多项式理论及多项式除法

x3 4x2 3x2 4x2 2x1
x7 48
3 x 23
4
2 x2
2
8 x
1
假分式
多项式 真分式
3
13 3 1
4
4
4 13
12
1
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
例如
x3 4x2 3x2 4x2 2x1
x 4
7 8
3 x 23
4
2 x2
2
8 x
1
假分式
多项式 真分式
x 7
商
48
4x2 2x1 x 3 4 x 2 3 x 2
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称为有理函数
Q P ( (x x ) ) b a 0 0 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b a m n 1 1 x x a b n m
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 ,,an及 b0 ,b1 ,,bm都是实数，并且a0 0，b0 0.
4、多项式的因式分解
中学教材规定：“把一个多项式化成 几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式 分解”。要求：“因式分解要进行到不能 再分解为止。”
高等代数中规定因式分解的涵义是： “所谓因式分解是把数域F上的一个多项式 化成几个既约多项式乘积的形式。”
关于因式分解理论，有两个基本问题： （1）怎样判断一个多项式是否可约？ （2）如果一个多项式是可约的，如何分解？
（一）一元多项式理论
1、一元多项式的标准形式
多项式理论是方程理论、函数理论、不等 式理论的基础。
2、多项式的恒等
定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的 多项式，如果对于变数字母的所有取值，这 两个多项式的值都相等，那么称这两个多项 式是恒等的。
特别地：一个一元n次多项式，如果对于 变数字母的任意取值，以标准形式给出的多 项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等 于0，这个多项式称为0多项式。
高一数学拓展讲座
第1讲：多项式理论及多项式除法
一、一元多项式理论
多项式是代数学中的一个基本概念，也是代 数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多 项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变 形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算 对象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、 运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论 体系，为解代数方程奠定了理论基础。
定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项 式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项 分别具有相同系数的同类项。
定理3：数域F上以标准形式给出的两个多 项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同 的取值，那么这两个多项式恒等。
定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。
3、多项式的整除
因式分解的理论基础是因式定理
除数
x3 x2 x
24
被除数
多项式 长除法 的过程
Βιβλιοθήκη Baidu
7x2 13x 2
24 7x2 7x 7 2 48
6x 23 48
余数
x 7 48
商
除数 4x2 2x1 x 3 4 x 2 3 x 2 被除数 x3 x2 x 24
7 x2 13x 2 24
7x2 7x 7 2 48 6 x 2 3 余数 48
对于（1）高等代数作出了回答：在复数域 中，一次多项式是既约的，任何次数大于1 的多项式都是可约的；在实数域中，次数大 于等于3的多项式是可约的；在有理数域中， 情况比较复杂，具体问题具体讨论 。
分解因式中的两个有用的结论：
多项式的长除法
Polynomial Long Division 介绍两个多项式的除法
Q P ( (x x ) ) b a 0 0 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b a m n 1 1 x x a b n m
(1) nm , 这有理函数是真分式； (2) nm ,这有理函数是假分式；
正如假分数可以通过除法化为整数与真分 数之和：