1.多项式单元测试答案

多项式单元测试

(2010.10)

姓名学号得分

一、选择题(每小题4分，共20分)

1.实数域上不可约的多项式f(x)是：( A )

2 3 2 3

(A)x 3x 3 (B)x 3x 3 (C)x -3x-3 (D)x - 3x - 3

2.设gx) x 1 是 f (x) = x6—k2x4 - 4kx2 x -4 的一个因式，则k = ( B )。

A . 1

B . 2

C . 3

D . 4

3.在F[x]里能整除任意多项式的多项式是(B ) A .零多项式 B .零次多项式C .本原多项式 D .不可约多项式

4.整系数多项式f(x)在Z不可约是f(x)在Q上不可约的(B )条件。

A.充分 B .充分必要 C .必要 D .既不充分也不必要

5.下列对于多项式的结论不正确的是(A )。

A.如果 f (x)g(x),g(x) f (x)，那么f(x)=g(x)

B .如果 f (x)g(x),f (x)h(x)，那么f(x) (g(x) - h(x))

C .如果 f (x)g(x)，那么-h(x) F[x]，有 f (x) g(x)h(x)

D .如果 f (x) g(x),g(x)h(x)，那么f(x) h(x)

二、填空题(每小题4分，共32分)

1 .设 f (x), g(x) F[x]，若(f (x)) =0, (g(x)) ，贝S (f (x) g(x)) = m。

2.当实数t=__3 __________ 时，多项式x3 -tx 2有重根。

3•设f(x), g(x)是有理系数多项式，且f(x), g(x)在复数域上有f (x)整除g(x)，则有理数域上 __________ 一定 ____________ (选填“一定”或“未必”)有f(x)整除g(x)。

4. 求用x-2 除f(x) =x4• 2x3—x • 5 的商式为

x34x28x 15 _____________ ，余式为35 _________ °

5.设a",用g(x)=ax_b除f(x)所得的余式是函数值

f(b) _____________ 。

a

6. 把 f (x) = 2x3 -x2• 3x-5表成x-1的多项式是

3 2

f(x)=2(x-1) 5(x -1) 7(x-1)-1 ________________________ 。

7.在有理数域上将多项式f (x) = x3• x2 - 2x - 2分解为不可约因式的乘积—(x2 - 2)(x 1) _________________ °

8•设>1, >2, >3为方程x3 px2 qx r = 0的根，其中r =0 ,贝卩

P

r

三、计算题(每小题7分，共28分)

1.求多项式 f (x) =x4 -X3 -4x2• 4x • 1 , g(x)二x2 -x -1 的最大公因式d(x), 以及满足等式 f (x)u(x) g(x)v(x) =d(x)的u(x)和v(x) °

3 2

(f (x), g(x)) =1, u(x) _ -x -1, v(x) = x x _3x _2

2.求多项式f (x) =x3-6x2 15x-14的有理根。

f(x)的有理根可能为一1,_2,一7,一14

f (1) - -4, f (T) - -36

-_1不是f (x)的根

进一步验证f(x)的有理根可能为2

由综合除法可得，f(x)的有理根为2其重数为1

f(x)的单有理根为2

3.用x_a,x_b,x_c 除f (x)的余式依次为r,s,t ，试求用

g( x> (x a) (-x b)除xf(xC 的余式。

解：由带余除法可设 f (x) = (x _a)(x _b)(x _c)q(x) r(x),0 一 _：0(r(x))辽 2。

r (a) = f (a) = r, f (b) = f (b) = s, r(c) = f (c) = t

由插值公式

4、设f (x) =3x 5 2x 4 _6x^2x^x 4，求一个没有重因式的多项式 g(x)，使g(x)与f (x)有相同的不可约因式。

f (X )=15x 4 8x 3 -18x 2 -4x -1

(f(x), f (x)Hx-1

g (x) 3x 4 5x 3 - x 2 - 3x - 4 = (x - 1)(3x 3 8x 2 7x 4) (f(x)f (x))

四、证明题(每小题2分，共20分)

1、证明：如果(f (x), g(x)^1，则(f(x)g(x), f (x) g(x)) ^1 证明：因(f(x),g(x)) =1.

则 u(x),v(x)，使得 f (x)u(x) g (x)v(x) =1 ,

f (x)u(x) - f (x)v(x) f (x)v(x)

g (x)v(x) =1

r(x)二 r(x b)(x c) (a - b)(a - c) s(x -a)(x -c) (b - a)(b - c) t(x -a)(x -b) (c _a)(c_b)

f(x)(u(x) -v(x)) (f(x) g (x))v(x) =1

那么(f (x), f (x) g(x)) =1. --------------------------- 4分

2、证明:g(x)2f(x)2当且仅当g(x) f (x)。

证明：设 f (x)二apMx)k1P2(x)k2…P s(x)k s

g(x) =bp1(x)m1P2(x)m2P s(x)m s

其中P1(x), P2(x)，…,P s(x)为互不相同的不可约多项式，k1,k2/ ,k s，m1,m2/ ,m s为非负整数，则

f2(x)= a2p1(x)2k1p2(x)2k2P s(x)2k s，g2(x) =b2p1(x)2m1p2(x)2m2P s(x)2m s 从而

g(x)2f(x)2台2m i M2k i (i =1,2,…，s) u m i E k i (i = 1,2，…，s)二g(x) f (x)