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域中的一个边界条件。
当
时，
然后用
和
分别乘上式的两边，
对从
积分，因为右边只有
的余弦
项，所以只有
的项的系数不等于零，其余的项的系
数都为零，所以得到
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且当 到
时， ，故柱外区域的解为
式中
仍为待定常数。
其次，圆柱内的解应为
，得
因为
处，
必须为有限制，故通解中所有r的
幂项都不存在。这一条件为自然边界条件。
（F-1）
γ = 0 时，式（F-1）和式（F-2）的解是
（F-2）
γ ≠ 0 时，式（F-1）可写为：
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这是一个变系数常微分方程，称为欧拉（Euler）方程， 即（式F-1）的解为： 对于g (φ) ，即式（F-2）的解为
在许多实际问题中, 坐标变量φ 的变化范围是0 —2π ,而电位 又必须是单值的,即
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2020/11/24
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拉普拉斯方程和泊松方程
拉普拉斯方程和泊松方程是静态场的基本方程。
边值型问题的分类
第一类边值问题（狄利赫利（Dirichlet）问题）：边界
上的位函数已知。
第二类边值问题（诺伊曼（Neumann）问题）：位函数在
边界上的法向导数已知。
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同理，假如 代入边界条件，有 同样利用三角函数的正交性，对上式两边同乘以 在0-a和0-b的区域对x和y积分，有
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对等式右边积分，得到
从而有
C’nm由上式确定。 如果有多个边界条件电位不为零，则可利用叠加原理，将
问题分解为只有其中一个边界电位不为零，其余边界电位为零， 分别求解，最后的解就是所有这些问题的解的叠加结果。
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根据边界条件，得到：
对于图（b），需首先找出x=0处的边界条件。由于问题的解 是图（a）和图（b）问题叠加的结果，因此图（a）和图（b） 边界条件的叠加应该等于原来的边界条件，即
从而得到
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这两个场叠加后，在y=0和y=d两平面上的边界条件与原题中 的一样，而在x=0的平面上有
在二维情况下，场在φ方向无变化，此时
拉氏方程变为：
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令
代入，有：
上式中f(r) 和
已分开在两项中，令分别等于常
数
和 ，得
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常微分方程的解
（1）
在该式中引入一个新的自变量
,于是该式可变为
上式称为勒让德方程。若我们研究的空间中包含 从0 到 ，即x从1到(-1)时，且取 为
用
乘上式两边，并对y从
积分得
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只有当s为偶数时， 才不为零，且有 用 2n代替s，n=1,2,3,…，得
。于是
和 叠加后，得电位解为
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4.2 圆柱坐标系中的分离变量法
应用条件：
界面形状适合用圆柱坐标系表示。
分析方法： 用分离变量法求通解，重点是利用边界条件求定解。
第三类边值问题（混合边值问题）：部分边界上位函数
已知，部分边界上位函数的法向导数已知。
如果边界是导体，则上述三类问题分别变为：已知各导
体表面的电位；已知各导体表面的总电量；已知一部分导体
电位与另一部分导体的电荷量。
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边值问题 研究方法
计算法
实验法 作图法
解析法
数值法 实测法 模拟法 定性 定量
也和原题相同。根据唯一性定理可知 解。现在只需求解 。
是我们所求的
由上述分析可见，场是对称于x=0平面的，只需求出
时的
解即可。为了满足y=0和y=d时 的条件，g(y)必定取正弦函
数
；又因为 时， 应为零，所以f(x)应是随x衰减
的函数，即取
，再由
，
得
。
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于是 的解具有如下形式 代入x=0的边界条件，得
0
0
向沿x，圆柱轴与z轴相合，如图所示。求圆柱内外的电位
函数。
解：在圆柱坐标
中
，外电
场
，可用一个电位函
数
表示，
故有
设柱内和柱外两个区域的电位函数分别为
和
，
因圆柱无限长，它们均与z无关，解为二维通解
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对于
，当
时，圆柱介质极化的影响已不
复存在，场仍然是原来的均匀场
，所以有这是柱外区
则此时的勒让德方程只有一个有界解，它为m次多项式，称为勒
让德多项式，记作
。
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(2) 在该式中代入式
后，得
上式的两个解为 和 ，故
于是我们得到电位的解为
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分离变量法小结
前提
给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合，或者分段地与坐标 面相合。
在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积， 其中每个函数分别是一个坐标的函数。
圆柱体外和内的电场强度变量为
上式中的第二式表示圆柱体内的电
场
是一个均匀电场，它的大小
和外加均匀场
相比要小，这是
由于介质圆柱被极化后表面出现束缚
电荷，它们的电场在圆柱内与外电场
方向相反之故。
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4.3 球坐标系中的分离变量法
应用条件： 界面形状适合用球坐标系表示。
球坐标系中的拉普拉斯方程（我们只讨论场问题与 无关的情形）
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例4.1.2：求如图所示导体槽内的电位。槽的宽度为d，在x 和z方向都是无穷大，槽由两块L形的导体构成，两块导体间 有一狭缝，外加恒定电压U0。 解：由于在z方向是连续 的，因此这个问题是个二 维问题，电位只是x和y和 函数。 首先考虑边界条件，有
以及当x趋于无穷时，电位应该有限。
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和
为两个区域的电位函数，它们在交界面处相衔接，应
用介质交界面的边界条件，首先，
时，
。得
到
上式中同样只有 即
的余弦项系数不等于零， ，而上式则为
现利用
时，
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得 从以上所得的两个方程式，求解得 于是得到圆柱体外和内的电位函数分别为
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求如图长方体积中的电位函 数。边界条件为除z＝c面电位不 为零外，其他各表面的电位都为 零。Z＝c表面上给定的电位函数 为U（x，y）。
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解：显然，长方形体积内的电位满足拉普拉斯方程。
首先观察边界条件，有
要满足在x=0，x=a的边界上，电位为零的边界条件，在f(x) 的三种可能的解中只能有
得到
这里
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这样，长方形体积内电位的通解的形式为
令 为新的待定系数，对于具体的U(x,y)，可以利用三角函数的 正交性，得出待定系数。 例如对于 代入 z=C 的边界条件，有
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两边同乘以 利用三角函数的正交性，在0-a和0-b的区域对x和y积分，有 即
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镜像法应用举例
1. 无限大接地平面上的点电荷 设在无限大导体平面（z=0）附近有一点电荷q，与平面的距 离为z=h，如图所示，假设导电平面的电位为零，求上半空 间的电场。 解：显然，当点电荷靠近导体 平面时，导体平面上会产生感 生电荷，上半空间的电场是点 电荷与感生电荷电场的合成的 结果。
直角坐标系中的拉普拉斯方程：
变量分离
设
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拉普拉斯方程变为
上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下 列三个方程：
其中
、
和
为虚数。
为常数，但不能全为实数或全
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常微分方程的解
以常微分方程
为例，其解的形式为：
若 为零，则
若 为实数，则 若 为虚数，即
，则 或
其中
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双曲正弦曲线， 通过原点对原点对称
双曲余弦曲线， 不通过原点，对y轴对称， 顶点（同极注册小设备点工程）师：10年A培(训0,课1件) 4
和 的情况与此类似。故拉普拉斯方程的解为
求定解
根据边界条件确定通解中的各个常数。 请参照例题来学习体会。
例4.1.1
区域内，可用镜像法解
决。
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3.点电荷介质分界面的镜像法 例4.4.1 在z<0的下半空间是介电常数为ε的介质，上半空间是空
圆柱坐标系中的拉普拉斯方程：
当电位在z方向没有变化时，拉普拉斯方程简化为
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设 代入，二维拉普拉斯方程被分离为两个常微分方程，即 拉普拉斯方程变为
要在 r 、φ 取任意值时，上式都能成立，式中的每一项都
必须是常数，即：
而且
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令
γ是分离常数
则上式可分解为下列两个常微分方程
设想将导电板撤出，使整个空间充满介电常数为的介质。 在如图所示的位置上，放入三个镜像电荷。这样能保证原电场 的边界条件不变。原问题中的电场可看成由此四个电荷产生。 注意：这种方法只能用来求第一象限的电场。
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对于夹角为
的两个相连无限大导电平板间置有点电荷
的问题，只要n为整数，在
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由此得到在上半空间的电位为
电场强度： 其中， 求得无限大导体平面上的感生电荷密度：
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感应电荷：
点电荷的平面镜像
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2. 1800/n角度相交的导体面和点电荷 设有一点电荷q置于相交成直角的两个半无限大导电平板之前， 试分析如何求解这一电场。
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
数学模拟法 物理模拟法
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4.1 直角坐标系中的分离变量法
应用条件：
界面形状适合用直角坐标系表示, 既场域边界与正交坐标面 重合或平行时。
分析方法：
用分离变量法求通解，重点是利用边界条件求定解。
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根据x=0面上的边界条件得到
即 又根据x=a的边界条件，有
从而得到 f(x)的解的形式为
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同理，对于 g(y)，有
由分离常数之间的关系可知，h(z)只能或者是双曲函数， 或者是指数函数，同样要根据边界条件来定。由于当z=0时， h(z)=0，显然采用双曲函数比较方便，代入边界条件：
这就要求
γ 应当是整数 ,以 n 表示(n=1,2,3,注册…设备)工.程师10年培训课件4
将上述各式中的γ 换成 n ,则可得圆柱坐标中的二维
拉普拉斯方程的同解是:
(4.2.7)
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例：一根半径为r0的，介电常数为ε 的无限长介质圆柱
体，放置于均匀外电场E 中，且与E 相垂直。设外电场方
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对于上面的二维边值问题，可采用叠代法求解，即将原来 的边值问题分成如下两个边值问题的叠加来解决。即
Φ1和Φ2分别是图（a）和图（b）的解 对于图（a），当y=a时，电位为U ，当y=0时，电位为0，它
0
相当于求两个无限大平板之间的电位，这是一个一维问题， 即电位只在y方向有变化。电位满足的方程为：
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镜像法应用 思路
用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。 保持求解区域中场方程和边界条件不变。 使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且 离散分布于有限区域。 步骤 确定镜像电荷的大小和位置。 去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。 求解边界上的感应电荷。 求解电场力。
思路 先将偏微分方程转换为常微分方程，再利用边界条件求解。 解题步骤
1.分析问题，选坐标系，定坐标轴。 2.列电位方程。 3.变量分离，将偏微分方程转换为常微分方程。 4.分析边界条件，确定解的一般形式。 5.利用边界条件确定解中的常数。
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4．4 镜像法
镜像法的原理 在已知边界条件，已知电荷分布时，由于边界条件和电荷分 布相互影响，直接求解泊松方程和拉普拉斯方程是比较困难 的。此时，可在研究的区域之外，用假想的电荷来代替原来 的边界，即：由假想的电荷和原来的电荷共同产生的场在边 界上满足原来的边界条件，则在所研究的区域内的场即为真 实电荷与假想电荷（又称为镜像电荷）产生的场的叠加。采 用镜像法可以使这类问题的场解过程变得简单，但它的应用 范围是有限的。
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直接求解感生电荷的分布显然是一个比较困难的问题。 考虑到镜象法的原理，在z=0的 平面之下与q对称地放置一个电 量为-q的镜象电荷，显然，这个 镜象电荷与原来电荷的合成电场 满足无限大导体平面的边界条件， 即无限大导体平面的影响由镜象 电荷-q来代替，上半空间的电场 或电位分布就由原来电荷和镜象 电荷的场的叠加得出。如图所示：