最优控制课件

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在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个 泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极 值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列出变 分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但读者 可对照微分学中的结果来理解。
4.1.1 泛函与变分
先来给出下面的一些定义。
1、泛函： 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
L
(
x
*
,
x
*
,
t
)
(g
x)T
L x
t0
0
L
(
x*
,
x*
,
t
)
(c
x)T
L x
tf
0
(11.2)
例子: (1) 求平面上给定两点A(0,1),B(1,3)间的最短弧长。 (2)若B点可沿曲线 c(t)=2-t 移动，求一连接A、B两点且
弧长最短的曲线。 对于最短弧长问题，它是泛函
x(t0)=x0
(2) 末端时刻自由时的横截条件
末端受约束时,存在如下近似关系:
（7）
如果末端自由，则曲线c(t)不存在。 设性能指标为
容许轨线x(t)与极值曲线x*(t)之间有如下关系
当末端由(xf,tf)移动到 (xf xf,tf tf)时，
产生如下的泛函增量
（8）
将(8)右端的第二项在极值曲线泰勒展开 对上式右端的第二项分部积分
上，f(.), (.),(.) 和L(.)连续可微，tf固定。最优解的
必要条件为： 1) x(t)和 ( t ) 满足正则方程
2) 边界条件和横截条件
3) 极值条件 证明：构造广义泛函
分部积分 则 对上式取一次变分，考虑到
根据泛函极值的必要条件，可得到结论。
当末端时间tf固定，末端状态x(tf)自由时，不存在目标集 因此，该下的泛函极值只需将上述结论中的 去掉即可。
将上式在最优轨线展成泰勒级数并取主部，应用中值定
理并考虑
，可得到
Ja x ( tf) Txf t ftf T x ( tf) Txf tftf
将
令 得到定理 的结论。
代入上式可得到
Page562, 表10-2 用变分法求最优解的必要条件
例子: 解：本例属于tf自由，末端状态固定、控制无约束的泛函 极值问题。
Fx ddt(Fx)0
（5）
（4）式中第二项即为结论中的式(3).
举例： 利用上面的结论求得
(2) 有等式约束泛函极值的必要条件
定理 设有如下泛函极值问题：
minJ tf g(x(t),x(t),t)dt
x(t)
t0
s.t. f (x(t),x(t),t) 0
（6）
已知x(t0)=x0， x(tf)=xf ,则极值曲线x * ( t ) 应满足如下欧 拉方程和横截条件
b
b
(3) a L[ x, x, t]dt a L[ x, x, t]dt
(4) dx d x
dt dt
举例： 可见，计算泛函的变分如同计算函数的微分一样。
6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的 X X* 一切X，J(X)J(X*)具有同一符号，则
称 J (X ) 在 XX*处有极值(极大值或极小值)。
J[x(t)] tf 1x2dt t0
在两端固定条件下的变分问题，欧拉方程
d x 0 dt 1 x2
的解为 x=at+b
带入边界条件可得解 x=2t+1。
(2)属于末端受约束的变分问题，其最短弧长满
足与(1)相同的欧拉方程，因此 x=at+b，因为
初始点没有变化，所以由x(0)=1可得b=1. 为了 确定参数a, 运用横截条件(11.1)可得
是指同属于函数类X(t)中两个函数X1(t) 、X2(t) 之差
XX 1(t)X2(t)
这里, t 看作为参数。当 X (t) 为一维函数时，X 可用图4-1来表示。
图4-1 自变量函数的变分
5、泛函的变分：当自变量函数 X (t)有变分X时， 泛函的增量为
J J X X J X
LX,XrX,X
（12） （13）
末端状态 x(tf) 受约束，要求的目标集为
（14）
最优控制问题是：确定最优控制u*(t)和最优曲线x*(t)，使 得系统(12)由已知初态 x0 转移到要求的目标集(14)，并
使性能指标(13)达到极值。
可以利用拉格朗日乘子法将上述有约束条件的泛函 极值问题化为无约束条件的泛函极值问题。 再引入一个标量函数
数X (t)，有一个实数值J与之相对应，则称J为依赖于
函数X (t) 的泛函，记为
JJX(t)
粗略来说，泛函是以函数为自变量的函数。(函数的函数)
2、泛函的连续性： 若对于收敛于点x0点列xn，其中x0，xn R n ，均有
lni m J(xn)J(x0)
则称泛函J在x0处连续。对于线性泛函J[x],若
定理(变分预备定理)：设 ( t ) 是时间区间[t0, t1]
上连续的n维向量函数， ( t ) 是任意的连续n维
向量函数，且有 (t0)(t1)0，若
t1T(t)(t)dt 0 t0
则必有
(t)0,t[t0,t1]
4.1.2 欧拉方程
假定t0与tf 给定，且初态与末态两端固定。 (1) 无约束泛函极值的必要条件 定理 设有如下泛函极值问题：
这里，LX,X 是X 的线性泛函，rX,X 是关于 X
的 高阶无穷小，则
JLX,X
称为泛函J[x]的变分。 可知泛函变分就是泛函增量 的线性主部。
当一个泛函具有变分时，也称该泛函可微。和函 数的微分一样，泛函的变分可以利用求导的方 法来确定。
定理 设J[x]是线性赋范空间Rn上的连续泛函， 若在x= x0处J[x]可微，则J[x]的变分为
➢ 4.2.1 连续系统的极小值原理 ➢ 4.2.2 离散系统的极小值原理 ➢ 4.2.3 最小时间控制 ➢ 4.2.4 最小能量控制
x(t)x*(t)x(t)
x (t)x *(t)x (t)
于是泛函J 的增量J可计算如下（以下将*号省去）
Jtf t0
F xx ,x x ,t F x ,x ,t d
t
tt0 f F xx F xxo (x)2,(x)2 d t
上式中 o[(x)2,(x)2]是高阶项。
根据定义，泛函的变分 J 是 J的线性
1a2(1a) a 0 1a2
解得 a=1,因此 可知极值曲线为 x=t+1. 由末端约
束条件 x(tf )2，tf 可知 tf=0.5，带入弧长公式 得到最短弧长
0.5
J[x(t)]
1x2dt0.5
11 dt2
0
0
2
不同边界情况下的横截条件
4.1.4 变分法解最优控制问题
系统方程为 性能指标为
第4章 最优控制原理与应用
最优控制的基本概念
最优控制研究的主要问题：根据已建立的被控 对象的数学模型，选择一个容许的控制率，使 得被控对象按照预定的要求运行，并使给定的 某一性能指标达到极小值(或极大值)。
从数学观点来看，最优控制研究的问题是：求 解一类带有约束条件的泛函极值问题。
最优控制问题
主部，即
J
tf t0
F xx F x x d
t
对上式第二项作分部积分，按公式
可得
tf t0
u
dvu
vtf t0
tf vdu t0
Jtf t0
F xd d(t F x )xd tF x xtt0 f
（4）
J取极值的必要条件是 J 等于零。因 x 是 任意的，要使（3-2）中第一项（积分项）为 零，必有
（11）
2) 末端状态受约束时的横截条件 设受约束方程为 x(tf)=c(tf) ,由(7)可知
代入(11) ，并考虑 t f 任意，得到tf自由、x(tf)受约束的横
截条件和边界条件为
(11.1)
如果t0也自由、x(t0)受约束，即沿着曲线g(t) 则应满足以下横截条件
x(t0 ) g (t0 ) x(t f ) c(t f )
H ( x ,u ,,t) L ( x ,u ,t) T ( t)f( x ,u ,t) （15）
它称为哈密顿（Hamilton）函数，在最优控制中 起着重要的作用。
(1) 末端时刻固定时的最优解 对于如下最优控制问题：
xRn,uRm无约束且在[t0,tf]上连续，Rr,r n.在[t0,tf]
J [x 0 ,x ] J [x 0 x ] 0,0 1
证明:
由于 又因为
是 的线性连续泛函， 是 的高阶无穷小，
J[x0
x]
0
Байду номын сангаас
limJ[x0 0
x]J[x0]
=li m01{L[x0,x]r[x0,x]}
泛函变分的规则 =J[x0,x]
(1) ( L1 L2 ) L1 L2
(2) ( L1L2 ) L2 L1 L1 L2
Fx ddt(Fx)0
F
F
( x)t tf x(tf) ( x)t t0 x(t0)0
其中，
L ( ( x ( t ) , x ( t ) ,, t ) ) g ( x ( t ) , x ( t ) , t ) T f ( x ( t ) , x ( t ) , t )
为拉格朗日函数，(t) Rn是待定拉格朗日乘子。
m inJ tf Fx(t),x(t),tdt
x(t)
t0
（1）
已知x(t0)=x0 拉方程
x(tf)=xf
,则极值曲线
x
*
(t
)
应满足如下欧
Fx ddt(Fx)0
及横截条件
F
F
( x)t tf x(tf) ( x)t t0 x(t0)0
（2） （3）
证明：x (t ) 与 x (t ) 之间有如下关系
4.1.3 横截条件
(1) 末端时刻固定时的横截条件
当tf 固定时，在x(t0)=x0 固定时，横截条件为
F (x)ttf
x(tf )0
x(t0)=x0
如果末端状态也固定x(tf)=xf 时，边界条件退化为x(t0)=x0， x(tf)= xf ；当末端状态自由时，横截条件为
F ( x )ttf
0
xnx 0(n ) xn,x R n
则
lni mJ(xn)J(x)
则线性泛函J ( x ) 是连续的，称J[x]为线性连续泛函。
3、线性泛函：满足下面条件的泛函称为线性泛函
JXJX
J(X Y ) J(X ) J(Y )
这里是实数，X和 Y是函数空间中的函数。
4、自变量函数的变分：自变量函数 X (t)的变分 X
将以上结果代入(8)，取增量的线性主部，得泛函的变分
令 J 0 ，得欧拉方程和横截条件：
（9） （10）
(3) 末端时刻自由、末端状态变动时的横截条件 1) 末端状态自由时的横截条件 当x(tf)自由时，由(7)可知
代入(10)可得到
因为 x f , t f 任意，所以 tf自由、x(tf)自由的横截 条件和边界条件为：
当末端时间tf固定，末端状态x(tf)固定时，正则方程不变，
边界条件退化为x(t0)=x0，x(tf)= xf ，系统在可控的条件下， 极值条件也不变。
本例属于末端时刻固定，末端状态受约束的泛函极值问题。
Hamilton函数 协态方程
极值条件
状态方程 根据初始条件和目标条件可求出 c3=c4=0,4c1-9c2=6 再根据横截条件可求出c1=(1/2)c2，可求出c1与c2的值。进 而获得最优解
=常数，再由极值条件得
由状态方程和初始条件得到 利用末态条件得到 最后根据末端时刻H的变化率可以求得 a 2 这样，求得的最优解为
4.2 极小值原理及其应用
为解决控制有约束的变分问题，庞特里亚金提出并证 明了极小值原理，其结论与经典的变分理论有许多相似之 处，而且不要求哈密尔顿函数对控制量连续可微。
最优控制问题的一般提法：在满足系统方 程的约束条件下，在容许控制域中确定一 个最优控制律，使得系统状态从已知初态 转移到要求的目标集，并使性能指标达到 极值。
最优控制的应用类型
I. 积分型性能指标 1. 最小时间控制； 2. 最少能量控制； 3. 最少燃料控制；
J tf Fx(t),x(t),tdt t0
(2)末端时刻自由时的最优解
对于如下最优控制问题：
最优解的必要条件为： 1) x(t)和 ( t ) 满足正则方程
2) 边界条件和横截条件
3) 极值条件 4) 在最优曲线末端的Hamilton函数满足
证明：构造广义泛函
当末端由(xf , tf)移动到 下的泛函增量
(xf
xf,tf
tf
)时，产生如
J tf dt
J
tf
t0
uT (t)u(t)dt
t0
J
tf t0
m
uj (t)dt
j1
II. 末值型性能指标 J [x(tf ),tf ] III. 复合型性能指标
J[x(tf),tf]tt0f F x(t),x(t),td t
4.1 用变分法解最优控制 ➢ 4.1.1 泛函与变分 ➢ 4.1.2 欧拉方程 ➢ 4.1.3 横截条件 ➢ 4.1.4 变分法解最优控制问题