华师大版初三数学

O
A
B
C
温馨提示 ：在此定理中，题设是“经过
半径的外端”和“垂直于这条半径”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切 线，
判定一条直线是圆的切线的三种方法
１、利用定义：与圆有唯一公共点的直线是圆 的切线。
２、利用数量关系d=r ：圆心到直线的距离等于 圆的半径的直线是圆的切线。
３、利用切线的判定定理：经过半径的外端并 且垂直于这条半径的直线是圆的 切线。
半为半径的圆，与两条直角边相切。 (6)和圆有一个公共点的直线是圆的切线 （
）
（ ）
小结
判定方法 根据
要判定一条直线是圆的切线，我们已学过三种方法，如下表所示：
有切点，连半径，证垂直 方法1 切线定义
无切点，作垂直，证半径 过半径外端且和
方法3 半径垂直的直线 是圆的切线 切线判定定理 方法2
再证明这条垂线段的长等于 半径。
练习3、如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦AB 为8 3 厘米，以O为圆心，4厘米为半径作 小圆，求证：小圆与直线ＡＢ相切。 证明： 作OE⊥AB于E 则AE=BE 连结OA ∵ AB=8 3 ∴ AE= 4 3
O A
E
B
∴ OE OA2 AE 2 82 (4 3) 2 4 又∵ 小⊙O半径为4厘米 圆心Ｏ到直线AB的距离等于半径 所以AB是⊙O的切线
切线，必须符合两个条件，其一是这条直线 是否经过半径外端，其二是这条直线是否与 这条半径垂直，若满足这两个条件，就能说 明这条直线是圆的切线。
o
A B
解 : 直线AB是⊙O的切线． 因为AB＝OA，且∠OBA＝45°， 所以∠AOB＝45°，∠OAB＝90 根据经过半径的外端且垂直于这条半径的 直线是圆的切线 所以直线AB是⊙O的切线
如右图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点A为切点，那么半径 OA与 l 垂直吗？ 由于 l 是⊙O的切线，圆心O到 直线 l 的距离等于半径，所以OA 是圆心O到AB的距离，因此 l AB
。
]
图 23.2.8
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的 半径。
例1、如图，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB ＝OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？ 为什么？ 分析：要证明一条直线是圆的
D
A B
O
C
因为AC是⊙O的直径 所以 BD是⊙O的切线
已知△ABC内接于⊙O, 直线EF过点A
（1）如图1，AB为直径，要使得EF是⊙O的切 B 线，还需添加的条件是 EF⊥AB 或 ∠CAE=∠ 。 （2）如图2， AB为非直径弦，且∠CAE=∠B, 求证：EF为⊙O的切线。
F A E O C F A E O C B
和圆有唯一公共 点的直线是圆的 切线 和圆心距离d等于 圆的半径r的直线 是圆的切线
d＝r
小结：
切线的判定定理：
过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线；
A 、经过圆上的一点； B、 垂直于半径；
2、圆的切线有什么性质？
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的 半径。
作 业
课后作业：已知：如图，ABCD为直角梯
图2
B
图1
练习5．判断：
(1)经过半径的一个端点，并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线 （
）
(2)若一条直线与圆的半径垂直，则这条直线是圆的切
） (3)过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线（ ） (4)以直角边为半径的圆一定与另一条直角边相切。 （ ）
线。 （
(5)以等腰直角三角形斜边的中点为圆心，直角边的一
想一想：
满足什么条件的直线是圆的切线？
知识导入
切线的判定定理：
B
Ｏ
经过半径的外端
并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
A
C
OA为⊙O半径 BC ⊥ OA于A
BC为⊙O切线
切线的判定定理：经过半径的外端并 且垂直于这条半径的直线是圆的切线
1、直线l垂直于半径OA，直 线l是⊙O的切线吗？ 不是 2、直线l经过半径OA的外端A， 直线l是⊙O的切线吗？不是
练习1： AB是⊙O的直径,TB=AB, ∠TAB=45°
直线BT是⊙O的切线吗？为什么？ 解: 直线BT是⊙O的切线．
因为TB＝AB，且∠TAB＝45°， 所以∠ATB＝45°，∠ABT＝90 ° 根据经过半径的外端且垂直 于这条半径的直线是圆的切线 所以直线TB是⊙O的切线
T
A
.
O
B
练习2、如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且OA ＝OB，CA＝CB 求证：直线ＡＢ是⊙O 的切线 证明：连结OC ∵ OA=OB，CA=CB ∴ OC是等腰三角形OAB底 边AB上的中线 ∴ AB⊥OC 因为直线AB经过半径OC的外端C， 并且垂直于半径OC， 所以AB是⊙O的切线
复习提问
图形
公共点个数 直线和圆的位 置关系
圆心到直线的 距离d与半径 r 的关系
Ｏ
直线和圆的位置关系
r
Ｏ
r
A
Ｏ
r
B
d
0个 相离 d ＞r
d
A
d
唯一一个 相切 d ＝r
两个 相交 d ＜r
知识导入
Ｏ
r
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如图：直线BC和⊙O的位置关系 相切 是____ 直线BC叫⊙O的切线 _____
d B
A
公共点Ａ叫切点 ______
Ｏ
B
E
练习2、如图已知直线AB过⊙O上 的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线ＡＢ是⊙O的切线 Ｏ B
例２、如图：点O为∠ABC平分 线上一点，OD⊥AB于D，以O 为圆心，OD为半径作圆。 求证：BC与作⊙O相切。 A
D
Ｏ B
A
C
连结OC
C
E 作OE⊥BC于E
当已知条件中直线与圆已有 当已知条件中没有明确直线与 一个公共点时 圆是否有公共点时 辅助线：是连结圆心和这 个公共点。 再证明这条半径与直线垂直。 辅助线：是过圆心作这条 直线的垂线段。
形，AB⊥BC，CD＝AD＋BC，求证：以CD为 直径的圆与AB相切 证明：过O作OE⊥AB于E。 ∵ABCD为直角梯形，DA∥CB， CB⊥AB，DA⊥AB
∴DA∥OE∥CB
∵O为DC的中点 ∴ 2OE ＝ AD＋BC=CD ∴ OE＝ OD
∴AB为⊙O的切线 即以CD为直径的圆与AB相切。
例3、如图，半径 3 ㎝的⊙O切AC与 B，AB＝3㎝， BC＝ 3 则∠AOC度 数是 。
练习4、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于
点A(A在圆上)、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD 交圆于点D.，BD是⊙O的切线吗？为什么？ 解：连结OD BD是⊙O的切线 BAD 30 OA OD 因为 所以 DOB 60 因为 B 30 所以 ODB 90 即 BD OD
Ｏ A
C
B
例２、如图：点O为∠ABC平分线上一点， OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。 A 求证：BC是⊙O 的切线。 证明： 作OE⊥BC于E ∵ 点O为∠ABC平分线上一点 OD⊥AB于D ∴ OE＝OD 又∵ OD为⊙O半径 圆心Ｏ到直线BC的距离等于半径， 所以BC与⊙O相切
C D