清华大学标准学术能力测试题

2017清华大学标准学术能力测试题

1、129a a a ,,

,是数字1到9的一个排列，则123456789a a a a a a a a a ++的最小值为（ ）

A ．213

B ．214

C ．215

D ．216

【答案】B 分析：12

9,9!a a a =三元均值10⎧⎨⎩离散的数

靠近之值

【解析】设123456789=a a a a a a a a a M ++则由三元均值

32939!370M a ≥=≈⨯

3

9!6!78972078949007070=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯≈⨯≈

由题可知981752643727072214

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=

另一方面由均值213M >=>=

由此，M 的最小值为214.

2、设(

)

1008

2

2201601220161

x x a a x a x a x -+=++++，则0122016

232017a a a a ++++的值是（ ）

A ．1008

B ．1009

C ．2016

D ．2017 【答案】B 分析：12⎧⎨

⎩看系数赋值

【解析】解法1：两边同乘x ，有()

1008

2220170120161x x x a x a x a x -+=+++

两边求导，得()()1007

22016012016100812122017x x x x a

a x a x -+-=+++

令1x =，得012016220171009a a a ++

+=

解法2：令1x =，可得0120161a a a ++

+=

对题中等式，两边求导，得20152112016220161008(1)a a x a x x x +++=-+

令1x =，得112016220161008a a a +++=

因此所求值为1009。

3、集合{}1225S =,,,，A S ⊆，且A 的所有子集中元素之和不同，则下列选项正确的有

（ ） A ．max 6A =

B ．max 7A =

C ．若{}12345A a a a a a =,,,,，则5

1132i i a =<∑ D ．若{}12345A a a a a a =,,,,，则5

11

2i i

a =<∑

4、过椭圆22

143

x y +=的右焦点2F 作一条直线交椭圆于A ，B ，则1F AB ∆的内切圆面积可能是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】A

分析：1F AB △周长C 为定值48a =，11

82

ABF S C =

⋅⋅△焦点弦长公式。 焦半径，在12AF F △中21AF F θ=∠1212

22F F c

AF AF c =⎧⎨+=⎩

设2AF x =，则由余弦定理()()2

2

22222cos a x x c x c θ-=+-

所以2

cos b x a c θ

=-由焦点弦2222||sin ab AB b c θ=+⋅。

【解析】设直线AB 的倾斜角为θ，则22

2222||sin 3sin ab l AB l C θθ

==

++ 因此1121

sin 2

ABF S AB F F θ=

⋅⋅△ 因此，设内切圆半径为r ，则1

122sin 8

ABF S AB F F C

θ

⋅⋅=

=

△Γ

因此，内切圆面积为2

2

122

sin 3sin 83sin AB F F S θθππθ⋅⋅⎛⎫⎛⎫

=⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

求得S 的范围为50,16π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

5、{}n a ，{}n b 均为等差数列，已知11135a b =，22304a b =，33529a b =，则下列是{}n n a b 中的项的有（ ）

A ．810

B ．1147

C ．1540

D ．3672 【答案】A,B,C,D

【解析】由题可得：()()2

22n n a b a n b n c =-+-+

将112233135,304,529a b a b a b ===带入得135304529a b c c a b c -+=⎧⎪

=⎨⎪++=⎩

解得28197304a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩

；则2

2228197304n n a b n n ++=++、

6、已知函数t

y x x

=+

，过()10P ,作切线交函数图象于点M 和点N ，记()MN g t =，则下列说法中正确的有（ ）

A ．1

4t =

时，PM PN ⊥ B ．()g t 在定义域内单调递增 C ．1

2

t =时，M ，N 和()01,共线 D ．()16g =

【答案】C

分析：共求切点弦。

引理：切点弦定理()22,G x y Ax Bxy Cy Px Ey F =+++++，过曲线(),0G x y =外一点

()00,P x y 引曲线的切线，切点为12P P ，则弦12P P 就为点P 。关于曲线(),0G x y =的切点

弦，则对应的直线为(),0G x y =

。其中

(

)000000,222

x y xy x x y y

G x y Ax x B

Cy y

P E F ++=

+++++ 【解析】题中曲线即2

:0H x xy t -+=，由引理知10:102

y x

MN x t •+••-

+=，即:220MN x y t -+=已知MN 与H ，得220x xt t +-=，得()||g t MN ==()g t =

当1

4

t =时，12554PM PN x x •=+

7、已知数列{}n x ，其中1x a =，2x b =，11n n n x x x +-=+（a ，b 是正整数），若2008为