2019-2020年高一数学数列 新课标 人教版

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一、数列的概念

1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）

2、通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系用一个公式来表示。（通项公式不唯一）

3、数列的表示:

(1) 列举法:如1,3,5,7,9……; (2) 图解法:由(n,a n )点构成;

(3) 解析法:用通项公式表示,如a n =2n+1

(4) 递推法:用前n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a 1=1,an=1+2a n-1

4、数列分类：有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列，有界数列，无界数列

5、任意数列{a n }的前n 项和的性质

Sn= a 1+ a 2+ a 3+ ……+ a n ()

()⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n

n

6、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨

⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+1

1

n n n n a a a a 考虑数列的单调性

二、数列通项的求法

1、 由等差，等比定义，写出通项公式

2、 利用迭加a n -a n-1=f(n)、迭乘a n /a n-1=f(n)、迭代

3、一阶递推q pa a n n +=+1,我们通常将其化为()()A a p A a n n -=-+1看成{b n }的等比数列

4、利用换元思想

5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明

6、对含a n 与S n 的题，进行熟练转化为同一种解题 三、等 差 数 列

1．定义：)()(1∙

+∈=-N n d a a n n 常数

2．通项：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+= 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

4．中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5．性质: ()()n

m a a d d n m a a n

m n m --=

-+=,1

()q p m n m q

p a a a q p m a a a a n m q p +=+=+=++=+2,2,,,2则若则若在等差数列中

(){}{}{}{}{}.

,,,,,,,,,3211121d d d pd b a q a pa d d b a n n n n n n ±±+且公差分别为列也为等差数

则数列且公差分别为均为等差数列若（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等差数列，公差为md 。

(5)等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…为等差数列，公差为n 2

d 。 (6)若等差数列的项数为2n ，则有1

,

+==-n n

a a S S nd S S 偶奇奇偶。 （7）等差数列的项数为奇数n ，则偶奇中间项偶奇且S S a S S S n n -=+=，1

1

-+=n n S S 偶

奇。 （8）{}n a 为等差数列，()n n a n S 1212-=-。

（9）通项公式是a n =An+B ()0≠A 是一次函数的形式；前n 项和公式()02

≠+=A Bn An S n 是

不含常数项的二次函数的形式。（注当d=0时，S n =na 1, a n =a 1）

（10）若a 1>0，d<0，S n 有最大值，可由不等式组⎩⎨⎧≤≥+0

01n n a a 来确定n 。

若a 1<0，d>0，S n 有最小值，可由不等式组⎩⎨⎧≥≤+0

1n n a a 来确定。

6．等差数列的判定方法

(1)定义法: )()(1∙

+∈=-N n d a a n n 常数 (2)中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=2

7．知三求二(n n S a n d a ,,,,1),要求选用公式要恰当.

3．设元技巧: 三数:d a a d a +-,, 四数d a d a d a d a 3,,,3-+--

四、等 比 数 列

1．定义与定义式：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.

)(1

为不等于零的常数q q a a n

n =+ 2．通项公式：11-=n n q a a ,推广形式:m

n m n q a a -=,变式),,(*-∈>=N n m m n a a q m n m

n

3．前n 项和：⎪

⎩

⎪⎨⎧≠≠--=--==)

10(11)1()

1(111q q q

q a a q

q a q na S n n n

且

注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:若a 、b 、c 成等比数列,则b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±=

5．等比数列性质:

()n m n

m

n m n m a a q q a a --±==,1

()q p m n m q p a a a q p m a a a a n m q p ⋅=+=⋅=⋅+=+2

,2,,,2则若则若在等比数列中。

(){}{}{}{}

.,,,1,

,,,,1),0(,.,,3q q

p

pq q pq a b a b a a m ma q p b a n n n n n n n n n 且公差分别为也为等比数列则数列

且公分别为均为等比数列若⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等比数列，

公比为q m

。

(5)等比数列的前n 项和也构成一个等比数列，即S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…为等比数列，公比为q n

。 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若

{}为等比数列数列n n

n a N n q a a ⇔∈=*+)(1

(2)等比中项法:若{}为等比数列数列且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*

++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*

)0,( (4)前n 项和法:若{}

为等比数列数列且为常数n n

n a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法

(1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想

①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论 ②当

{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>> ()1(111-=--+q q a a a n n n )

{}为递减数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<>><

六．数列的求和

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()

1(11q q

q a q na S n n 公比含字母时一定要讨论

2．错位相减法求和：如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++

3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 4．合并求和：如：求2

2

2

2

2

2

12979899100-++-+- 的和。

5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：