喷泉码编译码原理研究和分析

中 H 是经过删除信道后的生成
矩阵，大小为 n×k，X 为 k×1 的
待求解输入信息向量，N 为 n×1
100
的接收信息向量。
高斯消元法步骤：
（1）将 H 矩阵扩展为含接收
10-1
信息向量 N 的增广矩阵 H'，H'=
[H/N]；
（2）利用矩阵初等行变换将
10-2
此增广矩阵 H' 的 H 矩阵转换成
M.Luby 于 1998 年提出了喷泉码的概念，并在 2002 年提出了第一种高效现实可行的喷泉码— — — LT 码[1]。其后，Shokrollahi 等人在喷泉码编译码时间 方面进一步改进，这种新的喷泉码类型被命名为 Raptor 码[2]。LT 码和 Raptor 码最早都是基于 LDPC 码的原理，为删除信道而设计的，适合于计算机网络 广播。近年来喷泉码也被不断地推广到物理层应用[3，4]。 因为喷泉码良好的广播特性和无需反馈信道的特 点，一种 Raptor 码已经被 3GPP 标准采用，应用于 3G 网络的多媒体广播多播服务（MBMS）中。同时，在
对两者取归一化可得 Robust 分布：
滋（d）=
籽（d）+子（d） Z
其中 Z=∑d 蓸 籽（d）+子（d）蔀
2.3 Raptor 码编码原理
Raptor 码是将预编码和弱化的 LT 码相结合而 改进得来的，这两部分称为外码和内码。
由于平均度值d軈的弱化，使得内码译码约有軇f =e-d軈
的信息无法恢复[5]，此时，若外码的纠删率能达到 軇f ， 则通过外码能将原信息无误译出，达到和 LT 码相同 的性能。LT 码的平均译码复杂度是 O（klogk），这是 一个 k 的非线性函数，Raptor 码将此译码复杂度降 至了 O（klogk）。从而在无损误码性能的条件下，Raptor 的应用提高了译码器的效率。图 2 为 Raptor 编码
图 1 LT 码编码示意图
图 1 为对长度 k=8 的一段信息进行 LT 编码的 示意图，图中虚线框中表示一次度分布抽样所得向 量。x0 ~x7 表示参与编码的源信息。 2.2 输入信息度分布
喷泉码的度分布信息，是编码和性能的关键设 计。因为喷泉码的译码开始依赖于接收信息中 d=1 节点的分布，而译码的顺利开展，则有赖于在迭代过 程中 d=1节点的可持续产生。大部分的节点的度值 应该较小，以减少译码整体的冗余运算次数和保证 译码过程的持续进行；少量参与编码较少的节点应 该度值较大，以防出现漏编码的信息节点。要正确译 码，每个信息节点应至少有一条边和编码节点相连。
此不适合于中长码的运算。
4 置信传播（BP）译码算法
置信传播（Belief Propagation）算法也称为消息传 播（Message Passing）算法。对于一种度分布设计得当 的喷泉码，采用置信传播译码将在计算性能上获得 较大的提高，但对于中长码字而言计算速度难以提 高。这是一种广泛使用且有效的喷泉码译码算法。
500
600
图 3 三种不同分布的码字性能比较图
线性随机码不同译码方式性能比较 100
有的符号节点被正确地译出。 如果在循环迭代起始不存在 d=1
的节点，则译码无法启动，在循环迭代
置信传播
中 d=1的节点消耗殆尽，循环也将被终
10-1
高斯消元
止，译码器译码失败，接收端继续接收
信息，进入下一轮译码。
深空通信领域和分布式存储领域，喷泉码也在发挥 越来越大的作用。
目前喷泉码的研究主要围绕其度分布的设计来 进行的，其行之有效的译码算法主要有高斯消元法 和迭代置信传播法两种。
2 喷泉码编码原理与实现
喷泉码无码率的特性使得发送端可以无止尽的 产生编码符号信息，每一个编码符号都是根据所有 信源信息独立随机异或生成的。这个不断编码发送 码字的过程可以看成一个喷泉，无穷无尽地向外喷 水滴。接收端则类似一个接水的水杯。由于各码字的 独立随机性，每块码字均包含信源信息, 接收端并不 关心接收到的是“哪滴水”。所以经过删除信道时，删 除编码信息的任意部分，不会影响其他符号信息参 与译码。 2.1 LT 码编码原理
删除信道的相关研究中发现，对线性码使用最大似
然译码（Maximum Likelihood）算法等同于解线性方程
组[7]，即可以使用高斯消元的方法来求解。
假设接收端收到 n 个符号，每个接收符号代表
一个由 k 个未知输入的线性方程，方程的右值即接
收信息。则整个译码过程可以看作是一个 n 个方程
联合求解 k 个未知数的一个线性方程组 H·X=N。其
假设发送的信息块长度大小为 k，k 是正整数。 将生成矩阵上的度分布记作 赘1 ，赘2 …赘k ，生成度多 项式可以表示为 赘 （x）=∑kt=1 赘t xt 。赘t 表示度值为t 的
* 基金项目：国家重大科技专项（IMT-Advanced 研发和产业化）；国家自然科学基金；教育部科学技术研究重点项目（No.109013）。
1. Ideal Soliton 分布
Ideal Soliton 分布是最理想的译码状态，即在每
次迭代译码过程中都只有一个校验节点 d=1，实现
了译码运算次数的最优化。这种分布的表达式如下
所示：
嗓 籽（d）=
1/K 1/d（d-1）
for d=2，3…K
但是在实际应用中，编码时度分布的抽样无法
精确符合 Ideal 分布，存在一定的波动误差，从而致
喷泉码也是一类基于图的纠错码，可以用 Tanner 图表示。假设接收端收到 n 个符号，每个接收符 号可用一个 k 维的列向量代表，则其校验矩阵 H 的 维度为 k伊n。接收 Tanner 图可以用（V ，E）表示，其中 V =V s ∪V c 表示一组节点的集合，V s ={s0，s1，…sk-1}表 示一组符号节点，V c ={c0，c1，…ck-1}表示一组校验节 点；E 表示一组边的集合，当且仅当 hi，j ≠0，hi，j ∈H， 0≤i≤k，0≤j≤n，E=V s ×V c 存在边（si ，cj）∈E。定义 V si为所有与符号节点 si 相邻的校验节点的集合。
（2）此后 l=0的每一轮更新，都遵循下式的消息 更新规则：
蓸 蔀 蓸 蔀 蓸 蔀 仪 tanh
m（l） c ，s
2Baidu Nhomakorabea
：=tanh
Zc 2
· tanh
s '≠s
m（l） s '，c 2
6 结语
本文主要介绍和分析了喷泉码的编译码方式， Raptor 通过牺牲一定的编码复杂度，换取了译码复 杂度的大幅提升。喷泉码的核心 LT 码在三种不同的 分布下，性能有较大的差别，线性随机分布的性能最 好，但由于其编码矩阵稠密，实际应用运算复杂度过 高，且不能使用快速译码算法。Ideal 分布具有理论最 优值，但实际应用中由于存在抽样误差，无法达到精
10-1
k=300
为其两者信息等同。
硬判决 BP 译码算法步骤如下： （1） 译码器寻找校验节点中 d=1 的节点 cp ，即校验节点只和唯 一的符号节点相连，如果存在，则将
k=100 10-2
和此校验节点 cp 相连的符号节点 sq 的值还原为校验节点 cp 的内容；
（2）寻找（1）中还原符号节点 sq 相连的校验节点集合 V sq ，将 sq 的值 异或相加，然后删除他们在 Tanner 图中相连的边；
105
110
115
接收比特数
图 4 基于线性随机码的译码方式性能比较图
可以译码为止。 BP 算法的计算过程是一个循环迭代的过程，又
可以分为硬判决和软判决两种：
发送至信道的比特 X∈{0，1}，则最大似
120
然率（LLR）Zc 定义如下：
Zc
=ln
Pr[X=0|Y Pr[X=1|Y
] ]
在算法运行的第 l 轮，从每个 Tan-
ner 图中的校验节点 c，传递到符号节点 s 的消息被
记为 m（c，l）s ；同理，从符号节点 s 传递到校验节点 c 的
4.1 硬判决 BP 算法
硬判决算法适用于只经过删除
100
信道，接收到的一组编码符号集合
只发生丢失，而不引入误差的情况。
Ideal 分布不同译码方式性能比较
置信传播 高斯消元
当其中的某个符号只存在唯一 的邻居输入信息节点，则译码器认
单位矩阵 I，此时 H'=[I/N']； （3）若此单位矩阵 I 满秩，则
10-3
译码成功，译码输出 X 即为 N'；
若此单位矩阵 I 不满秩，说明接 收信息不足，译码失败，接收端
10-4
继续接受信息，进入下一轮译
码。 GE 算法的缺点是译码复杂
度高，其运算量 O（nk2）随着信息
10-5 100
块长度 k 的增长而快速增加，因
4.2 软判决 BP 算法
10-2
在 AWGN 和衰弱信道条件下，信
号在传输过程中会受到噪声的影响，从
10-3
而不能保证译码起始节点的正确性，特
别是信道条件较差时，使用硬判决会引
入较多的错误。所以需要引入软判决
10-4
BP 算法，以提高译码的可靠性。
假设接收到的编码比特为 Y ，X 是
10-5
100
使迭代中 d=1 断层，导致译码失败。因此实际性能并
不理想。
2. Robust Soliton 分布
改进型 Robust Soliton 分布有效地结合了 Ideal
分布的的优点，并加入另外两个调节参数 c 和 啄，这
样的设计有利于保证在译码过程中 d=1 节点的期望
值近似于 S≡cln（K/啄）姨K ，啄 是一个概率约束，和译
1 引言
喷泉码是一类基于图的线性纠错码，其主要码 字有随机线性码、LT 码和 Raptor 码。在删除信道条 件下，其性能卓越，接收端只要收到比原信息长度略 多的码字，就能将所有信息还原。喷泉码发送端能如 同喷泉一般源源不断的产生编码信息，每个编码符 号独立随机，没有固定的码率 r=k/n，所以是一种无 码率（Rateless）码字，也是其名称的由来。
码错误概率有关；c 在实际应用中可以作为一个小于
1 的可调整的常数，以达到优化性能的目的。
Robust 分布由两部分组成，一部分是 1.2.1 中的
Ideal 分布，另一部分 子（d）如下式所示：
扇设设S/Kd
设
子（d）=
S设
设 设
K 缮设
设
ln（S/d）
设
0设
设 墒设
for d=1，2，…（K/S）-1 for d=K/S for d跃K/S
（3）循环迭代这个过程，直到所
10-3
10-4 0
200
400
600
800
1000
接收比特数
图 5 基于 Ideal 分布的译码方式性能比较图
1200
消息被记为 m（c，l）s 。 软判决 BP 算法译码步骤如下：
（1）初始化 l=0 时的消息值，符号节点向每个相 邻的校验节点传递的消息均为 0；
概率。 LT 码的编码方式非常的直观，对于给定的输入
信号向量（x1 ，x2 …xk），每一个输出编码符号都通过 独立随机计算得出。
下面是计算每个编码符号的步骤： （1）根据度分布 赘0 ，赘1 …赘k ，采样得到一个权值 d，取值在 1 和 k 之间； （2）根据采样得到的权值 d，平均随机地生成一 个权值为 d 的v軃=（v1 ，v2 …vk），其中 vi ∈{0，1}，i=1… k； （3）将（2）中得到的向量与输入信号向量进行异 或运算，即得到一个输出编码符号。输出编码符号可 以由∑i vi xi ，i=1…k 计算而得。
李璐颖 吴湛击 王文博
（北京邮电大学 北京 100876）
摘 要 喷泉码是一种新颖的基于图的纠删码技术，在工程应用上有广阔的前景。本文针对几种典型分布数字喷 泉码的编码方式进行综合比较和规律总结，同时对喷泉码的两类译码方式和适用范围进行了分析与探讨，通过仿 真数据和图形比较了不同分布编码方式的性能差异和不同译码方式的优缺点所在。 关键词 LT 码 Raptor 码 置信传播（BP）算法 高斯消元法
器的结构，源信息经过预编码后得到的冗余信息和 源信息一同再进行 LT 编码，得到 Raptor 编码器的编 码输出信息。
源信息 预编码
中间信息 LT 编码
编码符号
冗余信息
图 2 Raptor 编码示意图
3 高斯消元译码算法
高斯消元（Gaussian Elimination）算法[6]是一类对
喷泉码通用的译码方式，适用于各种喷泉码码字。在
当接收端收到的符号数达到 k 个时，译码器被 激活，开始进行译码。当其成功译得 k 个码字时，译 码结束。如果不能译码则接收端继续接收符号，直到
三种分布 LT 码性能比较
ldeal soliton Robust soliton Linear Random
k =100
k =300
200
300
400
接收比特数