变为基B2 的变换矩阵A.

x
e1
x
x
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第三章
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设点P在基B1和B2下的坐标分别为(x ,y)和(x，y ) ， 则
x co s x 1 A y y sin sin x co s co s y sin
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第三章
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解: 由
β 1 e1 2 e 2 e 3 β 2 e1 e 2 β e e3 1 3
即
β1
β2
β 3 e1
e2
e3
1 2 1
1 1 0
1 0 1
即得自然基B1到基B2的过渡矩阵
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第三章
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即
x1 a1 x1 x 2 a 2 x x x a 2 n n 1
解这个方程组，得 x1 = a1, x2 = a2 a1, , xn = anan-1 所以， 在基 B下的坐标为 B=（a1, a2 a1, , anan-1 ）T。
n
我们知道R 中的任意一个向量都可以由R 中的
n n
n个 线 性 无 关 的 向 量 来 表 示 ， 且 表 示 法 唯 一 .R 中 这种向量之间的关系就是本节将要讨论的“基” 与“坐标”的概念.
n
定义4.1 设有序向量组B＝{1, 2,, n} Rn，若 B
线性无关，且 Rn 中任意一个向量 均可以由 B线性 表示为 =a11 + a22 ++ ann 则称 B是Rn 的一组基（或基底），有序数组(a1, a2,,an)是向量关于基B（或在基B下）的一组坐标 (坐标向量),记作 B= (a1, a2,,an) 或 B= (a1, a2,,an)T
则 1, 2,, n线性无关的充要条件是
a11 det A a 21 a n1 a1 2 a 22 an2 a1 n a2n a nn 0
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第三章
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证:
1, 2,, n线性无关的充要条件是
n

j 1
x jη
n
j
0
只有零解。
由
n

j 1
n
a ij x j 0
(i=1,,n)

j 1
n
x jη
j
0
只有零解
即

j 1
a ij x j 0
只有零解 |A| 0。
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第三章
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定义4.2 两组基B1=(1, 2,, n)和B2=( 1, 2,, n) 的关系，用矩阵的形式表示为 (1, 2,, n)=(1, 2,, n)
(1) 求基 B1到基 B2的过渡矩阵A; (2) 已知在基 B1下的坐标为x=(1, 2, 1)T，求在基 B2下的坐标y 。
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第三章
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解
(1)
设
a11 ( 1, 2, 3) = ( 1, 2, 3) a 2 1 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33