基本初等函数(整理)

1.1初等函数图象及性质

1.1.1幂函数

1函数（是常数）叫做幂函数。

2幂函数的定义域，要看是什么数而定。

但不论取什么值，幂函数在（0,+ ）内总有定义。

3最常见的幂函数图象如下图所示： [ 如图]

4①>0 时，图像都过（0,0）、（ 1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；

注意>1 与 0< <1 的图像与性质的区别. -10

② <0 时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近 y 轴，向右无限接近 x 轴.

③当 x>1 时，指数大的图像在上方.

1.1.2指数函数与对数函数

1．指数函数

1 函数( a 是常数且 a>0,a 1 )叫做指数函数，它的定义域是区间 (-,+) 。

2 因为对于任何实数值 x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在 x 轴的上方，

且通过点(0,1)。

若 a>1 ，指数函数是单调增加的。若 0

a>10

图象

性质

(1)定义域：R

(2)值域：(0，＋∞)

(3)过点(0，1)

(4)在R 上增函数(4)在R上减函数

有理指数幂的意义、幂的运算法则：

①a m a n =a m+n；②(a m)n =a mn；③(ab)n =a n b n(这时m,n是有理数)

1m

分数指数幂：a n =n a,a n =n a m,a-n

m

a

1

n

,a n

指数函数的反函数，记作（a 是常数且 a>0，a1），叫做对数函数。它的定义域是区间（0,+）。

对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。

的图形总在 y 轴上方，且通过点（1,0）。

若 a>1，对数函数是单调增加的，在开区间（0,1）内函数值为负，而在区间（1,+）内函数值为正。

若 0

内函数值为负。［如图］

a>10

图象

3

1111 01101

性质定义域：（0，+∞）

值域：R

过点（1，0），即当x＝1 时，y＝0

x∈（0，1）时y<0 x∈（1，＋∞）时

y>0

x∈（0，1）时y>0 x∈（1，＋∞）时

y<0

在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数

由此可知，今后常用关系式

2．对数函数

重要公式：⑴负数与零没有对数；⑵log a 1＝0，log a a＝1

⑶对数恒等式a log a N = N王新奎新疆屯敞

(4) log a a b＝b 运算法则

若a >0 ，a≠ 1，M > 0，N > 0 ，则(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；

M

(2)log a＝log a M－log a N；

(3) log a M n =n log a M; log a n M =1log a M

n

对数换底公式：

log a N＝log m N(a>0，a≠1，m>0 ，m≠1，N>0)

log m a

1.1.3三角函数与反三角函数

1．三角函数

，奇函数、有界函数、周期函数；

，偶函数、有界函数、周期函数；

，的一切实数，奇函数、

周期函数

的一切实数，奇函数、

周期函数

正弦函数和余弦函数都是以2为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-,+)，值域都是必区间［-1,1］。

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

正切函数和余切函数都是以为周期的周期函数，它们都是奇函数。［如图］

双曲函数与反双曲函数

双曲正弦：，奇函数，单调增函数；

双曲余弦：，偶函数，时，单调减，时，单调增；

双曲正切：，奇函数，单调增函数。

函数的图形见书 P27~P28。

下面公式成立

反双曲正弦

反双曲余弦

反双曲正切

函数图形的变换

平移

① 由 的图形，作 的图形。 图形右移， ，图形左移。 如：由 图形作 的图形。由 的图形作 的图形。

② 由 的图形作 的图形。 ，图形上移， ，图形

下移。如：

翻转

的图形作

的图形。

图形作 的图形。（以 轴为对称轴翻 ）

的图形作 的图形。

迭加与放缩（略）

图形作 的图形。（以 轴为对称轴翻

如：由 的图形作 的图形。

② 由

如：由