线性代数 居余马 第4章 线性空间和线性变换
线性代数之第4章.向量空间与线性变换

4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
Rn的基与向量关于基的坐标 显然Rn的基不是唯一的,而α关于给定的基的坐标是唯 一确定的。以后,我们把n个单位向量组成的基称为自 然基或标准基。 在三维几何向量空间R3中,i, j, k是一组标准基,R3中任 一个向量α可以唯一地表示为: α=a1i +a2j +a3k 有序数组(a1, a2, a3 )称为α在基i, j, k下的坐标。如果α的 起点在原点,(a1, a2, a3 )就是α的终点P的直角坐标(以 后我们常利用R3中向量α与空间点 P 的一一对应关系, 对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释)。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换举例 解:由 β1 ε1 2ε2 ε3
β2 ε1 ε2 β ε ε3 3 1
即
1 1 1 ( β1 , β2 , β3 ) ( ε1 , ε2 , ε3 ) 2 1 0 1 0 1
n n
只有零解xj=0 (j=1, 2, … , n) 。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 由于α1, α2, „, αn线性无关,由上式得:
a x
j 1 ij
n
j
0 i 1, 2, , n
因此,前方程只有零解(即上面齐次线性方程组只有零 解)的充要条件是上面齐次线性方程组的系数行列不等 于零,即定理中条件式成立。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 定义:设Rn的两组基B1={α1,α2,… ,αn}和 B2={η1,η2,… ,ηn}满足下式式的关系,
a11 a η1, η2 , , ηn α1, α2 , , αn 21 an1 a12 a1n a22 a2 n α α , , α A 1, 2 n an 2 ann
线性代数向量空间与线性变换

线性代数向量空间与线性变换线性代数是数学的一个分支,研究向量空间和线性变换的性质和特征。
向量空间是线性代数的核心概念之一,而线性变换则是在向量空间内进行变换的关键操作。
本文将介绍向量空间和线性变换的定义、性质以及它们在数学和实际问题中的应用。
一、向量空间向量空间是指一个集合,其中的元素称为向量,满足一定的代数运算规律。
具体来说,一个向量空间必须满足以下条件:1. 封闭性:对于向量空间中的任意两个向量,它们的线性组合仍然属于该向量空间。
即对于任意向量u和v以及任意标量c和d,cu+dv仍然属于该向量空间。
2. 加法运算的结合性:对于向量空间中的任意三个向量u、v和w,满足(u+v)+w = u+(v+w)。
3. 加法运算的交换性:对于向量空间中的任意两个向量u和v,满足u+v = v+u。
4. 存在零向量:向量空间中存在一个零向量0,满足对于任意向量u,u+0 = u。
5. 存在负向量:对于向量空间中的任意向量u,存在一个负向量-v,满足u+(-v) = 0。
6. 标量乘法的结合性:对于标量的乘法运算,满足c(du) = (cd)u。
7. 标量乘法的分配性:对于标量的乘法运算和向量的加法运算,满足(c+d)u = cu+du,以及c(u+v) = cu+cv。
满足以上条件的集合即为向量空间。
在向量空间中,向量可以按照一定的线性关系进行运算和转换。
二、线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射,该映射满足以下两个性质:1. 保持线性关系:对于向量空间V中的任意两个向量u和v以及标量c,线性变换T必须满足T(cu+dv) = cT(u)+dT(v)。
2. 保持零向量:线性变换T必须满足T(0) = 0,即将零向量映射为零向量。
线性变换可以通过矩阵的乘法来表示。
设向量空间V和W分别为n 维和m维的向量空间,线性变换T:V→W可以表示为一个m×n的矩阵A,其中A的第i列为T(ei)的坐标表示,ei为向量空间V的基向量。
线性空间与线性变换

线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念,在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合,满足以下条件:1. 加法运算闭合性:对于任意两个向量u和v,它们的和u+v仍然属于该集合。
2. 加法交换律:对于任意两个向量u和v,有u+v = v+u。
3. 加法结合律:对于任意三个向量u、v和w,有(u+v)+w =u+(v+w)。
4. 存在零向量:存在一个特殊的向量0,使得对于任意向量v,有v+0 = v。
5. 对于任意向量v,存在其负向量-u,使得v+(-u) = 0。
6. 数乘运算闭合性:对于任意标量c和向量v,它们的乘积cv仍然属于该集合。
7. 数乘结合律:对于任意标量c和d以及向量v,有(c+d)v = cv+dv。
8. 数乘分配律1:对于任意标量c以及向量u和v,有c(u+v) =cu+cv。
9. 数乘分配律2:对于任意标量c和d以及向量v,有(cd)v = c(dv)。
线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。
它们满足上述定义中的所有条件。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射,满足以下条件:1. 对于任意向量v和w以及标量c,线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。
2. 线性变换T保持向量的线性组合关系,即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn,有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。
3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。
线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。
它们保持向量空间的线性结构和线性关系。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。
给定一个线性空间V,定义一个线性变换T:V→W,其中W是另一个线性空间。
线性代数 线性变换

5) 零变换 O: V V , O(v) = 0
2. 线性变换的性质
设 L: VW 是一个线性变换,则有 (i) L(0) = 0
(ii) L(−v) = −L(v) , vRn.
(iii) 设 v1, ... , vk ∈ V , α1,...,αk ∈ , 有 L(α1v1 +···+αkvk) = α1 L(v1) + ···+ αk L(vk)
称 ker (L)为L 的核, L(S5 设线性算子L(x) = (x1, 0)T: 2 2 . 则ker(L)= Span(e2) ; L( 2) = Span(e1) .
定理1
设 L : V W 是一个线性变换, S是V 的一个子空间. 则 i) ker(L) 是V 的子空间. ii) L(S) 是W 的子空间.
例 2 设 f : ,对应关系为 f (x) = ax+b ,它是线性映射吗? 答:f 是 上的一个线性映射当且仅当 b = 0.
例 3 证明:A Rmn , 映射 L(x) = Ax是从 n m的线性变换.
x=(x1, x2)T
y
1) L(x)=(x1, x2)T 2 2
x
x
L(x)
2) L(x)=3x 2 2
第四章 线性变换
4.1 线性变换的概念
线性变换的判别; 线性变换的核与值域; 线性变换的性质.
1. 线性变换的定义
定义 设 L: VW 是从线性空间V 到线性空间W的映射. 若映射L满足: 对任意的v1, v2 V 及实数 α , β, 有
L(αv1 + βv2) = αL(v1) + βL(v2) 则称映射L是从V 到W的一个线性映射.
【线性代数】居余马.清华大学出版社

线性代数(第二版)清华大学出版社北 京内容简介本书为高等院校理工科教材.全书共7章,内容包括:行列式;矩阵;线性方程组;向量空间与线性变换;特征值和特征向量,矩阵的对角化;二次型及应用问题.书末附录中还介绍了内积空间,埃尔米特二次型;约当(Jordan)标准形;并汇编了历年硕士研究生入学考试中的线性代数试题.本书内容丰富,层次清晰,阐述深入浅出,简明扼要.可作为高等院校的教材(适用于35~70课时的教学)或教学参考书和考研复习用书.图书在版编目(CIP)数据线性代数/居余马等编著.—2版.—北京:清华大学出版社,2002ISBN7-302-05534-3Ⅰ.线… Ⅱ.居… Ⅲ.线性代数-高等学校-教材 Ⅳ.O151.2中国版本图书馆CIP数据核字(2002)第037392号出版者:清华大学出版社(北京清华大学学研大厦,邮编100084)责任编辑:刘 颖印刷者:北京四季青印刷厂发行者:新华书店总店北京发行所开 本:850×11681/32 印张:12.625 字数:316千字版 次:2002年9月第2版 2003年3月第2次印刷书 号:ISBN7-302-05534-3/O·282印 数:8001~13000定 价:16.00元第2版序言本书第2版在正文的基本内容及教材的体系框架和章节安排方面,基本上与原书(第1版)一致,保留了原书的风格.第2版的变化主要有以下几点.1.改变了部分内容的阐述方式.正文有些部分(如矩阵运算的特点,用配方法和初等变换法化二次型为标准形等)的阐述更为精炼和简明易懂.2.增加了部分内容.在第2章中增添了附录2———数域 命题 量词,着重说明了用反证法证明一个命题的思路,以及如何表述含有量词(",v)的命题的否命题,这些内容可安排自学,它有助于学生更好地掌握一些定理的证明方法.此外,在第4章的4.6节中增添了线性变换的象(值域)和核的概念及它们的维数公式,这可使学生更清楚地理解:齐次和非齐线性方程组的求解只是向量空间的线性变换求核和原象的一个具体问题.3.对例题和习题的配置作了一些调整和充实.与原书的题目相比,第2版的例题和习题更丰富,题型也更多样,更能启迪读者运用基本概念、基本理论和基本方法去分析、解决各种具体问题.在补充题中配置了相当数量的新题目,它们与历年来考研试题的要求和题型相适应,其中有些就是考研试题.4.按本书前6章的体系汇编了历年来硕士研究生入学考试中线性代数试题,这不仅使有志于攻读硕士研究生的学生能在学习过程中就作适当的准备,而且所有学生也能从中具体理解线性代数课程的基本要求和重点.考虑到学生掌握了本教材的正文内Ⅱ第2版序言容,并能演算和证明所配置的习题和部分补充题,就不难独立完成这些考研试题,所以我们没有给出这些试题的答案(只对个别较难的题给了提示),不给答案也有利于学生在答题过程中通过思考和钻研,提高自己分析、解决问题的能力.第2版的编写是5位编著者的共同愿望,经过讨论,正文由居余马执笔编写,习题的配置和历年考研试题的汇编由林翠琴负责编写.本书第2版也是在出版社刘颖博士大力促进与支持下才顺利与读者见面的,在此特向他致以深切的谢意.由于编著者水平所限,不妥之处在所难免,恳请读者和使用本教材的教师批评指正.编著者2002年2月于清华园第1版序言本书是根据全国工科数学课程指导委员会制定的《线性代数》课程基本要求,以及我们多年来在清华大学讲授本课程的实际体会编写而成的.本书适用于教学要求不同的院校和专业,课内学时为35~72的都可选用本书作为教材.线性代数是一门基础数学课程,它的基本概念、理论和方法,具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性;它的核心内容是研究有限维线性空间的结构和线性空间的线性变换.由于数域F上的n维线性空间V(F)与n维向量空间F n是同构的,给定了n维线性空间V(F)的一组基后,V(F)的线性变换与数域F上的n阶矩阵一一对应,因此,在学时较少的情况下,教学的基本要求是:熟练掌握n维向量的线性运算,理解线性相关性的理论,搞清R n的基、向量在基下的坐标、向量的内积运算及向量的长度与夹角等概念;熟练掌握矩阵的基本运算、线性方程组的解的理论和求解方法;掌握矩阵的特征值和特征向量、矩阵的对角化及二次型的标准形和正定二次型的基本概念和理论.在上述教学内容中,要注重基本概念和理论,着重培养熟练的运算能力,适当地训练逻辑思维和推理能力.关于教材内容,作了以下一些处理:1.关于行列式.采用简便的递归法来定义n阶行列式,并相应地证明它的性质.这比用逆序法定义可节省一些学时.2.关于矩阵.从高斯消元法入手,引进矩阵和初等变换的概念.对于矩阵的运算,除了要熟练掌握加法、数乘、乘法、求逆及转置等基本运算,还要加强初等变换和分块矩阵运算,它们不仅是矩阵运算的重要方法和技巧,而且在理论分析中也有重要意义.3.关于线性方程组.将方程组放在矩阵之后讲解,可以充分利用矩阵工具,使表述简明.向量的线性相关性的概念和矩阵的秩的概念是这一章的难点,以三维几何向量在线性运算下的关系作背景,抽象出n维向量的线性相关性的概念,便于初学者理解这个重要的概念.利用初等行变换不改变矩阵的行秩和列秩以及阶梯形矩阵的行秩等于列秩,来证明矩阵的列秩等于其行秩,这样容易为读者所理解.4.关于向量空间.重点放在搞清R n的基本结构,以三维几何向量为背景,一并提出R n中的线性运算和内积运算,阐明R n的基和向量在基下的坐标的概念以及向量的几何度量性.如果教学学时允许的话,在R n的基础上再进一步讲授一般线性空间的概念和理论.至于一般的欧氏空间和内积空间的概念,则把它放在附录中,这是因为受一般工科院校的本课程学时所限,而不能列入教学要求.5.关于线性变换.以一元线性函数为背景,抽象出n维向量空间的线性变换的概念,并列举了CAD中常用的线性变换的例子.进而讲了线性变换的矩阵表示和线性变换的运算.6.关于特征值和特征向量,书中只讲矩阵的特征值和特征向量.深入讨论了矩阵可对角化的条件,学时少时可重点掌握实对称矩阵的对角化.7.关于二次型.将其放在最后,目的是用已学过的知识,全面地讨论二次型化标准形的方法和正定二次型的判定.学时少时只要求掌握通过正交变换化二次型为标准形.8.关于应用问题.书中专列一章应用问题,是为学有余力的学生提供一些材料,使他们对线性代数应用的广泛性有所了解.本书的编排情况为:(1)正文分为基本部分、引申和应用部分及附录.基本部分共6章,引申部分用打“*”的办法安排在有关章节.(2)习题分为基本题、打“*”题和补充题.打“*”题主要是一些证明题和引申内容的训练题,补充题一般比打“*”题更难一些.对于课内不超过40学时的院校,我们建议以正文的基本部分和习题的基本题作为讲授和训练的基本要求.本书由居余马(主编)与胡金德、林翠琴、王飞燕、邢文训合编,是在居余马(主编)与胡金德合编的《线性代数及其应用》的基础上作了较大修改而写成的.第1章由王飞燕、第2章及附录B由胡金德、第3,4章由居余马、第5,7章由林翠琴、第6章及附录A 由邢文训编写,最后由主编作了些修改而定稿.由于水平所限,不妥或谬误之处在所难免,恳请读者和使用本教材的教师批评指正.编 者1994年5月于清华园 目 录……………………………………………………第1章 行列式1……………………………1.1 n阶行列式的定义及性质1……………………………………1.2 n阶行列式的计算12……………………………………………1.3 克拉默法则22……………………附录1 性质1的证明 双重连加号28………………………………………习题 补充题 答案32……………………………………………………第2章 矩阵41……………………………………………2.1 高斯消元法41………………………2.2 矩阵的加法 数量乘法 乘法49………………………………2.3 矩阵的转置 对称矩阵61……………………………………2.4 可逆矩阵的逆矩阵63…………………………2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵70……………………………………………… 2.6 分块矩阵79………………………………附录2 数域 命题 量词89………………………………………习题 补充题 答案92……………………………………………第3章 线性方程组109…………………………3.1 n维向量及其线性相关性109…………………3.2 向量组的秩及其极大线性无关组119…………………………3.3 矩阵的秩 *相抵标准形122……3.4 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构132Ⅷ目录3.5 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构138………………………………………………习题 补充题 答案146…………………………………第4章 向量空间与线性变换158………………………4.1 R n的基与向量关于基的坐标158………4.2 R n中向量的内积 标准正交基和正交矩阵165 *4.3 线性空间的定义及简单性质174……………………… *4.4 线性子空间177………………………………………… *4.5 线性空间的基 维数 向量的坐标182……………… *4.6 向量空间的线性变换189………………………………………………………………………习题 补充题 答案210第5章 特征值和特征向量 矩阵的对角化223…………………5.1 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵223……………5.2 矩阵可对角化的条件232………………………………………………………………5.3 实对称矩阵的对角化241习题 补充题 答案247…………………………………………………………………………………………第6章 二次型2576.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵258……………6.2 化二次型为标准形262………………………………… *6.3 惯性定理和二次型的规范形275……………………………………………………6.4 正定二次型和正定矩阵278 *6.5 其他有定二次型286……………………………………………………………………………习题 补充题 答案289*第7章 应用问题298……………………………………………7.1 人口模型298……………………………………………7.2 马尔可夫链306…………………………………………7.3 投入产出数学模型311…………………………………7.4 图的邻接矩阵317………………………………………7.5 递推关系式的矩阵解法320……………………………7.6 矩阵在求解常系数线性微分方程组中的应用323……………………………………7.7 不相容方程组的最小二乘解328………………………习题 补充题 答案334………………………………………附录A 内积空间 埃尔米特二次型342…………………………A .1 实内积空间 欧氏空间342……………………………A .2 度量矩阵和标准正交基346……………………………A .3 复向量的内积 酉空间351……………………………A .4 酉矩阵和埃尔米特二次型353…………………………习题 答案355…………………………………………………附录B 约当标准形(简介)359..........................................习题 答案368.........................................................附录C 历年硕士研究生入学考试中线性代数试题汇编371......索引387 (Ⅸ)目录 第1章行 列 式 在线性代数中,行列式是一个基本工具,讨论很多问题时都要用到它.本章先简单介绍二、三阶行列式的定义及按第一行的展开式,再进一步讨论n阶行列式.本章主要内容:n阶行列式的定义及其性质;行列式的计算;求解一类非齐次线性方程组的克拉默(Cramer)法则,以及由此得到的方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组有非零解的必要条件.1.1 n阶行列式的定义及性质行列式的概念首先是在求解方程个数与未知量个数相同的一次方程组时提出来的(以后常把一次方程组称为线性方程组),例如对于一个二元一次方程组a11x1+a12x2=b1,a21x1+a22x2=b2.(1.1)当a11a22-a12a21≠0时,用消元法求解,得其解为x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21, x2=a11b2-b1a21a11a22-a12a21.(1.2)人们从(1.2)式中发现,如果记D =a b c d=a d -bc ,(1.3)则(1.2)式可以表示为x 1=b 1a 12b 2a 22a 11a 12a 21a 22, x 2=a 11b 1a 21b 2a 11a 12a 21a 22.我们把(1.3)式中的D 称为二阶行列式.对于由9个元素a i j (i,j =1,2,3)排成三行三列的式子,定义a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 23a 32,(1.4)并称它为三阶行列式(横为行,竖为列).(1.4)式中的6项是按下面(1.5)式所示的方法(称为沙路法)得到的.(1.5) 如果三元线性方程组a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1,a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=b 2,a 31x 1+a 32x 2+a 33x 3=b 3的系数行列式D =a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33≠0,2第1章 行列式用消元法求解这个方程组,可得x 1=D 1D , x 2=D 2D , x 3=D 3D.(1.6)其中D j (j =1,2,3)是用常数项b 1,b 2,b 3替换D 中的第j 列所得到的三阶行列式,即D 1=b 1a 12a 13b 2a 22a 23b 3a 32a 33, D 2=a 11b 1a 13a 21b 2a 23a 31b 3a 33, D 3=a 11a 12b 1a 21a 22b 2a 31a 32b 3. 但是,对于n 阶行列式(n >3),不能如(1.5)式(沙路法)那样定义.因为如果像(1.5)式那样定义n 阶行列式,当n >3时,它将与二、三阶行列式没有统一的运算性质,而且对n 元线性方程组也得不到像(1.6)式那样的求解公式.因此,对一般的n 阶行列式要用另外的方法来定义.在代数中,它可以用三种不同的方法做定义,我们采用简明的递归法做定义.从二、三阶行列式的展开式中,我们发现它们遵循着一个共同的规律———可以按第一行展开,即D=a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33=a 11a 22a 23a 32a 33-a 12a 21a 23a 31a 33+a 13a 21a 22a 31a 32,(1.7)其中M 11=a 22a 23a 32a 33, M 12=a 21a 23a 31a 33, M 13=a 21a 22a 31a 32分别称为元素a 11,a 12,a 13的余子式,并称A 11=(-1)1+1M 11,A 12=(-1)1+2M 12,A 13=(-1)1+3M 13分别为a 11,a 12,a 13的代数余子式.如此,(1.7)式即为D =a 11A 11+a 12A 12+a 13A 13.31.1 n 阶行列式的定义及性质 同样D =a 11a 12a 21a 22=a 11A 11+a 12A 12,(1.8)其中A 11=(-1)1+1|a 22|=a 22, A 12=(-1)1+2|a 21|=-a 21.这里|a 22|,|a 21|是一阶行列式(不是数的绝对值).我们把a 的一阶行列式|a |定义为a .如果把(1.7),(1.8)两式作为三阶、二阶行列式的定义,那么这种定义的方法是统一的,它们都是用低阶行列式定义高一阶的行列式.因此人们很自然地会想到,用这种递归的方法来定义一般的n 阶行列式.对于这样定义的各阶行列式,将会有统一的运算性质.下面我们给出n 阶行列式的递归法定义.1.1.1 n 阶行列式的定义定义 由n 2个数a i j (i,j =1,2,…,n)组成的n 阶行列式D =a 11a 12…a 1n a 21a 22…a 2n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n (简记作|a i j |n1)(1.9)是一个算式.当n =1时,定义D =|a 11|=a 11;当n ≥2时,定义D =a 11A 11+a 12A 12+…+a 1n A 1n =∑nj =1a1jA 1j , (1.10)其中A 1j =(-1)1+j M 1j ,M 1j 是D 中去掉第1行第j 列全部元素后,按原顺序排成的n -1阶行列式,即M 1j =a 21…a 2j -1a 2j+1…a 2n a 31…a 3j -1a 3j+1…a 3n ⁝⁝⁝⁝a n 1…a n j -1a n j+1…a n n (j =1,2,…,n),4第1章 行列式并称M 1j 为元素a 1j 的余子式,A 1j 为元素a 1j 的代数余子式.在(1.9)式中,a 11,a 22,…,a nn 所在的对角线称为行列式的主对角线,相应地a 11,a 22,…,a n n 称为主对角元,另一条对角线称为行列式的副对角线.由定义可见,行列式这个算式是由其n 2个元素a i j (i,j =1,2,…,n)构成的n 次齐次多项式(称作展开式),二阶行列式的展开式中共有2!项;三阶行列式的展开式中共有3!项;n 阶行列式的展开式中共有n !项,其中每一项都是不同行不同列的n 个元素的乘积,在全部n !项中,带正号的项和带负号的项各占一半(以上结论可根据定义,用数学归纳法给以证明).当第一行元素为x 1,x 2,…,x n 时,n 阶行列式是x 1,x 2,…,x n 的一次齐次多项式.例1 证明n 阶下三角行列式(当i <j 时,a i j =0,即主对角线以上元素全为0)D n =a 110…0a 21a 22…0⁝⁝w⁝a n 1a n 2…a n n=a 11a 22…a nn . 证 对n 作数学归纳法.当n =2时,结论成立.假设结论对n -1阶下三角行列式成立,则由定义得D n =a 110…0a 21a 22…0⁝⁝w⁝a n 1a n 2…a n n=(-1)1+1a 11a 220…0a 32a 33…0⁝⁝w⁝a n 2a n 3…a n n,右端行列式是n -1阶下三角行列式,根据归纳假设得D n =a 11(a 22a 33…a nn ).■51.1 n 阶行列式的定义及性质 同理可证,n阶对角行列式(非主对角线上的元素全为0) a110 00a22 0⁝⁝w⁝00…a n n=a11a22…a nn. 例2 计算n阶行列式(副对角线以上元素全为0)D n=00…0a n 00…a n-1*⁝⁝Y⁝⁝0a2…**a1*…**,其中,a i≠0 (i=1,2,…,n),“*”表示元素为任意数.解 注意,对一般的n,这个行列式不等于-a1a2…a n.利用行列式定义,可得到D n=(-1)n+1a n 00…a n-1⁝⁝Y⁝0a2…*a1*…*=(-1)n-1a n D n-1,再利用上面n阶与n-1阶行列式之间的关系(通常称为递推关系或递推公式),递推可得D n=(-1)n-1a n D n-1=(-1)n-1a n(-1)n-2a n-1D n-2 ………………………………=(-1)(n-1)+(n-2)+…+2+1a n a n-1…a2a1=(-1)n(n-1)2a n a n-1…a2a1.6第1章 行列式 例如,当n =2,3时,D 2=-a 1a 2,D 3=-a 1a 2a 3;当n =4,5时,D 4=a 1a 2a 3a 4,D 5=a 1a 2a 3a 4a 5.此结论对副对角线以下元素全为0的行列式也成立.利用下面讲的性质2,对最后一列展开,也得同样的递推公式.1.1.2 n 阶行列式的性质直接用行列式的定义计算行列式,一般是较繁琐的.因此,我们要从定义推导出行列式的一些性质,以简化行列式的计算.性质1 行列式的行与列(按原顺序)互换,其值不变,即a 11a 12…a 1n a 21a 22…a 2n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n=a 11a 21…a n 1a 12a 22…a n 2⁝⁝⁝a 1na 2n…a n n.(1.11) 这个性质可用数学归纳法证明,由于证明的表述较繁琐,我们略去其证明,有兴趣的读者可参阅本章附录.有了这个性质,行列式对行成立的性质都适用于列.以下我们仅对行讨论行列式的性质.性质2 行列式(1.9)对任一行按下式展开,其值相等,即D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+…+a i n A i n =∑nj =1ai jA i j(i =1,2,…,n),(1.12)其中A i j =(-1)i +jM i j ,M i j 是D 中去掉第i 行第j 列全部元素后按原顺序排成的n -1阶行列式,它称为a i j 的余子式,A i j 称为a i j 的代数余子式.71.1 n 阶行列式的定义及性质证法与性质1的证明类似,也用数学归纳法(参阅本章附录).性质3 (线性性质)有以下两条:(i)a11a12 (1)⁝⁝⁝k a i1ka i2…k a i n⁝⁝⁝a n1a n2…a n n=ka11a12 (1)⁝⁝⁝a i1a i2…a i n⁝⁝⁝a n1a n2…a n n.(1.13)(ii)a11a12 (1)⁝⁝⁝a i1+b i1a i2+b i2…a i n+b i n⁝⁝⁝a n1a n2…a n n=a11a12 (1)⁝⁝⁝a i1a i2…a i n⁝⁝⁝a n1a n2…a nn+a11a12 (1)⁝⁝⁝b i1b i2…b i n⁝⁝⁝a n1a n2…a n n.(1.14)利用性质2,将(1.13),(1.14)式中等号左端的行列式按第i 行展开,立即可得等号右端的结果.由(1.13)式又可得:推论1 某行元素全为零的行列式其值为零.性质4 行列式中两行对应元素全相等,其值为零,即当a i l= a jl(i≠j,l=1,2,…,n)时,有8第1章 行列式D =a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n ⁝⁝⁝a j 1a j 2…a j n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n=0.(1.15) 证 用数学归纳法证明.结果对二阶行列式显然成立,假设结论对n -1阶行列式成立,在n 阶的情况下,对第k 行展开(k ≠i,j),则D =a k 1A k 1+a k 2A k 2+…+a kn A k n =∑nl =1ak lA k l .由于余子式M k l (l =1,2,…,n)是n -1阶行列式,且其中都有两行元素相同,所以A k l =(-1)k +l M k l =0(l =1,2,…,n),故D =0.■由性质3(i )和性质4,立即可得:推论2 行列式中两行对应元素成比例(即a jl =ka i l ,i ≠j,l =1,2,…,n,k 是常数),其值为零.性质5 在行列式中,把某行各元素分别乘非零常数k,再加到另一行的对应元素上,行列式的值不变(简称:对行列式做倍加行变换,其值不变),即a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n⁝⁝⁝a j 1a j 2…a j n⁝⁝⁝a n 1a n 2…a nn=a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n ⁝⁝⁝k a i 1+a j 1k a i 2+a j 2…k a i n +a j n⁝⁝⁝a n 1a n 2…a nn.(1.16)91.1 n 阶行列式的定义及性质 利用性质3(i i )和推论2,可证明(1.16)式成立.性质6(反对称性质) 行列式的两行对换,行列式的值反号.证 重复用性质5,然后再利用性质3(i ),就有a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n ⁝⁝⁝a j 1a j 2…a j n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n=a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1+a j 1a i 2+a j 2…a i n +a j n⁝⁝⁝a j 1a j 2…a j n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n =a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1+a j 1a i 2+a j 2…a i n +a j n⁝⁝⁝-a i 1-a i 2…-a i n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n=a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a j 1a j 2…a j n⁝⁝⁝-a i 1-a i 2…-a i n⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n=-a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a j 1a j 2…a j n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n.■ 性质7 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零,即01第1章 行列式∑nk =1ai kA j k =a i 1A j 1+a i 2A j 2+…+a i n A j n =0 (i ≠j ).(1.17) 证 根据性质2,行列式(1.9)对j 行展开得D =∑nk =1aj kA j k .因此,将行列式(1.9)中第j 行的元素a j 1,a j 2,…,a j n 换成a i 1,a i 2,…,a i n 后所得的行列式,其展开式就是∑nk =1a i k A j k ,即∑nk =1ai kA j k =a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n第i 行第j 行 . 由于上式右端的行列式第i 行和第j 行对应元素相等,故∑nk =1ai kA j k =0.■ 对于行列式(1.9),我们可以把(1.10),(1.12),(1.17)式统一地写成∑nk =1ai kA j k =δi j D ,其中δi j =1, 当i =j,0, 当i ≠j .(1.18)同样,行列式(1.9)对列展开,也有∑nk =1ak iA k j =δi j D .(1.19)111.1 n 阶行列式的定义及性质1.2 n阶行列式的计算这一节,我们通过例题来说明,利用行列式的定义和性质,计算n阶行列式的常用方法.例1 对于上三角行列式(当i>j时,a i j=0)有D=a11a12 (1)0a22 (2)⁝⁝w⁝00…a n n=a11a22…a n n. 解 设D′表示将行列式D的行与列(按原顺序)互换所得的行列式,则利用1.1节中性质1和例1的结果,即得D=D′=a11a22…a n n. 例2 计算4阶行列式D=11-12-1-1-41 24-61 1242. 解 对行列式做倍加行变换和两行对换,将其化为上三角行列式.先利用性质5,把第1行分别乘1,-2,-1加到第2,3,4行上去得D=11-1200-5302-4-30150②\④-11-12015002-4-300-5321第1章 行列式③+②×(-2)-11-12015000-14-300-53④+③×-514-11-12015000-14-300057/14=(-1)×1×1×(-14)×(57/14)=57.其中:②\④表示第②行与第④行对换;③+②×(-2)表示第③行加第②行乘(-2);④+③×-514的意义也是类似的.此例利用性质5和性质6,把数字行列式化为上三角行列式,是计算数字行列式的基本方法.但是对于三阶数字行列式,用沙路法按对角线展开(计算6项乘积)可能更为简捷.例3 计算4阶行列式D =14-14214342311392. 解 利用性质5,把行列式某行(列)元素化为只剩一个非零元,再利用性质2,把行列式按该行(列)展开,从而降阶计算.这也是展开行列式的基本方法.注意到D 中第2列有一个0,再利用a 22=1,把第2行乘(-4)和(-2)分别加到第1和第3行上去,将第2列中其余元素化为0,然后对第2列展开,得311.2 n 阶行列式的计算D=-70-17-8214300-55392=(-1)2+2×1×-7-17-80-55392=-7-17-80-55392. 再把第3列加到第2列,按第2行展开D =-7-17-80-55392=-7-25-80053112=(-1)2+3×5×-7-25311=-5×(-77+75)=10. 例4 如果行列式D =|a i j |n 1的元素满足a i j =-a j i (i,j =1,2,…,n),就称D 是反对称行列式(其中a i i =-a i i a i i =0,i =1,…,n).证明奇数阶反对称行列式的值为零.证 设D =a 12…a 1n -a 120…a 2n ⁝⁝w⁝-a 1n-a 2n….根据性质1有41第1章 行列式D=0-a12-a13…-a1na120-a23…-a2n⁝⁝⁝w⁝a1n a2n a3n 0. 再利用性质3(i),将每行提出公因数(-1),即得D=(-1)n D.由于n是奇数,得D=-D,故D=0.■例5 证明a1+b1b1+c1c1+a1a2+b2b2+c2c2+a2 a3+b3b3+c3c3+a3=2a1b1c1a2b2c2a3b3c3. 证 方法1:把左端行列式的第2,3列加到第1列,提取公因子2,再把第1列乘(-1)加到第2,3列得左式=2a1+b1+c1-a1-b1a2+b2+c2-a2-b2a3+b3+c3-a3-b3.再把第2,3列加到第1列,然后分别提出2,3列的公因数(-1),再作两次列对换,等式就得证.方法2:对左式的各列依次用性质3(i i),将左式表示为23个行列式之和,其中有6个行列式各有2列相等,即左式=a1b1+c1c1+a1a2b2+c2c2+a2a3b3+c3c3+a3+b1b1+c1c1+a1b2b2+c2c2+a2b3b3+c3c3+a3=a1b1c1+a1a2b2c2+a2a3b3c3+a3+a1c1c1+a1a2c2c2+a2a3c3c3+a3+511.2 n阶行列式的计算b 1b 1c 1+a 1b 2b 2c 2+a 2b 3b 3c 3+a 3+b 1c 1c 1+a 1b 2c 2c 2+a 2b 3c 3c 3+a 3=a 1b 1c 1a 2b 2c 2a 3b 3c 3+0+0+0+0+0+0+b 1c 1a 1b 2c 2a 2b 3c 3a 3=右式.■ 例6 计算n 阶行列式D =x a a …a ax a …a a a x …a ⁝⁝⁝w⁝aaa…x. 解 该行列式每行元素之和相等,此时把各列都加到第1列,提出第1列的公因子x +(n -1)a,然后将第1行乘-1分别加到其余各行,D 就化为上三角行列式,即D=[x +(n -1)a]1a a …a 1x a …a 1a x …a ⁝⁝⁝w⁝1a a…x =[x +(n -1)a]1a a …a 0x -a 0 (00)0x -a …0⁝⁝⁝w⁝000…x -a=[x +(n -1)a](x -a)n -1.61第1章 行列式 例7 如果x y z≠0,计算三阶行列式D=1+x2312+y3123+z. 解 方法一:将第1行乘(-1)加到第2、第3行,再将第2列乘xy、第3列乘xz并各加到第1列,化为上三角行列式,得D=1+x23-x y0-x0z=1+x+2xy+3xz230y000z =1+x+2xy+3xzy z=yz+2zx+3xy+xy z. 方法二:将D中1,2,3分别表示为1+0,2+0,3+0,根据性质3(i i),D可化为23个行列式,其中有4个为0,得D=1001y010z+x2002002z+x030y3003+x000y000z=yz+2zx+3xy+xy z. 例8 证明范德蒙(Vandermonde)行列式V n=111…1 x1x2x3…x n x21x22x23…x2n ⁝⁝⁝⁝x n-11xn-12xn-13 (x)n-1n=∏1≤j<i≤n(x i-x j),其中连乘积711.2 n阶行列式的计算∏1≤j <i ≤n(x i -x j )=x 2-x 1)(x 3-x 1)…(x n -x 1)(x 3-x 2)… (x n -x 2)…(x n -1-x n -2)(x n -x n -2)(x n -x n -1)是满足条件1≤j <i ≤n 的所有因子(x i -x j )的乘积.证 用数学归纳法证明.当n =2时,有V 2=11x 1x 2=x 2-x 1=∏1≤j <i ≤2(x i -x j ),结论成立.假设结论对n -1阶范德蒙行列式成立,下面证明对n 阶范德蒙行列式结论也成立.在V n 中,从第n 行起,依次将前一行乘-x 1加到后一行,得V n =111 (10)x 2-x 1x 3-x 1…x n -x 10x 2(x 2-x 1)x 3(x 3-x 1)…x n (x n -x 1)⁝⁝⁝⁝0x n -22(x 2-x 1)x n -23(x 3-x 1)…x n -2n(x n -x 1).按第1列展开,并分别提取公因子,得V n =(x 2-x 1)(x 3-x 1)…(x n -x 1)11…1x 2x 3…x n x 22x 23…x 2n ⁝⁝⁝x n -22x n -23…x n -2n.上式右端的行列式是n -1阶范德蒙行列式,根据归纳假设得V n =(x 2-x 1)(x 3-x 1)…(x n -x 1)∏2≤j <i ≤n(x i -x j ),故V n =∏1≤j <i ≤n(x i -x j ).■ 例9 证明81第1章 行列式D =a 11a 12…a 1k 0…0a 21a 22…a 2k 0…0⁝⁝⁝⁝⁝a k 1a k 2…a k k 0…0c 11c 12…c 1k b 11…b 1m ⁝⁝⁝⁝⁝c m 1c m 2…c m k b m 1…b m m =a 11a 12…a 1k a 21a 22…a 2k ⁝⁝⁝a k 1a k 2…a k kb 11…b 1m ⁝⁝b m 1…b m m.(1.20) 证 记|A |=|a i j |k1, |B |=|b i j |m1. 对|A |的阶数k 作数学归纳法.当k =1时,对D 的第一行展开,得D =a 11|B |=|a 11||B |(这里|a 11|是一阶行列式),(1.20)式成立.假设|A |为k -1阶时,(1.20)式成立.下面考虑|A |为k 阶的情形:此时,将D 对第1行展开,得D =a 11(-1)1+1M D11+a 12(-1)1+2M D 12+…+a 1k (-1)1+kM D1k ,①其中M D1j 是a 1j 在D 中的余子式(j =1,2,…,k).显然M D1j 也是(1.20)式类型的行列式,而且它的左上角是k -1阶的,根据归纳假设M D 1j =M |A |1j |B |, j =1,2,…,k,②其中M |A |1j 是a 1j 在|A |中的余子式.将②式代入①式,即得D =[a 11(-1)1+1M |A |11+a 12(-1)1+2M |A |12+…+a 1k (-1)1+k M |A |1k ]|B |=|A ||B |,911.2 n 阶行列式的计算所以|A |为k 阶时,(1.20)式成立.因此|A |为任意阶行列式时,(1.20)式都成立.■(1.20)式可简记为D =A 0*B=|A ||B |. 若|A |,|B |如上所设,同样也有D =A *0B=|A ||B |.(1.21) 但要注意,D =0A B*≠-|A ||B |.此时,可将|A |所在的每一列依次与其前面的m 列逐列对换(共对换k ×m 次),使之化为(1.20)式的形式,于是便有0A B*=(-1)k ×mA 0*B=(-1)k ×m |A ||B |.(1.22) 例10 求方程D(x)=0的根,其中D(x)=x -1x -2x -1x x -2x -4x -2x x -3x -6x -4x -1x -4x -82x -5x -2. 解 由观察可见x =0是一个根,因为x =0时,行列式第1、第2列成比例,所以D(0)=0.但要求其他根,必须展开这个行列式.将第1列乘-1加到2,3,4列;再将变换后的第2列加到第4列,即得02第1章 行列式D(x)=x -1-101x -2-202x -3-3-12x -4-4x -12=x -1-100x -2-200x -3-3-1-1x -4-4x -1-2=x -1-1x -2-2·-1-1x -1-2=-x(x +1).所以方程D(x)=0有两个根:0与-1.*例11 计算n 阶三对角行列式D n =a b ca b ca b wwwca b ca . 解 把D n 按第1行展开,再将第2项中的行列式对第1列展开得D n =aD n -1+(-1)1+2bc b 0a b 0c a b ⁝⁝www00…c a b 0…can -1阶=aD n -1-bcD n -2.①由①式(称为递推公式)可见:由D 1和D 2可算出D 3;由D 2和D 3可算出D 4;如此等等.为了利用D 1和D 2递推出D n 的计算公式,我们将①式改写成D n -kD n -1=l(D n -1-kD n -2),②121.2 n 阶行列式的计算其中k +l =a, k l =bc .③ 在②式中,记Δn =D n -kD n -1,则②式为Δn =l Δn -1.②′由这个递推公式易得Δn =l Δn -1=l(l Δn -2)=…=l n -2Δ2,即D n -kD n -1=l n -2(D 2-kD 1),④其中D 2=a b ca=a 2-bc, D 1=|a|=a .将它们代入④式,再利用③式,易得D 2-kD 1=l 2,于是D n =l n +kD n -1.⑤再利用递推公式⑤,可以递推出D n =l n +k(l n -1+kD n -2)=l n +k l n -1+k 2D n -2=l n +k l n -1+k 2(l n -2+kD n -3)=l n+k ln -1+k 2ln -2+k 3D n -3=…=l n+k l n -1+k 2ln -2+…+kn -2l 2+kn -1D 1,其中D 1=|a |=a =k +l,所以D n =l n+k ln -1+k 2ln -2+…+kn -2l 2+kn -1l +k n.⑥ 例如,当a =3,b =2,c =1时,由③式算得k =1,l =2,或k =2,l =1,此时D n =ln +1-kn +1l -k=2n +1-1.1.3 克拉默法则这一节讨论:n 个未知量n 个方程的线性方程组,在系数行列式不等于零时的行列式解法,通常称为克拉默(Cra m er)法则;22第1章 行列式并进一步给出n 个未知量n 个方程的线性齐次方程组有非零解的必要条件.定理(克拉默法则) 设线性非齐次方程组a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1,a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2,a n 1x 1+a n 2x 2+…+a n n x n =b n .(1.23)或简记为∑nj =1ai jx j =b i , i =1,2,…,n (1.24)其系数行列式D =a 11a 12…a 1n a 21a 22…a 2n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n≠0,则方程组(1.23)有唯一解x j =D jD, j =1,2,…,n .(1.25)其中D j 是用常数项b 1,b 2,…,b n 替换D 中第j 列所成的行列式,即D j =a 11…a 1j -1b 1a 1j+1…a 1n a 21…a 2j -1b 2a 2j+1…a 2n ⁝⁝⁝⁝⁝a n 1…a n j -1b na n j +1…a n n.(1.26) 证 先证(1.25)式是方程组(1.23)的解,根据(1.26)式D j =b 1A 1j +b 2A 2j +…+b n A n j =∑nk =1b kAk j,其中A k j 是系数行列式中元素a k j 的代数余子式.321.3 克拉默法则将x j =1D ∑nk =1b k A k j (j =1,2,…,n)代入(1.24)式左端,得∑nj =1a i j1D ∑nk =1b k A k j=1D ∑nj =1∑nk =1ai jA k j b k =*1D ∑n k =1∑nj =1ai jA k j b k=1D ∑nk =1b k∑n j =1a i j A k j=1D ∑nk =1b k δi k D (k =i 时,δi k =1,k ≠i 时,δi k =0)=1D(b i ·1·D)=b i (i =1,2,…,n). (其中*处等号成立的理由是,双重连加号求和次序可交换,请参阅本章附录.)所以(1.25)式中的x j =D j /D (j =1,2,…,n)满足方程组(1.23)中的每一个方程,因此它是方程组(1.23)的解.再证方程组(1.23)的解也必是如(1.25)式所示,设c 1,c 2,…,c n 是一组解,则a 11c 1+a 12c 2+…+a 1n c n =b 1,a 21c 1+a 22c 2+…+a 2n c n =b 2,a n 1c 1+a n 2c 2+…+a n n c n =b n .在上面n 个等式两端,分别依次乘A 1j ,A 2j ,…,A n j ,然后再把这n 个等式的两端相加,得∑ni =1ai 1A i j c 1+…+∑ni =1ai jA i j c j +…+∑ni =1ai nA i j c n =∑ni =1b iAi j.42第1章 行列式上式左端c 1,c 2,…,c j -1,c j +1,…,c n 的系数全为零,c j 的系数为D ,右端∑ni =1b iAi j=D j ,因此Dc j =D j ,故c j =D jD.分别取j =1,2,…,n,这就证明了c 1,c 2,…,c n 如果是解,它们也必然分别等于D 1D ,D 2D ,…,D n D ,于是方程组(1.23)的解的唯一性得证.■由克拉默法则,立即可得下面的推论推论 若齐次线性方程组∑nj =1ai jx j =0 (i =1,2,…,n)(1.27)的系数行列式D =|a i j |n1≠0,则方程组只有零解x j =0,j =1,2,…,n .因为此时D j =0,j =1,2,…,n .与推论等价的命题(即逆否命题)是:若上述齐次线性方程组有非零解,则系数行列式D =|a i j |n1=0.即齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式D =0.在第3章中,我们将进一步证明,D =0也是齐次线性方程组(1.27)有非零解的充分条件.用克拉默法则求解系数行列式不等于零的n 元非齐次线性方程组,需要计算n +1个n 阶行列式,它的计算工作量很大.实际上关于数字系数的线性方程组(包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不相同的线性方程组)的解法,一般都采用第2章中介绍的高斯消元法.克拉默法则主要是在理论上具有重要的意义,特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系.521.3 克拉默法则例1 已知三次曲线y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在4个点x=±1,x=±2处的值:f(1)=f(-1)=f(2)=6,f(-2)= -6,试求其系数a0,a1,a2,a3.解 将三次曲线在4个点处的值代入其方程,得到关于a0, a1,a2,a3的非齐次线性方程组a0+a1+a2+a3=6,a0+a1(-1)+a2(-1)2+a3(-1)3=6,a0+a1(2)+a2(2)2+a3(2)3=6,a0+a1(-2)+a2(-2)2+a3(-2)3=-6.它的系数行列式是范德蒙行列式(例8的行、列互换)D=11111-1(-1)2(-1)3 122223 1-2(-2)2(-2)3=(-1-1)(2-1)(-2-1)(2+1)(-2+1)·(-2-2)=72.于是,由克拉默法则可得三次曲线方程的系数a j=D jD, j=0,1,2,3,其中D0=61116-11-16248-6-24-8=576,D1=1611161-116481-64-8=-72,62第1章 行列式。
线性空间与线性变换

映射:设M 和M'是两个非空集合,如果对M 中的每个元素,按照某种法则T 都有M'中的一个确定的元素与之对应,则称T 是从M 到M'中的一个映射,记作T :M →M'称M 为T 的定义域。
如果映射T 使α∈M 与β∈M'相对应,则称β是α在映射T 下的象,而称α为β的一个原象,记作T (α)=β(α∈M )集合M 到自身的映射称为M 上的变换。
设T 和S 都是集合M 到M'的映射。
如果对任一元素α∈M 都有T (α)=S (α),则称T 和S 相等,记作T=S如果对于M'中的每一个元素β,都有α∈M 使T (α)=β,则称T 是一个满射。
如果对于任意α1,α2∈M ,当α1≠α2时,都有T (α1)≠T (α2),则称T 是单射。
如果映射T 既是满射又是单射,则称之为一一映射(或一一对应)映射T 下所有象所成的集合称为T 的值域(或象集合),记作R (T ),即R(T)={ T (α)︱α∈M}显然R(T)⊂ M',一个集合M 到M'的映射T 是满射的充分必要条件是R (T )= M';而T 是单射的充分必要条件是,对任意α1,α2∈M ,由T (α1)= T (α2)可以推出α1=α2 设M 是一个非空集合,定义E (α)=α(α∈M )则E 是M 上的变换,称为M 的单位映射(或恒等映射),记作M I 。
E 是一一映射。
对于映射,定义它的乘积如下(ST )(α)﹦S (T (α))(α∈M )所确定的从M 到M''的映射ST 称为S 与T 的乘积。
映射的乘积是复合函数的推广,但不是任意两个影射都可以求他们的乘积。
由映射T 和S 得到乘积ST 的充分必要条件是T 的值域含与S 的定义域。
例1 设M=K n ×n .定义 T 1(A )=det A (A ∈K )则T 是K n ×n 到K 的一个映射,它是满射,但不是单射。
工程数学线性代数

参考书:线性代数(第二版) 居余马 清华大学出版社概要&总结 一、线性代数的基础内容:1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条),克莱姆法则;2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘;转置,乘法,逆);矩阵的行列式、伴随矩阵;初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系,求逆等);行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形;矩阵的秩;分块矩阵例1:设A 是m n ⨯矩阵,设B 是n m ⨯矩阵,且AB E =,其中E 是m 阶单位矩阵,则: ()()(); ()(),(); ()(),(); ()(A r A r B m B r A m r B n C r A n r B m D r A r B n======== 3、向量——线性组合、表示、相关性;秩及极大无关组例2:设123(1,2,1,0),(1,0,2),(2,1)TTTa ααα=-==,若123,,ααα形成的向量组为2,则___a = 特别的,除理解概念外,尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用;初等变换与矩阵乘积运算的关系;矩阵的秩与向量组的秩之间的关系;如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组二、线性代数的应用性内容1、线性方程组求解:i)齐次的0Ax =,讨论有不全为零解的条件,解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤;ii)非齐次的Ax b =,讨论有解的条件(唯一解、无穷多解),解的性质和结构—格式化的解题步骤例3:设11010,1111a A b λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,已知线性方程组AX b =存在两个不同的解。
(I)求,a λ;(II)求AX b =的通解2、向量空间:基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式;特殊的基,自然基和标准正交基及施密特正交化方法;正交矩阵3、特征值特征向量:i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤,关键是在理解这组概念及其性质;ii)矩阵对角化:矩阵可对角化的条件;特征向量的性质;相似矩阵iii)实对称矩阵正交对角化:实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数,属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤例4:设A 是四阶实对称矩阵,且20A A +=,若()3r A =则A 相似于:11111111();();();()11110000A B C D -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4、二次型:i)二次型与对称矩阵的关系ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化;配方法化二次型为标准形;合同矩阵(与等价、相似的关系)iii)二次型的规范形与惯性定理:正惯性指数与负惯性指数唯一确定iv)正定二次型与正定矩阵:如何判别?——四个等价的条件(正定;正惯性指数为n ;存在P 使T P P A =;所有特征值大于零)例5:设二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,且Q的第三列为)22T 。
线性代数居余马版第四章详细课后题答案

1、由过渡矩阵的定义,设从基1234,,,εεεε到基1234,,,γγγγ的过渡矩阵为A ,则()()12341234,,,,,,A A γγγγεεεε==,初等行变换求得1111111111111141111A -⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭,所以11111151111211111111144111111A γβ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2(1)、记γ在基123,,ααα下为*γ. 设从基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为A ,则()()123123,,,,A A αααεεε==,初等行变换求得11875521311A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭,所以 1187532*5216131121A γγ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭2(2)、设从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为C ,记()123,,B βββ=,则()()123123,,,,C βββααα=,即AC B =,所以1187535127714152112192093114164128C A B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2(3)、记γ在基123,,βββ下为**γ,所以11***C B A γγγ--==,经初等变换得11811319452761811261913365212644284099997104B A -⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪- ⎪⎪=--=--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,所以 115276181225311***3652126110644284099183C B A γγγ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪===---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3(1)、记()1234,,,A αααα=,()1234,,,B ββββ=,记γ在基1234,,,ββββ下为*γ.设从基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵为P ,所以由过渡矩阵的定义有B AP =,则1P A B -=,经初等变换可得11001110101110010P A B -⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭,10111110000011111P --⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭所以,()1*0101P γγ-==-.3(2)、设ξ在基1234,,,αααα下的记为*ξ,从基1234,,,ββββ到基1234,,,αααα的过渡矩阵为Q ,所以由过渡矩阵的定义有A BQ =,则1111()Q B A A B P ----===,所以()1*1311TQ P ξξξ-===-3(3)、记α在基1234,,,ββββ下为*α,所以()1*3102P αα-==.4、记()1234,,,E εεεε=,()1234,,,B ββββ=. 设从基1234,,,εεεε到基1234,,,ββββ的过渡矩阵为P ,由过渡矩阵的定义知()()12341234,,,,,,P ββββεεεε=,即P B =. 设()Ta b c d γ=,又γ在基1234,,,ββββ下的坐标不变,所以P P γγγγ=⇒=,即20561********013a a b b c c d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭25633623a c d a a b c d b a b c d c a c d d ++=⎧⎪+++=⎪⇒⎨-+++=⎪⎪++=⎩5602360020a c d abcd a b c d a c d ++=⎧⎪+++=⎪⇒⎨-+++=⎪⎪++=⎩,其系数矩阵10561001123601011111001110120000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭初等变换,所以0a db d P Acd d dγγγ=-⎧⎪=-⎪=⇒=⇒⎨=-⎪⎪=-⎩,所以γ的通解为()1111,Tk k R γ=-∈.5(1)、略5(2)、设与向量,,αβγ都正交的向量为()1234,,,Tx x x x ξ=,则()()(),0,0,0αξβξγξ=⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒12341234123420230220x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎨⎪---+=⎩,其系数矩阵121110552311013311220000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等变换 得基础解系为()5310T -,()5301T-所以与向量,,αβγ都正交的向量为()()1253105301TTk k ξ=-+-6、设向量()1234,,,Tx x x x ξ=与所给向量均正交,所以12341234123400230x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩,其系数矩阵41001111311110100211310013⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭初等变换, 基础解系为410133T⎛⎫-- ⎪⎝⎭,所以可取()4013T ξ=--,)4013T--.7、证:已知()()()12,,,0m βαβαβα====,记i i k αγ=∑,其中i k 为任意常数,则γ为12,,,m ααα的任一线性组合。
线性变换知识点总结

线性变换知识点总结一、引言线性变换是线性代数中的重要概念,它是在向量空间中的一种特殊映射。
线性变换具有许多重要的性质和应用,因此研究线性变换对于理解线性代数和应用数学有着重要的意义。
本文将从线性变换的基本概念、性质和应用进行总结,希望能够帮助读者对线性变换有更深入的理解。
二、线性变换的定义线性变换是向量空间之间的一种映射,具体来说,设V和W是两个向量空间,f:V→W是从V到W的映射。
如果对于V中的任意向量u、v和任意标量a,b,都有f(au+bv)=af(u)+bf(v)那么f称为一个线性变换。
三、线性变换的矩阵表示线性变换可以用矩阵来表示,假设V和W是n维向量空间,我们选择V和W的基,那么可以得到V和W中的向量可以用n维列向量表示。
设f:V→W是一个线性变换,选择V和W的基分别为{v1,v2,...,vn}和{w1,w2,...,wn},那么f的矩阵表示为[f]=(f(v1) f(v2) ... f(vn))其中f(vi)表示w中的基向量wi在f映射下的像,也就是f(vi)对应的列向量。
根据线性变换的定义,我们可以得到映射f的矩阵表示满足下列关系f(av1+bv2)=af(v1)+bf(v2)等价于[f](av1+bv2)=a[f]v1+b[f]v2其中[f]v1和[f]v2为f(v1)和f(v2)的列向量表示。
四、线性变换的性质1. 线性变换的保直性线性变换f:V→W将V中的任意向量线性映射到W中,这种映射保持向量之间的直线性质,即通过f映射后的图像仍然是一条直线。
这是线性变换的一个重要性质,它保证了线性变换后的图像具有一些有用的性质,比如直线上的点在f映射后仍然在同一条直线上。
2. 线性变换的局部性线性变换f:V→W保持向量之间的“相对位置”不变,即如果向量v1和v2之间的相对位置关系在V中是一定的,那么在映射f下,向量f(v1)和f(v2)之间的相对位置关系也是一定的。
这一性质对于理解线性变换的几何意义有着重要的作用,它意味着线性变换可以保持向量之间的某些几何性质。
线性代数 居余马 第4章 线性空间和线性变换

2013-5-18
第三章
15
解: 由
β 1 e1 2 e 2 e 3 β 2 e1 e 2 β e e3 1 3
即
β1
β2
β 3 e1
e2
e3
1 2 1
1 1 0
1 0 1
即得自然基B1到基B2的过渡矩阵
第三章182013815111213212223313233101100012110110111aaaaaaaaa???????????????????????????????123123111213212223313233aaaaaaaaa??????????解1设即第三章1920138151100101100101110012110012111110011110?????????????????????????????????????????????a101111122?????????????a为所求的过渡矩阵第三章202013815在基b2下的坐标y由定理42得解2ya?1x1101111121221021151322712114????????????????????????????????????????????????????????????????第三章212013815在平面直角坐标系中坐标轴旋转的坐标变换公式第三章2220138151212cossineesincosee???????基b1变为基b2的变换矩阵a1?12212cossinsincoseeeeee???由图得即ooxyxppxy1ey1e2e2eyxyyxx第三章23201381511cossincossinsincossincosxxxxayyyy????????????????????????????????????????第三章242013815空间几何向量的运算中讲过向量的长度夹角都可由向量的内积表示而且向量的内积满足4条运算规则
线性代数课件-线性空间

0 1
0
0.
4.如果 0,则 0 或 0 . 证明 又
1
假设 0 , 那么
1
0 0.
1
.
ka1 kA 0
且
kb1 0
0 kc1
ka1 kb1 kc1 0,
即 kA W2 , 故W2是R 23的子空间.
例3
n次多项式的全体 Q[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R, 且 a n 0}
对于通常的多项式加法 和乘数运算不构成向量 空 间.
0 p 0 x n 0 x 0 Q[ x]n
. Q[ x]n 对运算不封闭
a1 b1 c1 0, a2 b2 c2 0,
于是
a1 a2 A B 0
b1 b2 0
0 c1 c2
满足
即
a1 a2 b1 b2 c1 c2 0,
A B W2 , 对任意k R有
01 01 02 02 01 02.
2.负元素是唯一的.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证明 假设 有两个负元素 与 ,那么
0, 0. 则有 0
0 .
向量 的负元素记为 .
若对于任一数 R与任一元素 V ,总有唯 一的一个元素 V 与之对应,称为 与 的积, 记作
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那 么 V 就称为数域 R 上的向量空间(或线性空间).
理学线性空间与线性变换

第一章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念.本章先简要地论述这两个概念及其有关理论,然后再讨论两个特殊的线性空间,这就是Euclid 空间和酉空间.§1.1 线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是学习现代矩阵论的重要基础,所考虑的数域是实数域(记为)和复数域(记为),统称数域.一、线性空间的定义及性质定义1 设是一个非空集合,是一数域.如果存在一种规则,叫做的加法运算:对于中任意两个元素,αβ,总有中一个确定的元素与之对应.称为αβ与的和,记为γαβ=+.另有一种规则,叫做对于的数乘运算:对于中的任意数及中任意元素,总有中一个确定的元素与之对应,叫做与的数乘,记为k σα=.而且,以上两种运算还具有如下的性质:对于任意,,V γ∈及,l F ∈,有 1)αββα+=+;2)()()αβγαβγ++=++;3)中存在零元素0,对于任何V α∈,恒有0αα+=; 4)对于任何V α∈,都有的负元素V β∈,使0αβ+=; 5)1αα=;6)()()k l kl αα=;(式中是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+;(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+.则称为数域上的一个线性空间,也称向量空间.中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算,其中数乘又称数量乘法.在不致产生混淆时,将数域上的线性空间简称为线性空间.需要指出,不管的元素如何,当为实数域时,则称为实线性空间;当为复数域时,就称为复线性空间.线性空间{0}V =称为零空间.例1 任何数域(作为集合),对于通常的数的加法与乘法(作为数乘)运算,都构成此数域上的线性空间.例2 实数域作为集合,对于通常的数的加法及乘法(作为数乘)运算,不能构成复数域上的线性空间.因为,,a R k i C ka ai R ∈=∈=∉.例 3 以数域上的数为系数的多项式称为数域上的多项式.数域上的、以为变量的全体多项式的集合记为[]F x ;次数小于的全体多项式的集合记为[]n F x .可以证明,[]n F x 对于通常的多项式加法及多项式数乘运算构成数域上的线性空间.对于多项式(),()[]n f x g x F x ∈,设121210()n n n n f x a x a x a x a ----=++++, 121210()n n n n g x b x b x b x b ----=++++,这里,,0,1,2,,1i i a b F i n ∈=-,于是1211221100()()()()()()[]n n n n n n n f x g x a b x a b x a b x a b F x ------+=++++++++∈,对于任何k F ∈,有121210()[]n n n n n kf x ka x ka x ka x ka F x ----=++++∈.易证明线性空间定义中的八条性质都成立,因此[]n F x 是上的线性空间.类似可证[]F x 对于通常的多项式加法及数乘运算也构成数域上的线性空间.例4 数域上的维列(或行)数组向量的全体所构成集合记为,它对于数组向量加法、数乘运算构成上的线性空间.例5 数域上的m n ⨯矩阵的全体构成的集合记为m n F ⨯,它对于矩阵加法、数乘运算构成数域上的线性空间.例6 定义在[,]a b 上的实函数全体的集合,对于函数加法、数乘运算构成实数域上的线性空间.例7 常系数二阶齐次线性微分方程320y y y '''-+=的解的集合,对于函数加法及数与函数乘法有:若12,y y D ∈,则12y y D +∈,当k R ∈时,则1ky D ∈,即关于这两种运算是封闭的,且满足定义1中的八条性质,故构成了上的线性空间.定理1 设是数域上的线性空间,则 1) 中零元素惟一;2) 中任一元素的负元素惟一;V α∀∈,用表示的负元素; 3) 00k =;特别有00α=,(1)αα-=-; 4) 如果0k α=,那么00k α==或.证 这里仅证明2),其余的证明留给读者去完成. 假设有两个负元素与,则0αβ+=,0αγ+=,从而0()()0βββαγβαγγγ=+=++=++=+=.二、向量的线性相关性在线性代数中,已讨论了维数组向量的性质:线性表示,等价性,线性相关性等,对于一般的数域上的线性空间也有类似结果.定义2 设是数域上的线性空间,12,,,(1)r r ααα≥是中一组向量,12,,,r k k k 是数域中的数,如果中向量可以表示为1122r r k k k αααα=+++,则称可由12,,,r ααα线性表示(线性表出),或称是12,,,r ααα的线性组合.定义3 设12,,,r ααα与12,,,s βββ是线性空间中两个向量组,如果12,,,r ααα中每个向量都可由向量组12,,,s βββ线性表示,则称向量组12,,,r ααα可以由向量组12,,,s βββ线性表示.如果向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ可以互相线性表示,则称向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ是等价的.容易证明向量组之间的等价具有如下性质: (1) 自反性 每一个向量组都与它自身等价; (2) 对称性 如果向量组12,,,r ααα与12,,,s βββ等价,那么向量组12,,,s βββ也与12,,,r ααα等价;(3) 传递性 若向量组12,,,r ααα与12,,,s βββ等价,而且向量组12,,,s βββ与12,,,t γγγ等价,则向量组12,,,r ααα与12,,,t γγγ等价.定义4 设为数域上的线性空间,12,,,(1)r r ααα≥是中一组向量,如果存在个不全为零的数12,,,,r k k k F ∈使得11220r r k k k ααα++=,则称12,,,r ααα线性相关;如果向量组12,,,r ααα不线性相关,就称为线性无关.由定义4可得向量组线性相关定义的另一说法.定理 2 设为数域上的线性空间,中一个向量线性相关的充分必要条件是0α=;中一组向量12,,,(2)r r ααα≥线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.证 如果一个向量线性相关,由定义4可知,有0k ≠,使0k α=,由定理1 的4)知0α=.反之,若0α=,由对任意数0k ≠都有0k α=.由定义4知,向量线性相关.如果向量组12,,,r ααα线性相关,则存在不全为零的数12,,,r k k k ,使得11220r r k k k ααα+++=,因为12,,,r k k k 不全为零,不妨设0r k ≠,于是上式可改写为121121r r r r rrk kk k k k αααα--=----, 即向量是其余向量121,,,r ααα-的线性组合.反过来,如果向量组12,,,r ααα中有一个向量是其余向量的线性组合,譬如说112211r r r l l l αααα--=+++,上式可写为112211(1)0r r r l l l αααα--++++-=,因为11,,,1r l l --不全为零,由定义4知,向量组12,,,r ααα线性相关.例8 实数域上线性空间22R ⨯的一组向量(矩阵)1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是线性无关的.事实上,如果1112123214220k E k E k E k E +++=,即12340k k k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则12340k k k k ====.因此,满足1112123214220k E k E k E k E +++=的1234,,,k k k k 只能全为零,于是11122122,,,E E E E 线性无关.定理3 设为数域上的线性空间,如果中向量组12,,,r ααα线性无关,并且可由向量组12,,,s βββ线性表示,则r s ≤.证 采用反证法.假设r s >,因为向量组12,,,r ααα可由向量组,s β线性表示,即1,1,,si ji j j a i r αβ===∑,做线性组合11221111()r s s rr r i ji j ji i j i j j i x x x x a a x αααββ====+++==∑∑∑∑,考虑齐次线性方程组1111221211222211220,0,0.r r r r s s sr r a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为上述齐次线性方程组未知数12,,r x x x 的个数大于方程的个数,从而有非零解12,,,r x x x ,即我们可找到不全为零的数12,,r x x x ,使得11220r r x x x ααα+++=.因此,向量组12,,,r ααα线性相关,这与12,,,r ααα线性无关矛盾,于是r s ≤.由定理3直接可得如下结论.推论1 两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量. 定理4 设线性空间中向量组12,,,r ααα线性无关,而向量组,r αβ线性相关,则可由12,,,r ααα线性表示,并且表示法是惟一的.证 向量组12,,,,r αααβ线性相关,故存在不全为零的数12,,,k k1,r r k k +,使112210r r r k k k k αααβ+++++=,并且10r k +≠;否则向量组12,,,r ααα线性相关,这与条件矛盾.从而1212111rr r r r k kk k k k βααα+++=----, 即可由12,,,r ααα线性表示.假设可由12,,,r ααα线性表示为11221122r r r r k k k l l l βαααααα=+++=+++,则111222()()()0r r r k l k l k l ααα-+-++-=.因为向量组12,,,r ααα线性无关,从而0(1,2,,)i i k l i r -==.因此,可惟一的表示为12,,,r ααα的线性组合.定义5 设12,,,s ααα是线性空间中一组向量,如果12,,,s ααα中存在个线性无关的向量12,,,(1,1,2,,)r i i i j i s j r ααα≤≤=,并且12,,,s ααα中任一向量都可由向量组12,,,r i i i ααα线性表示,则称向量组12,,,r i i i ααα为向量组12,,,s ααα的一个极大线性无关组,数称为向量组12,,,s ααα的秩,记为{}12,,,s rank r ααα=.一般说来,向量组的极大线性无关组不惟一,但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价.由等价的传递性可知,一个向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的,并且任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.由推论1知,一个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量,即向量组的秩是惟一的,并且等价的向量组具有相同的秩.三、基与维数现在引入线性空间的基与维数的概念,它是线性空间的重要属性. 定义6 设是数域上的线性空间,如果中存在个向量12,,,n εεε,满足1)12,,,n εεε线性无关;2)中任何向量均可由12,,...,n εεε线性表示.即存在12,,,n k k k F ∈,使得1122n n k k k αεεε=+++,则称12,,,n εεε为的一组基(或基底),基中向量的个数称为线性空间的维数,记为维或dim V .若dim V <+∞,称为有限维线性空间,否则,称为无限维线性空间,本书主要讨论有限维线性空间.关于线性空间的基与维数,有(1) 维线性空间中任一向量必可由的基12,,,n εεε线性表示,并且表示法惟一.(2) 线性空间的基(只要存在)必不惟一. (3) 有限维线性空间的维数是惟一确定的.定理5维线性空间中任意个线性无关的向量均可构成一组基. 证 设是维线性空间,12,,,n εεε是的一组基,12,,,n ααα是中一个线性无关的向量组.为证12,,,n ααα是基,只须证明中任一向量可由12,,,n ααα线性表示.此时,向量组12,,,n ααα中每个向量都可由基12,,,n εεε线性表示.这是1n +个向量被个向量线性表示的情况,即知12,,,n ααα,线性相关.再由定理4,便知可由12,,,n ααα线性表示,定理得证.例9 求实数域上线性空间的维数和一组基.解 考虑中向量组1231000,1,0.001E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然满足 1)123,,E E E 线性无关;2)对于中任一向量123(,,)T a a a α=,有112233a E a E a E α=++.由定义6知123,,E E E 为的一组基,从而的维数为3.例10 求数域上线性空间23F ⨯的维数和一组基. 解23F ⨯中向量组111213100010001,,,000000000E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212223000000000,,100010001E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,显然满足1)111213212223,,,,,E E E E E E 线性无关,2)对于23F ⨯中任一元素111213212223aa a A a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,有 111112121313212122222323A a E a E a E a E a E a E =+++++,于是知111213212223,,,,,E E E E E E 为23F ⨯的一组基,从而23dim()6F ⨯=.类似可知,线性空间m n F ⨯的维数为,其一组基为,1,2,...,;1,2,...,ij E i m j n ==,其中是m n ⨯矩阵,它的()元素为1,其余全为0.例11 设是二阶实对称矩阵全体的集合,对于通常的矩阵加法、矩阵数乘两种运算构成的实数域上的线性空间,求出的维数和一组基.解中一般元素可表示为a b b c ⎛⎫⎪⎝⎭,,,a b c R ∈,,,a b c 所在位置各体现一个自由度.考虑中向量组123100100,,001001A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,满足 1)123,,A A A 线性无关;2)对中任一矩阵,a b A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,有123A a A b A c A =++,可见12,,A A 为的一组基,dim()3V =.四、坐标与坐标变换定义7 设是数域上的维线性空间,12,,...,n εεε是的一组基,对于中任一向量,有数域中惟一的一组数12,,...,n a a a ,使1122...n n a a a αεεε=+++,称有序数组12,,...,n a a a 为向量在基12,,...,n εεε下的坐标,记为.如果借用矩阵乘法的形式,记12112212(,,...,)n n n n a a a a a a εεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭, 则的坐标可以方便地用一个维列(数组向量)表示出来12ˆn a aa α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 例12[]n F x 中向量121210()n n n n f x a x a x a x a ----=++++在基21,,,...,x x1n x -下的坐标为011(,,...,)T n a a a -.例13 设是二阶实对称矩阵全体的集合,对于矩阵加法与矩阵数乘运算构成实数域上的线性空间,求中向量1223A ⎛⎫= ⎪⎝⎭在基123200001,,000110εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标.解 因为1231322A εεε=++,所以在基123,,εεε下的坐标为1(,3,2)2T .引理1 在维线性空间中,对于任一组基,向量为零向量的充分必要条件是的坐标为(0,0,...,0)T .引理2 设是数域上的维线性空间,在基12,,...,n εεε下,如果的坐标记为,的坐标记为,则1)αβ+的坐标为ˆˆαβ+; 2)的坐标为ˆ()k k F α∈. 证 设1212ˆˆ(,,...,),(,,...,)T T n na a ab b b αβ==,便有 1122n n a a a αεεε=+++, 1122n n b b b βεεε=+++.于是,111222()()()n n n a b a b a b αβεεε+=++++++,可见αβ+的坐标为1122ˆˆn n a b a b a b αβ+⎛⎫ ⎪+ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 对任意k F ∈,有1122n n k ka ka ka αεεε=+++,故的坐标为.定理 6 设是数域上的维线性空间,在的一组基12,,...,n εεε之下,向量组12,,...,s ααα线性相关的充分必要条件是它们的坐标12ˆˆˆ,,...,s ααα(作为数域上的维数组向量)线性相关.证 利用引理1,2,便知以下四种说法等价 中向量组12,,...,s ααα线性相关. 有数域中不全为零的数12,,...,s k k k ,使1122...0s s k k k ααα+++= . 有数域中不全为零的数12,,...,s k k k 使1122ˆˆˆ...0s s k k k ααα+++=,这里0(0,0,...,0)T =. 数域上的维数组向量12ˆˆˆ,,...,s ααα线性相关. 设是数域上的维线性空间,12,,...,n εεε及12,,...,n εεε'''是的两组基,并设 11112121212122221122...,...,....n n n nnn n nn n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε'=+++⎧⎪'=+++⎪⎨⎪⎪'=+++⎩ (1) 若令111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则中第列恰是向量i ε'在基12,,...,n εεε下的坐标,矩阵是惟一确定的,并且是可逆的,把(1)式形式地表达为1212(,,...,)(,,...,)n n A εεεεεε'''=. (2) 把(2)式称为基变换公式,其中的阶矩阵称为由基12,,...,n εεε到基12,,...,n εεε'''的过渡矩阵(或称变换矩阵).在(2)式两端同时右乘,便得11212(,,...,)(,,...,)n n A εεεεεε-'''=. 这说明由基12,,...,n εεε'''到基12,,...,n εεε的过渡矩阵恰是由基12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵的逆矩阵. 下面研究同一向量在两组基下的坐标间的关系. 设基12,,,εεεn 与12,,,εεε'''n之间的关系如(2)式,向量在这两组基下的坐标分别为12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12nx x x '⎛⎫⎪' ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭, 于是,有11221212(,,...,)(,,...,)n n n nx x x x A x x αεεεεεε''⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪'' ⎪ ⎪'''== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭.根据向量在取定基下坐标的惟一性,得1122n nx x x x A x x '⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪' ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭, (3) 或写成11221n n x x x x A x x -'⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪' ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭. (3)'(3)式或(3)'式叫做坐标变换公式.定理7 在维线性空间中,设向量在两组基12,,...,n εεε及12,,...,n εεε'''之下的坐标分别为12(,,...,)T n x x x 及()12,,...,Tn x x x ''',如果两组基向量的变换公式如(2),则坐标变换公式为(3)或(3)'.例14 在线性空间中,求出由基1232121,0,5311ααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭到基1231000,1,0001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的变换公式,并求向量(4,12,6)Tξ=在基123,,ααα下的坐标123(,,)T x x x .解 首先容易得到由基123,,εεε到基123,,ααα的变换公式为123123(,,)(,,)A αααεεε=,其中 212105311A ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,可求得1535222746111222A -⎛⎫- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭.于是,由基123,,ααα到基123,,εεε的变换公式为1123123(,,)(,,)A εεεααα-=.又因为向量在基123,,εεε下的坐标显然为(4,12,6)T ,依坐标变换公式便有112347121661x x A x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例15 对于数域上的线性空间22F ⨯,证明123410000101,,,00011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是一组基,并求11122122aa A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在该基下的坐标.解 取基123410010000,,,00001001εεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则有1124323423,,,.A A A A εεεεεε=⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪=-⎩即1234123410000011(,,,)(,,,)00110100A A A A εεεε⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,过渡矩阵10000011,20,00110100B B ⎛⎫⎪⎪==-≠ ⎪- ⎪⎝⎭故1234,,,A A A A 是一组基.因为在1234,,,εεεε下的坐标为11122122(,,,)T a a a a ,则在1234,,,A A A A 下的坐标为()()11111222121112212321112212224a x a a x a B a a x a a a a x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例16 已知矩阵空间22R ⨯的两组基(Ⅰ) 123410100101,,,01011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(Ⅱ) 123411111110,,,11100000B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵.解 为了计算简单,采用中介基方法.引进22R ⨯的简单基(Ⅲ) 1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,直接写出由基(Ⅲ)到基(Ⅰ)的过渡矩阵1110001100111100C ⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪-⎝⎭,即1234111221221(,,,)(,,,)A A A A E E E E C =.再写出由基(Ⅲ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵21111111011001000C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,即1234111221222(,,,)(,,,)B B B B E E E E C =.所以有11234123412(,,,)(,,,)B B B B A A A A C C -=. 于是得由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵1121001111121111001111001111101101100221022011010000010C C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. §1.2 线性子空间一、线性子空间的概念在通常的三维几何空间中,考虑过原点的一条直线或一个平面.不难验证这条直线或这个平面上的所有向量对于向量加法及数乘运算,分别形成一个一维和二维的线性空间.这就是说,它们一方面都是三维几何空间的一部分,另一方面它们自身对于原来的运算也都构成一个线性空间.针对这种现象,引入下面定义.定义8 设是数域上的线性空间的一个非空子集合,且对中已有的线性运算满足以下条件(1) 对任意的1,x y V ∈,有1x y V +∈, (2) 对任意的1,x V k F ∈∈,有1kx V ∈, 则称为的线性子空间或子空间.例如,阶齐次线性方程组的解空间是的子空间.值得指出,线性子空间也是线性空间.这是因为为的子集合,所以中的向量不仅对线性空间已定义的线性运算封闭,而且还满足相应的八条运算律.容易看出,每个非零线性空间至少有两个子空间,一个是它自身,另一个是仅由零向量所构成的子集合,称后者为零子空间.它们统称为平凡子空间.由于线性子空间也是线性空间,因此,前面引入的关于维数、基和坐标等概念,亦可应用到线性子空间中去.由于零子空间不含线性无关的向量,因此它没有基,规定其维数为零.因为线性子空间中不可能比整个线性空间中有更多数目的线性无关的向量,所以,任何一个线性子空间的维数不大于整个线性空间的维数,即有1dim dim V V ≤(1)例如,阶齐次线性方程组当其系数矩阵的秩为(1)r r n ≤<时,其解空间的维数n r -小于的维数.下面讨论线性子空间的生成问题. 设12,,,m x x x 是数域上的线性空间的一组向量,其所有可能的线性组合的集合{}111(,1,2,,)m m i V k x k x k F i m =++∈=是非空的,而且容易验证对的线性运算是封闭的,因而是的一个线性子空间.这个子空间称为由12,,,m x x x 生成(或张成)的子空间,记为 {}1211(,,,)m m m L x x x k x k x =++.(或},,,{21m x x x span)(2) 在有限维线性空间中,它的任何一个子空间都可以由式(2)表示.事实上,设是的子空间,当然是有限维的,如果12,,,m x x x 是的一个基,那么有112(,,,)m V L x x x =. (3)特别地,零子空间就是由零元素生成的子空间(0)L .矩阵的值域和核空间(零空间)的理论,在线性最小二乘问题和广义逆矩阵的讨论中都占有重要地位,现定义如下定义9 设()m n ij A a R ⨯=∈,以(1,2,,)i a i n =表示的第个列向量,称子空间12(,,,)n L a a a 为矩阵的值域(列空间),记为12()(,,,)n R A L a a a =. (4)由前面的论述及矩阵秩的概念可知()m R A R ⊂,且有dim ()rankA R A =.()R A 还可以这样生成:令12(,,,)T n x ξξξ=,则12121122(,,,)(,,,)T n n n n Ax a a a a a a ξξξξξξ==+++,这表明为的列向量组的线性组合.反之,若为的列向量组的线性组合,则1122n n y a a a Ax ξξξ=+++=.可见所有乘积之集合{}nAx x R ∈与的列向量组的线性组合的集合12(,,,)n L a a a 相同,从而有{}()n R A Ax x R =∈.(5)同样可以定义的值域(行空间)为{}()T T m n R A A x x R R =∈⊂, (6)且有dim ()dim ()T rankA R A R A ==.定义10 设()m n ij A a R ⨯=∈,称集合{}0x Ax =为的核空间(零空间),记为()N A ,即{}()0N A x Ax ==.(7)显见()N A 是齐次线性方程组0Ax =的解空间,它是的一个子空间.的核空间的维数称为的零度,记为()n A ,即()dim ()n A N A =.例1 已知101011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求的秩及零度.解 记123(,,)A a a a =,显然有1230a a a +-=,即的三个列向量线性相关.但的任何两个列向量均线性无关,故2rankA =.又由0Ax =可求出(1,1,1),T x t t =-为任意参数,从而有()1n A =. 同样可以求得2,()0T T rankA n A ==.由例1可见,()rankA n A A +=的列数,而()()T n A n A -=()A 的列数(A -的)行数.这一事实具有一般性,即若()m n ij A a R ⨯=∈,则有下面的一般公式()rankA n A n += , (8)()()T n A n A n m -=-.(9)事实上,因为0Ax =的解空间的维数为()n A n rankA =-,从而式(8)成立;又因()T T rankA n A m +=,由式(8)减去上式便得式(9).值得指出的是,当m n A C ⨯∈时,同样有第一节中定义6和定义7,且式(8)与(9)仍成立.定理8 设是数域上的线性空间的一个维子空间,12,,,m x x x 是的基,则这个基向量必可扩充为的一个基.换言之,在中必可找到n m -个向量12,,,m m n x x x ++,使得12,,,n x x x 是的一个基.证 对维数差n m -作归纳法.当0n m -=时,定理显然成立,因为12,,,m x x x 已经是的基.现在假定n m k -=时定理成立,考虑1n m k -=+的情形.既然12,,,m x x x 还不是的基,但它又是线性无关的,则由定义6可知,在中至少有一个向量1m x +不能被12,,,m x x x 线性表出,把1m x +添加进去,121,,,,m m x x x x +必定是线性无关的(因为,若12,,,r x x x 线性无关,但12,,,,r x x x x 线性相关,那么可以被12,,,r x x x 线性表出,且表示法惟一).由式(3)知子空间121(,,,,)m m L x x x x +是1m +维的.因为 (1)()111n m n m k k -+=--=+-=,由归纳法假定知121(,,,,)m m L x x x x +的基121,,,,m m x x x x +可以扩充为的基,归纳法完成.二、子空间的交与和前面讨论了由线性空间的元素生成子空间的方法与理论.这里将要讨论的子空间的交与和,可以视为由子空间生成的子空间.首先证明下面的定理. 定理9 如果12,V V 是数域上的线性空间的两个子空间,那么它们的交集12V V 也是的子空间.证 因为120,0V V ∈∈,所以120V V ∈.于是12V V 是非空的.又若12,x y V V ∈,则12,,,x y V x y V ∈∈.因12,V V 都是子空间,故12,x y V x y V +∈+∈,即12x y V V +∈.又因对任意的k F ∈,12,kx V kx V ∈∈,故12kx V V ∈.所以12V V 是的子空间.称12V V 为子空间12,V V 的交. 由集合的交的定义可以推知,子空间的交满足交换律与结合律,即有1221V V V V =,123123()()V V V V V V =.定义11 设12,V V 都是数域上的线性空间的子空间,12,x V y V ∈∈,则所有x y +这样的元素的集合称为12V V 与的和,记为12V V +,即{}1212,,V V z z x y x V y V +==+∈∈.定理10如果12,V V 都是数域上的线性空间的子空间,那么它们的和12V V +也是的子空间.证 显然12V V +非空.又对任意向量112212,x y x y V V ++∈+,设12,x x 1V ∈,122,y y V ∈,则有1122121212()()()()x y x y x x y y V V +++=+++∈+,111112,()k F k x y kx ky V V ∀∈+=+∈+,这就证明了12V V +是的子空间. 由子空间的和的定义可以推知,子空间的和适合交换律与结合律,即有1221V V V V +=+ ,123123()()V V V V V V ++=++.例如,在线性空间中,表示过原点的直线上所有向量形成的子空间.表示另一条过原点的直线上所有向量形成的子空间.显然12V V 是由与交点(原点)形成的零子空间;12V V +是在由与所决定的平面上全体向量形成的子空间. 子空间的交与和可视为子空间之间的两种运算.如果子空间12,W V W V ⊂⊂,那么12W V V ⊂.这就是说12,V V 的子空间是12V V 的子空间;换言之,12V V 是包含在12,V V 中的最大子空间.如果子空间12,W V W V ⊃⊃,那么12W V V ⊃+.这就是说包含12V V 与的子空间也包含12V V +;或者说12V V +是包含12V V 及的最小子空间.关于两个子空间的交与和的维数,有如下的定理.定理11(维数公式)如果12,V V 是数域上的线性空间的两个子空间,那么有下面公式121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++. (10)证 设112212dim ,dim ,dim()V n V n V V m===.需要证明12dim()V V +12n n m =+-.当1m n =时,由121V V V ⊂知121V V V =,再由122V V V ⊂,可得12V V ⊂,从而122V V V +=,故12212dim()dim V V V n n m +==+-.同理,当2m n =时,式(10)亦成立. 当1m n <,且2m n <时,设12,,,m x x x 为12V V 的基.由定理8,将它依次扩充为12,V V 的基121111,,,,,;,,,,,,m n m m n m x x y y x x z z --只要证明向量组12111,,,,,,,,m n m n m x x y y z z --是12V V +的一个基,这样一来,12V V +的维数就等于12n n m +-,则式(10)成立.因为中任一向量可由111,,,,,m n m x x y y -线性表出,所以也可由12111,,,,,,,,m n m n m x x y y z z --线性表出.同理中任一向量也可由它们线性表出.于是有1212111(,,,,,,,,)m n m n m V V L x x y x z z --+=. 还须证明这12n n m +-个向量线性无关.假定11221111110m m n m n m n m n m k x k x p y p y q z q z ----++++++++=,令2211111111n m n m m m n m n m x q z q z k x k x p y p y ----=++=------,则由第一等式有2x V ∈;由第二等式有1x V ∈,因此有12x V V ∈,即可由12,,,m x x x 线性表出,令1122m m x l x l x l x =----,则有221122110m m n m n m l x l x l x q z q z --++++++=. 但211,,,,,m n m x x z z -是的基,因此它们线性无关,所以有2110,0m n m l l q q -======,从而0x =.于是又有1111110m m n m n m k x k x p y p y --+++++=,但111,,,,,m n m x x y y -是的基,故它们线性无关,从而又有1110,0m n m k k p p -======.这就证明了12111,,,,,,,,m n m n m x x y y z z --线性无关,因而它是12V V +的基.式(10)表明,和空间的维数往往要比空间维数的和小.给出和空间12V V +时,只知道其任一向量均可表示为12x V y V ∈∈与的和,即z x y =+.但是,一般说来这种表示法并不是惟一的.例如,在中,若表示1(1,0,0)x =与2(1,1,1)x =所生成的子空间;表示1(0,0,1)y =与2(3,1,2)y =所生成的子空间.则其和12V V +中的零向量,一方面可表示为000+=,即中的零向量与中的零向量之和,另一方面,零向量又可表示为12210(2)()x x y y =+--,这就说明零向量的表示法不惟一.针对这种现象,作如下定义.定义12 如果12V V +中的任一向量只能惟一地表示为子空间的一个向量与子空间的一个向量的和,则称12V V +为与的直和或直接和,记为1212()V V V V ∙⊕+或.定理12 和12V V +为直和的充要条件是12(0)V V L =.证 充分性 设12(0)V V L =,对12z V V ∈+,若有121122,,z x x x V x V =+∈∈; 121122,,z y y y V y V =+∈∈,则有1122111222()()0,x y x y x y V x y V -+-=-∈-∈,, 即 112212()()x y x y V V -=--∈ 11220,0,x y x y -=-=也就是1122,x y x y ==,于是的分解式惟一,12V V +为直和.必要性 假定12V V +为直和,如果12V V 不为零空间,则在12V V 中至少有一向量0x ≠.因12V V 是线性空间,故有12x V V -∈.今对12V V +中的零向量既有000+=,又有0()x x =+-.这与12V V +是直和的假定矛盾.推论1设12,V V 都是线性空间的子空间,令12U V V =+,则12U V V =⊕的充要条件为1212dim dim()dim dim U V V V V =+=+. (11)由定理12知,12V V +为直和的充要条件是12(0)V V L =.这与12dim()0V V =等价,也就是与12dim dim dim U V V =+等价.推论2如果1,,k x x 为的基,1,,l y y 为的基,且12V V +为直和,则1,,k x x ,1,,l y y 是12V V ⊕的基. 证1,,k x x ,1,,l y y 是12V V ⊕的k l +个向量,只需证明它们线性无关即可.设一组数1,,k c c ,1,,l d d 使 11110k k l l c x c x d y d y +++++=,则有111112()(0)k k l l c x c x d y d y V V L ++=-++∈= .故110,0k l c c d d ======,也就是1,,k x x ,1,,l y y 线性无关.子空间的直和概念可以推广到多个子空间的情形:设(1,2,,)i V i s =是线性空间的子空间.如果和1sii V=∑中每个向量的分解式1s x x x =++,(1,2,,)i i x V i s ∈=是惟一的,则称该和为直和,记为12s V V V ⊕⊕⊕.§1.3 线性变换及其矩阵线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象,而线性变换则研究线性空间中元素之间的最基本联系,本节介绍线性变换的基本概念,并讨论它与矩阵之间的联系.一、线性变换及其运算定义13 对于线性空间,如果存在一种规则:对于中每个元素,都有中一个确定元素与之对应,则称为线性空间的一个变换,并把这种对应关系记为()σαα'=,称为在变换下的象,称为在变换下的一个原象.1.中所有元素在变换下的象所成的集合称为变换的象集(或值域),记为()V σ.显然,()V V σ⊆.定义14 设,στ都是线性空间的变换,如果对于任意的V α∈,总有()()σατα=,则说变换与变换相等,记作στ=. 2. 几个特殊的变换恒等变换: *1()αα=,α∈V ; 零变换: *0()0α=,α∈V ;数乘变换*()∈k k F :*()αα=k k ,α∈V .3. 设、都是线性空间的变换.可定义与的和变换στ+及乘积变换为:()()()()στασατα+=+,α∈V ;()[()]σταστα=,α∈V .4. 如果是数域上的线性空间,对于中的数及的变换,可定义的数乘变换为()()(),k k V σασαα=∈定义15 对于线性空间的变换,若有的变换,使*1σττσ==,则称为可逆变换,称为的逆变换,记为.定义16设是数域上的线性空间,是的一个变换.如果对于中任意元素,αβ以及数域中任意的数,总有()()()σαβσασβ+=+, (1)()()k k σασα=, (2) 则称为线性空间的一个线性变换.如果线性空间的线性变换还是可逆变换,则称为的一个可逆线性变换. 5. (数域上的)线性空间的线性变换具有如下一些基本性质(0)0;()(),()V σσασαα=-=-∈. 证(0)(0)0()0σσασα===,()[(1)](1)()()σασασασα-=-=-=-.线性变换保持线性组合关系不变,即对中任何向量12,,...,αααs 及数域中任何数12,,...,s k k k 总有11221122()()()()σααασασασα+++=+++s s s s k k k k k k .线性变换把线性相关组化为线性相关组.证 若中向量12,,...,αααs 线性相关,则有中不全为零的数12,,...,s k k k 使11220ααα+++=s s k k k ,于是,1122()(0)σααασ+++=s s k k k利用、,上式即为1122()()()0σασασα+++=s s k k k .说明12(),(),...,()σασασαs 是的一个线性相关组. 若、都是线性变换,则+,,()k k F σ∈也都是线性变换.证 对任意的,V αβ∈及任意的k F ∈,有()()()()()()()()σταβσαβταβσασβτατβ++=+++=+++()()()()()()()()σατασβτβσταστβ=+++=+++;()()()()()()στασατασατα+=+=+k k k k k[()()]()()σαταστα=+=+k k .所以+为线性变换.类似可以证明为线性变换.再由*()()(())k k σασα=,而是线性变换,可知亦为线性变换.线性变换满足如下运算律:对于线性空间的线性变换,,及数域上的数,,总有;()();()();();();()();();().kl k l k l k l k k k σττσστρστρστρστρστρστσρστρσρτρσσσσσστστ+=+++=++=+=++=+=+=++=+若是可逆线性变换,则是可逆线性变换.证 只需证为线性变换,对于线性空间中的任意向量,,αβ有1111()()()()[()][()]αβσσασσβσσασσβ----+=+=+11[()()]σσασβ--=+.以作用等式两端得111()()()σαβσασβ---+=+.又,对于中任意向量及数域中的任意数,111()()[()][()]k k k k ασσασσασσα---===, 以作用两端得 11()()k k σασα--=. 于是知为线性变换,从而是可逆线性变换.例1 在线性空间中,求微分是一个线性变换,这里用表示,即()(),()n Df t f t f t P '=∀∈事实上,对任意的(),()n f t g t P ∈,及,k l F ∈,有[()g()][()g()]'()g ()D kf t l t kf t l t kf t l t ''+=+=+[()][()]k Df t l Dg t =+.例2 定义在闭区间[,]a b 上的所有实连续函数的集合(,)C a b 构成上的一个线性空间,在(,)C a b 上定义变换,即[()](),()(,)taJ f t f u du f t C a b =∀∈⎰.则是(,)C a b 的一个线性变换.二、线性变换的矩阵表示设是数域上的维线性空间,12,,...,εεεn 是的一组基.首先说明线性空间的一个线性变换,可以由它对基的作用完全确 定.即已知将化为()σεi (1,2,...,)=i n ,则对中任意向量1122αεεε=+++n n k k k ,必有 1122()()()()σασεσεσε=+++n n k k k .这说明()σα被完全确定.由的任意性,知线性变换被完全确定了. 从另一个角度看,()i σε作为中向量,又可以由基12,,...,εεεn 惟一地线性表示,设11112121212122221122()()()σεεεεσεεεεσεεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩n n n nn n n nn na a a a a a a a a (3) 若记 11122121212⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n n n nn a aa a a a A a a a , 则(3)式可表示为1212((),(),...,())(,,...,)σεσεσεεεε=n n A . (4)引进记号12(,,...,)σεεεn 用来表示12((),(),...,())σεσεσεn ,故(4)又可表示为1212(,,...,)(,,...,)σεεεεεε=n n A . (5)(5)式中的阶矩阵称为线性变换在基12,,...,εεεn 下的矩阵.显然,当确定时,它在取定基12,,...,εεεn 下的矩阵是被惟一决定的.事实上,的第列正是()i σε在基12,,...,εεεn 下的坐标.反过来,若给定数域上一个阶矩阵⎡⎤=⎣⎦ij A a ,可以证明上存在惟一的线性变换,使得在基12,,...,εεεn 下的矩阵恰为.证明过程如下:先构造的一个变换,再证明它是线性变换,并且是满足(5)式的惟一的线性变换.记1122,1,2,...,αεεε=+++=i i i ni n a a a i n .对于中向量1122αεεε=+++n n k k k ,令 1122()σαααα=+++n n k k k ,显然是的一个变换.还满足1)对于中任意向量,,若1122αεεε=+++n n k k k , 1122βεεε=+++n n l l l ,按的定义应有1122()σαααα=+++n n k k k , 1122()σβααα=+++n n l l l ,而 111222()()()αβεεε+=++++++nnn k l k l k l ,于是又有 111222()()()()σαβααα+=++++++n n n k l k l k l ,显然满足 ()()()σαβσασβ+=+.2)对于任意的∈k F ,及1122αεεε=+++∈n n k k k V ,便有1122()σαααα=+++n n k k k , 1122αεεε=+++n n k kk kk kk ,1122()σαααα=+++n n k kk kk kk .可见()()k k σασα=.。
线性代数的向量空间与线性变换

线性代数的向量空间与线性变换线性代数是数学中的一个重要分支,它研究向量、矩阵和线性方程组等概念与运算。
其中,向量空间和线性变换是线性代数理论的核心内容,它们有着广泛的应用和深远的影响。
一、向量空间的定义和性质向量空间是指由一组向量组成的集合,其中的向量满足一定的运算规则。
具体来说,向量空间要满足以下几个条件:1. 封闭性:对于向量空间中的任意两个向量,它们的线性组合仍然属于该向量空间。
即对于任意的向量a和b,以及任意的标量k和l,有ka+lb也属于该向量空间。
2. 加法结合性:向量空间中的向量加法满足结合律。
即对于任意的向量a、b和c,有(a+b)+c=a+(b+c)。
3. 加法交换性:向量空间中的向量加法满足交换律。
即对于任意的向量a和b,有a+b=b+a。
4. 零向量存在性:向量空间中存在一个元素0,称为零向量,满足对于任意的向量a,有a+0=a。
5. 加法逆元存在性:向量空间中的任意向量都存在一个加法逆元,即对于任意的向量a,存在一个向量-b,使得a+(-b)=0。
6. 数乘结合性:向量空间中的数乘运算满足结合律。
即对于任意的向量a和标量k、l,有(kl)a=k(la)。
7. 数乘分配性:向量空间中的数乘运算满足分配律。
即对于任意的向量a和标量k、l,有(k+l)a=ka+la和k(a+b)=ka+kb。
以上是向量空间的一些基本定义和性质,它们构成了线性代数中向量空间的基础。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数。
具体来说,对于向量空间V和W,一个从V到W的线性变换T满足以下两个条件:1. 加法保持性:对于向量空间V中的任意两个向量a和b,有T(a+b)=T(a)+T(b)。
2. 数乘保持性:对于向量空间V中的任意向量a和标量k,有T(ka)=kT(a)。
线性变换的一个重要性质是它将向量空间V中的零向量映射到向量空间W中的零向量。
即T(0)=0。
线性变换在实际应用中具有广泛的作用,例如在图像处理、机器学习、金融工程等领域中都有应用。
第讲线性空间与线性变换课件

即
0 x 0, x 0,1
f 的负元素为 f1 x f1 x, x 0,1
(2)下证 dimV ,即证存在任意多个线性无关 的函数。令
f0 x 1, f1 x x, f2 x x2, , fn x xn , x 0,1
则可证 f0, f1, , fn 线性无关,由于 n 任意大,所以
2、线性空间的简单性质
(1)零元素 是唯一的; (2)任意元素 的负元素 是唯一的;
(3)0 , k ,1 ;
(4)如果 k ,则 k 0 或 .
例1、设V 是定义在闭区间0,1 上所有实函数的集
合,在V 上定义的加法为:对 f1, f2 V , f1 f2 为函数
f1 f2 x f1 x f2 x
设,存在 Vi ,1 i m 1. 若 Vm ,得证。 否则, Vm ,必存在 Vm 。我们证明存在正整数 k , 使 k Vi 对所有的 i 1, 2, , m 成立。
首先注意 k Vm。否则,我们有 Vm ,矛盾。
我们证明上述断言成立,只需证明存在正整数 k ,使
k Vi 对 i 1, 2, , m 1 成立即可。
dimV . 即V 不是有限维线性空间。
例2、设V1,V2 是数域P上的线性空间,对 k P,
1,2 , 1, 2 V1 V2 , 规定 1,2 1, 2 1 1,2 2 k 1,2 k1, k2
(1)证明:V1 V2 关于以上运算构成P上的线性空间;
(2)设 dimV1 m,dimV2 n ,求 dimV1 V2 .
A
s
,作齐次线性方程组
Ax O
T s
可得它的基础解系1, 2, , ns(其中i 为 n 维列向量),
则有 iT j
线性代数中的向量空间与线性变换

线性代数中的向量空间与线性变换线性代数是数学的一个重要分支,研究的是向量空间及其上的线性变换。
向量空间是线性代数的基本概念之一,了解向量空间的性质和线性变换的特点,对于解决各种实际问题和推导数学定理都具有重要意义。
一、向量空间向量空间是指由一组向量构成的集合,满足一定的条件。
这里的向量并不仅仅局限于几何向量,还包括矩阵、多项式等。
向量空间的基本性质包括封闭性、线性组合性和加法逆元性。
1. 封闭性:向量空间中的任意两个向量的线性组合仍然是该向量空间中的向量。
例如,在二维平面上的所有向量构成一个向量空间,任意两个向量的线性组合仍然位于二维平面上。
2. 线性组合性:向量空间中的向量可以通过线性组合得到。
线性组合是指将若干个向量按照一定的比例相加。
例如,在三维空间中,向量(1,0,0)和(0,1,0)的线性组合可以表示为a(1,0,0) + b(0,1,0),其中a和b 为实数。
3. 加法逆元性:向量空间中的每个向量都有一个对应的加法逆元,使得向量与其加法逆元相加得到零向量。
例如,在二维平面上的向量(1,2)的加法逆元为(-1,-2)。
二、线性变换线性变换又称为线性映射或线性算子,是指保持向量空间中的加法和数乘运算不变的映射。
线性变换可以用矩阵表示,也可以用公式表示。
线性变换的特点是保持原有向量空间的结构不变。
1. 线性变换的定义:设V和W为两个向量空间,如果存在一个映射T,使得对于V中任意两个向量u和v,以及任意实数k,都有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(ku) = kT(u),则称T为从V到W的线性变换。
2. 线性变换的特点:线性变换具有保持加法和数乘运算不变的特性。
即对于线性变换T,对于任意的向量u和v,以及任意的实数k,都有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(ku) = kT(u)。
线性变换在实际问题中具有广泛的应用,例如在工程领域中,矩阵的变换可以描述物体的旋转、缩放和平移等操作;在金融领域中,线性变换可以用来建立风险管理模型和优化投资组合;在图像处理领域中,线性变换可以用来实现图像的增强和压缩等操作。
线性代数之第4章.向量空间与线性变换

内积空间定义及性质
定义
设 $V$ 是实数域或复数域 $F$ 上的线性空间,若在 $V$ 上定义了一个二元实函数 $(a, b)$,满足以下性 质
对称性
$(a, b) = overline{(b, a)}$
线性性
$(k_1a_1 + k_2a_2, b) = k_1(a_1, b) + k_2(a_2, b)$
变换矩阵的性质
线性变换的矩阵表示是可逆的当 且仅当T是一个可逆线性变换。
标准矩阵表示法:对于线性变换 T:V→W,可以选取V和W的一组 基,将T在这组基下的矩阵表示为 标准矩阵。标准矩阵是一个m×n 矩阵,其中m和n分别是W和V的 维数。
若T1和T2是两个线性变换,则它 们的复合T1∘T2也是一个线性变换, 且其矩阵表示为两个变换矩阵的乘 积。
性质
03
04
05
线性变换保持原点不动, 线性变换保持向量间的
即T(0)=0。
线性关系,即若向量u和
v线性相关,则T(u)和
T(v)也线性相关。
线性变换的矩阵表示是 唯一的,且与所选的基 无关。
线性变换矩阵表示法
线性变换的矩阵表示是线性的,即 对于任意两个向量x和y以及任意 标量k,有T(kx+y)=kT(x)+T(y)。
02
负定二次型判断方法
03
所有特征值均为负数。
正定二次型和负定二次型判断方法
奇数阶主子式为负,偶数阶主子式为正。
存在可逆矩阵C使得$C^TAC=-I$,其中I是单位矩阵。
二次型在优化问题中应用举例
最小二乘法
约束优化问题
在回归分析中,最小二乘法是一种常用的优 化方法,其目标是最小化残差平方和。该问 题可以转化为求解一个二次型的最小值问题。
线性空间和线性变换概况PPT课件

3 5
A
4
2
在基F11,F12,F21,F22下的坐标。
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1.3 线性子空间
(a) 线性子空间 设V1是数域F上的线性空间V上一个非空子集合, 且对已有的线性运算满足以下条件:
1. 如果x,y∈V1,则x+y∈V1; 2. 如果x∈V1,k∈F,则kx∈V1; 则称V1是V的线性子空间(linear subspace)或子空间。
则称x1,…,xm是线性相关(linearly dependent)的。否 则称x1,…,xm是线性无关(linearly independent)的。
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例5 在Rn中,分别讨论下面两个向量组的线性相关 性:
例6 讨论下面2阶矩阵的线性相关性:
a 1
1 a
1 1
1 1
A1 1
1 , A2 1
• 范数、序列、级数:定义了范数,我们就可以定义矩阵序列、矩阵级数及其极限, 并讨论其收敛和发散性。
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• 矩阵函数:以矩阵为变量的函数称为矩阵函数。Jordan标准形在此起了很重要的 作用。
• 函数矩阵与矩阵微分方程:将矩阵的概念推广,元素为任意函数的矩阵称为函数 矩阵。这样我们可以求矩阵的导数、微分、积分,并求解相应的微分方程。
一、线性空间概念 (a) 数域
数域(field):关于四则运算封闭的数的集合。 ✓任何数域都含有元素0和元素1;
✓典型数域:复数域C,实数域R,有理数域Q; ✓任意数域F都包括有理数域Q。
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阿贝尔群V和数域F上的线性运算具有良好性质,则<V,F>构
(b) 线性空间 成一个线性空间。
给定非空集合V ,数域F,如果满足:
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i 0 , , 0 ,1, 0 , , 0 , i 1, 2 , , n 是 线 性 无 关 的 ;
一 个 n 阶 实 矩 阵 A a ij
nn
, 如 果 A 0, 则 A 的 n个
线 性 行 向 量 和 n个 列 向 量 也 都 是 线 性 无 关 的 .我 们 还 知 道 在 R 中 n 1个 向 量 都 是 线 性 相 关 的 , 这 样
现在,推广到 n 维实向量。 定义4.3 设 = (a1, a2,, an)T, = ( b1, b2,, bn)T Rn , 规定, 的内积为 (, ) = a1b1+ a2b2 ++ anbn 当 , 为列向量时, (, ) = T = T
由定义易得内积有下列性质:, , Rn, R (1) (, )= ( , ) (对称性); (2) (+, ) = ( , ) + (, ); (3) (, ) = ( , ); (2) (3)称为线性性 (4) (,) 0, 等号成立当且仅当 = 0(非负性)
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第三章
4
Rn 的基不是唯一的,而在给定基下的坐标是 唯一确定的。 Rn 中n个单位向量组成的基称为自然基。 在 R3 中, =a1 i + a2j + a3k。向量(a1, a2, a3) 是 关于自然基{ i, j, k} 的一组坐标。Rn中的向量 =(a1, a2,,an)T 也是关于自然基B={e1, e2,, en}的 坐标 B。
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第三章
5
例1 Rn 有一组基B = {1, 2,, n},其中
1 =(1, 1,,1), 2 = (0, 1,,1),, n = (0, 0,, 1)
求 = (a1, a2,, an) 在基 B下的坐标。
请思考!
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第三章
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解
x1 设B = (x1, x2,, xn)T,即 x2 = x11+x22 ++ xnn= β 1 ,β 2 , ,β n xn
代入
由于 在基 B1= (1,, n)下的坐标是唯一的,所以 x= A y 或 y=A1 x
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第三章
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例2 已知 B2= {1, 2, 3}是R3一组基,
1=(1, 2, 1)T , 2=(1, 1, 0)T, 3=(1, 0, 1)T
求 R3 的自然基B1={e1, e2, e3}到基B2的过渡矩阵A。
n
我们知道R 中的任意一个向量都可以由R 中的
n n
n个 线 性 无 关 的 向 量 来 表 示 , 且 表 示 法 唯 一 .R 中 这种向量之间的关系就是本节将要讨论的“基” 与“坐标”的概念.
n
定义4.1 设有序向量组B={1, 2,, n} Rn,若 B
线性无关,且 Rn 中任意一个向量 均可以由 B线性 表示为 =a11 + a22 ++ ann 则称 B是Rn 的一组基(或基底),有序数组(a1, a2,,an)是向量关于基B(或在基B下)的一组坐标 (坐标向量),记作 B= (a1, a2,,an) 或 B= (a1, a2,,an)T
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第三章
26
定义4.4 向量 的长度
α (α , α ) a1 a 2 a n
2 2 2
第4章 向量空间和线性变换
主要内容
Rn的基与向量关于基的坐标 Rn中向量的内积标准正交基和正交矩阵
说明:本章重点是第一节和第二节的内容, 第三节至第六节的内容自己阅读.若时间允 许,我们 再做详细 讨论 .
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第三章
2
4.1 Rn的基及向量关于基的坐标
从 前 面 的 知 识 我 们 知 道 :R 中 的 单 位 向 量
x1 x2 xn ) n y1 y2 yn ) A) n y1 y2 yn
= (1,, n)
= (1,,
= ((1,,
(1,, n)= (1,, n) A
1 A 2 1 1 1 0 1 0 1
A 是1, 2, 3按列排成的矩阵。
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第三章
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例3 已知R3的两组基B1={1, 2, 3}, B2={1, 2, 3}
为
1=(1, 1, 1)T, 2=(0, 1, 1)T, 3=(0, 0, 1)T 1=(1, 0, 1)T, 2=(0, 1, 1)T, 3=(1, 2, 0)T
即
1 0 1
0 1 1
1 1 2 1 1 0
0 1 1
0 0 1
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
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第三章
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1 A 1 1
为所求的过渡矩阵
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第三章
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解(2)
在基 B2下的坐标 y ,由定理 4.2得
0 1 2 2 3 2 1 1 2 1 2 1
1
1 y=A1 x 1 1 0 1 1
1 2 1
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第三章
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定理4.1
设 B1={1, 2,, n}是Rn的一组基, 且
η 1 a1 1α 1 a 2 1α 2 a n1α n η 2 a12 α 1 a 22 α 2 a n 2 α n η a α a α a α 1n 1 2n 2 nn n n
a1 1 a 21 a n1 a1 2 a 22 an2 a1 n a2n a nn
矩阵A=(aij)nn叫做基B1变为基B2的过渡矩阵 过渡矩阵A是可逆的。 A 的第 j 列是 j 在基{1, 2,, n}下的坐标。
则 1, 2,, n线性无关的充要条件是
a11 det A a 21 a n1 a1 2 a 22 an2 a1 n a2n a nn 0
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第三章
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证:
1, 2,, n线性无关的充要条件是
n
j 1
x jη
n
j
0
只有零解。
由
n
η
j
n
i 1
a ij α i
n
( j 1, 2 , , n )
n n
及
j 1
x jη
j
j 1
x j ( a ij α i )
i 1
(
i 1 j 1
a ij x j )α i 0
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第三章
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因1, 2,, n线性无关,i 的系数全为零,
1 5 2 7 1 4
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第三章
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在平面直角坐标系中,坐标轴旋转的坐标变换公式 将坐标系Oxy绕原点O按逆时针方向旋转角, 得 , Oxy的自然基B1={e1,e2}={(1,0),{0,1}}
2 变换为Oxy的基B2= {e1 , e }
Oxy
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第三章
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由图得
e1 (c o s ) e1 (s in ) e 2 e 2 ( s in ) e1 (c o s ) e 2
cos ( e1 , e 2 ) ( e1 , e 2 ) s in s in cos
y
y
y
y
e 2
即
e2 e1
P( x,y ) P(x,,y) x
o
基B1 变为基B2 的变
x
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第三章
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设点P在基B1和B2下的坐标分别为(x ,y)和(x,y ) , 则
x co s x 1 A y y sin sin x co s co s y sin
a1 1 a2 1 将各向量代入: an 1 1 a 1 n
0 1 1 1
0 0 1 1
0 x1 x2 0 0 xn 1 1 xn
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第三章
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解: 由
β 1 e1 2 e 2 e 3 β 2 e1 e 2 β e e3 1 3
即
β1
β2
β 3 e1
e2
e3
1 2 1
1 1 0
1 0 1
即得自然基B1到基B2的过渡矩阵
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第三章
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定理4.2 设基B1变为基B2的变换矩阵为A ,向量 在B1 ,B2下的坐标分别为
ξ B x ( x1 , , x n ) ,
T
1
ξ B y ( y1 , , y n )
2
T
则
A y=x 或 y= A1x
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第三章
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证:由已知条件 =x1 1 + x2 2 ++ xn n= y1 1 + y2 2 ++ yn n