第一章 习题汇编

4
xrms
1 T x2 (t)dt T0
1 T
T 0
x0 2
sin t 2dt
x0
1 T 1 cos2.t dt
T0
2
x0
1 2T
T
1
2
sin t
T 0
2 2 x0
1-9 已知正弦信号，求其自相关函数 x(t) Acos(0t )
解：
Rx
(
)
Baidu Nhomakorabea
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
x(t)
A 2
4
A
2
(c
os0t
1 9
c
os30t
+
1 25
c os50t
)
An 0
t
4A
44AA
932
44 AA 25 2
n
0 30 50
0
0 30 50
图 1.5 周期方波时、频域图
1-3用傅里叶级数的三角函数展开式和复指数展开式，
求周期三角波（图1.18）的频谱，并作频谱图。
解：周期方波 的数学表达式为
xrms
1 T x2 (t)dt T0
解：xrms
1 T x2 (t)dt T0
1 T
T 0
s
in
2f
0t
2
dt
1 T 1 cos(2.2f0t) dt
T0
2
1 2T
T
sin 4f0t 4f0
T 0
1 2T
T
sin 4f0T 4f0t
2 2
1-3用傅里叶级数的三角函数展开式和复指数展开式，
1
T
T 0
A2
cos(0
t
)
cos0 (t
)
dt
式中，T
d
是正弦函数的周期，T 2 0
，令 0 t
，代入上式，则得
dt
，
0
Rx (
)
A2
2
2
0 cos cos( 0 )d
A2 2
cos0
1-10 已知两个正弦信号 x(t) Asin(0t ) ， y(t) Asin(0t ) 求其互相关函数。
A
0
(1 2.t )de jn0t
T
2
(1
2.t )de jn0t
T. n0 j T 2 T
0
T
A
T. n0
j
(1
2.t )e jn0t T
0 T / 2
(1
2.t )e jn0t T
T 0
/
2
0 2 e jn0tdt T 2 T
T 2 2 e jn0tdt
0T
1-3用傅里叶级数的三角函数展开 式和复指数展开式，求周期三角 波（图1.18）的频谱，并作频谱图。
x(t)
1
y(t)
1
ω0
ω
φ(t)
φ
ω0
ω
ω0
ω
φ(t)
ω0 ω
-φ
1-8求正弦信号 x(t) x0 sin t 的绝对均值 x
和均方根值 xrms 。
解：
x
1 T
T x(t) dt 1
0
T
T
0 x0 sin t dt
1
T
x0
T /2
sin tdt
0
T sin tdt
T /2
求周期三角波（图1.18）的频谱，并作频谱图。
解：周期方波 的数学表达式为
x(t
)
A A
2.t.A T
2.t.A T
0 t ＜T / 2
T / 2 t＜0
…
x(t)
A
…
因该函数是偶函数， 2
所以
bn T
T2
T 2 x(t) sin n0tdt 0
-T/2 0 T/2
t
1
a0 T
x(t
)
A A
2.t.A T
2.t.A T
0 t ＜T / 2
T / 2 t＜0
…
x(t)
A
…
cn
1 T
T 2 x(t)e jn0t dt
T 2
-T/2 0 T/2
t
1 0
( A 2.t.A)e jn0tdt
T
2
(A
2.t.A)e jn0t dt
T T 2
T
0
T
图1.18 题3图
A (1 2.t )e jn0t
T. n0 j T
0 T
/2
(1
2.t T
)e
jn0t
T 0
/
2
0 2 e jn0t dt T 2 T
T 2 2 e jn0t dt
0T
Aj
2n
2 T
2
2
(e
jn0
T 2
jn0 T. jn0
e
jn0
T 2
)
0, 2A
n2 2
,
n 2 , 4 ,....... n1,3,.......
解：Rxy
(
)
1 T
T
x(t) y(t )dt
0
1 T
T
0 Asin 0t .A
式中，T 是正弦函数的周期，T
d
sin
2 0
0 (t
，令 0
)
t
dt
，代入上式，则得
dt
，
0
Rxy
(
)
A2
T0
T 0
sin
.sin
0
d
A2 2
cos0
1-5求指数函数 x(t) Aea（t a>0,t≥0）的频谱。
解：该非周期信号的频谱函数为
x() xt e jt dt Aeate jt dt 0 A A a j a j a2 2
其幅频谱函数为
X () A a2 2
其相频谱函数为
() arctan
a
1-6 已知余弦信号 x(t) cos(0t ), y(t) cos(0t )。 试作幅值谱图与相位谱图，并做比较。
1-1 以下信号，哪个是周期信号？哪个是准周期信号？ 哪个是瞬变信号？它们的频谱各具有哪些特征？ (1) cos2 f0t e t 瞬变信号,连续频谱
(2) sin2 f0t 4sin f0t 准周期信号,离散频谱
(3) cos2 f0t 2cos3 f0t 周期信号,离散频谱
1-2求信号 x(t) sin(2 f0t)的有效值（均方根值）
T2
x(t)dt
T 2
2 T
T/ 0
2
A-
2t.A T
dt
A 2
图1.18 题3图
an
2 T
T T
2 2
x(t)cosn0tdt
4 T
T2
2.t.A
(A
0
T
)cos nω0tdt
4A
Tn0
T 2 0
1
2t T
d
sin
n0t
2A
n2 2
1
1 n
4A
n
2π
2
0
n 1,3,5, n 2,4,6,