第6章线性控制系统分析与设计

第6章 线性控制系统分析与设计

MATLAB 的控制系统工具箱(Control System Toolbox)可以提供对线性系统分析、设计和建模的各种算法。

6.1线性系统的描述

6.1.1状态空间描述法

状态空间描述法是使用状态方程模型来描述控制系统，MATLAB 中状态方程模型的建立使用ss 和dss 命令。

语法：

G=ss(a,b,c,d) %由a 、b 、c 、d 参数获得状态方程模型

G=dss(a,b,c,d,e) %由a 、b 、c 、d 、e 参数获得状态方程模型

【例 6.1】写出二阶系统

u(t)ωy(t)ωdt

dy(t)2ζdt y(t)d 2n 2n n 22=+ω+，当ζ=0.707，n ω=1时的状态方程。

zeta=0.707;wn=1;

A=[0 1;-wn^2 -2*zeta*wn];

B=[0;wn^2];

C=[1 0];

D=0;

G=ss(A,B,C,D) %建立状态方程模型

a =

x1 x2

x1 0 1

x2 -1 -1.414

b =

u1

x1 0

x2 1

c =

x1 x2

y1 1 0

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

6.1.2传递函数描述法

MATLAB中使用tf命令来建立传递函数。

语法：

G=tf(num,den) %由传递函数分子分母得出

说明：num为分子向量，num=[b1,b2,…,b m,b m+1]；den为分母向量，den=[a1,a2,…,a n-,a n]。

1

【例6.1续】将二阶系统描述为传递函数的形式。

num=1;

den=[1 1.414 1];

G=tf(num,den) %得出传递函数

Transfer function:

1

-----------------

s^2 + 1.414 s + 1

6.1.3零极点描述法

MATLAB中使用zpk命令可以来实现由零极点得到传递函数模型。

语法：

G=zpk(z,p,k) %由零点、极点和增益获得

说明：z为零点列向量；p为极点列向量；k为增益。

【例6.1续】得出二阶系统的零极点，并得出传递函数。

z=roots(num)

z =

Empty matrix: 0-by-1

p=roots(den)

p =

-0.7070 + 0.7072i

-0.7070 - 0.7072i

zpk(z,p,1)

Zero/pole/gain:

1

-------------------

(s^2 + 1.414s + 1)

程序分析：roots 函数可以得出多项式的根，零极点形式是以实数形式表示的。

部分分式法是将传递函数表示成部分分式或留数形式：

k(s)p s r p s r p s r G (s)n

n 2211+-++-+-= 【例6.1续】将传递函数转换成部分分式法，得出各系数。 [r,p,k]=residue(num,den)

r =

0 - 0.7070i

0 + 0.7070i

p =

-0.7070 + 0.7072i

-0.7070 - 0.7072i

k =

[]

6.1.4离散系统的数学描述

1. 状态空间描述法

状态空间描述离散系统也可使用ss 和dss 命令。

语法：

G=ss(a,b,c,d,Ts) %由a 、b 、c 、d 参数获得状态方程模型

G=dss(a,b,c,d,e,Ts) %由a 、b 、c 、d 、e 参数获得状态方程模型

说明：Ts 为采样周期，为标量，当采样周期未指明可以用-1表示。

【例6.2】用状态空间法建立离散系统。 a=[-1.5 -0.5;1 0];

b=[1;0];

c=[0 0.5];

d=0;

G=ss(a,b,c,d,0.1) %采样周期为0.1s

a =

x1 x2

x1 -1.5 -0.5

x2 1 0

b =

u1

x1 1

x2 0

c =

x1 x2

y1 0 0.5

d =

u1

y1 0

Sampling time: 0.1

Discrete-time model.

2. 脉冲传递函数描述法

脉冲传递函数也可以用tf 命令实现。

语法：

G=tf(num,den,Ts) %由分子分母得出脉冲传递函数

说明：Ts 为采样周期，为标量，当采样周期未指明可以用-1表示，自变量用'z'表示。

【例6.2续】创建离散系统脉冲传递函数21120.5z 1.5z 10.5z 0.51.5z z 0.5z G(z)---+-=+-=

。

num1=[0.5 0];

den=[1 -1.5 0.5];

G1=tf(num1,den,-1)

Transfer function:

0.5 z

-----------------

z^2 - 1.5 z + 0.5

Sampling time: unspecified

MATLAB 中还可以用filt 命令产生脉冲传递函数。

语法：

G=filt(num,den,Ts) %由分子分母得出脉冲传递函数

说明：Ts 为采样周期，当采样周期未指明Ts 可以省略，也可以用-1表示，自变量用'z -1'表示。

【例6.2续】使用filt 命令产生脉冲传递函数。

num2=[0 0.5];

G2=filt(num2,den)

Transfer function:

0.5 z^-1

-----------------------

1 - 1.5 z^-1 + 0.5 z^-2

Sampling time: unspecified

程序说明：用filt 命令生成的脉冲传递函数的自变量不是z 而是z -1，因此分子应改为“[0 0.5]”。

3. 零极点增益描述法

离散系统的零极点增益用zpk 命令实现。

语法：

G=zpk(z,p,k,Ts) %由零极点得出脉冲传递函数

【例6.2续】使用zpk 命令产生零极点增益传递函数。