惯性矩总结(含常用惯性矩公式).docx

惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力惯性矩的国际单位为(m^4) O

工程构件典型截面几何性质的计算

2.1面积矩

1.面积矩的定义

别定义为该图形对Z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S Z和S y,来表示，如式(2 —2.1)

面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单

3 3

位为m或mm>

2.面积矩与形心

平面图形的形心坐标公式如式(2 —2.2)

乩(2 — 2.2)

或改写成，如式(2 —2.3)

S2= A-y i

(2 —2.3)

面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形

如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。定义:

积分川和J 分

(2 —2.1)

图2-2.1任意截面的几何图

形

S Z= I Z ydA

形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。

图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零, 该轴一定通过图形形心。

3 •组合截面面积矩和形心的计算

组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式 (2 — 2.4)

Σ¾ =Σj ⅛z J (2 — 2.4)

式中，A 和y i 、Z i 分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位 置由式(2 — 2.5)确定

2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积

1 •极惯性矩

任意平面图形如图2-31所示，其面积为A 。定义：积分丨「’川称为图形对O 点的 极惯性矩，用符号I P ，表示，如式(2 — 2.6)

'[ 」(2 — 2.6)

极惯性矩是相对于指定的点而言的，

即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同

的。极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m 4或mr ⅛

(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2 — 7)

I

P- 32 (2 — 2.7)

(2)对于外径为D 内径为d 的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2 — 2.8)

_

(1 —況)

P 32

(2 — 2.8)

式中，：二d/D 为空心圆截面内、外径的比值。 2.惯性矩

在如图6-1所示中，定义积分，如式(2 — 2.9)

A +Λ +・・・+4 Ay 】+ Ay? +・・■

+ &儿

A +A ÷i

--÷A

∑j ⅛x ≈

∑4

∑4Λ

∑4

2-1

(2 — 2.5)

Λ = I

OTAX d4 (2 —2.9)

称为图形对Z轴和y轴的惯性矩。惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。

同一图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯性矩存在着一定的关系。

如式2—2.10)

I P=I Z+I y (2 —2.10)

上式表明，图形对任一点的极惯性矩，等于图形对通过此点且在其平面内的任一对正交轴惯性矩之和。

表6-1给出了一些常见截面图形的面积、形心和惯性矩计算公式，以便查用。工程中使用的型钢截面，如工字钢、槽钢、角钢等，这些截面的几何性质可从附录的型钢表中查取。

3.惯性积

如图2—32所示，积分定义为图形对y ,、Z轴的惯性积，用符号I yZ表示, 如式(2 —11)

图2-2.2具有轴对称的图形

J 」(2 —11) 惯性积是对于一定的一对正交坐标轴而言的，即同一图形对不同的正交坐标轴的惯性积

不同，惯性积的数值可正、可负、可为零，其量纲和单位与惯性矩相同。

由惯性积的定义可以得出如下结论：若图形具有对称轴，则图形对包含此对称轴

在内的一对正交坐标抽的惯性积为零。如图2-32所示，y为图形的对称轴.则整个图形对y、Z 轴的惯，性积等于零。

常见图形的面积、形心和惯性矩表2 —

2.1

1惯性矩和惯性积的平行移轴公式

任意平面图形如图2-2.3所示。Z 、y 为一对正交的形心轴，Z i 、y ι为与形心轴平行的 另一对正交轴，平行轴间的距离分别为

a 和

b 。已知图形对形心轴的惯性矩l z 、I y 和惯

性积I Zy ,现求图形对Z 1、y i 轴的惯性矩∣Z1' I yl 和惯性积∣ z1y1。有惯性矩和惯性积的平行 移轴公式如式(2 — 2.12)和式(2 — 2.13)

可见，图形对于形心轴的惯性矩是对所有平行轴的惯性矩中最小的一个。在应用平

行移轴公式(2 — 2.12)时，要注意应用条件，即y 、Z 轴必须是通过形心的轴，且Z 1、y 1 轴必须分别与Z 、y 轴平行。在应用式(2 — 2.13)计算惯性积时，还须注意a 、b 的正负 号，它们是截面形心C 在乙0y 1坐标系中的坐标值。

2.组合截合惯性矩计算

组合图形对某一轴的惯性矩，等于其各组成部分简单图形对该轴惯性矩之和，如式 (2 — 2.14)

*=Σ5J (2 — 2.14)

在计算组合图形对Z 、y 轴的惯性矩时，应先将组合图形分成若干个简单图形，并

I iL = I I +a 2A I 71=l y +b 2A

(2 — 2.12)

I z1y1=l Zy +abA

(2 — 2.13)