范德蒙行列式的应用论文

范德蒙行列式的应用论文

范德蒙行列式的应用

摘要行列式是线性代数的主要内容之一～它是后续课程线性方程组、矩阵、

向量空间和线性变换的基础～有着很重要的作用。而n阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式～它构造独特、形式优美～更由于它有广泛的应用～因而成为一个著名的行列式。它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算～以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。

行列式,范德蒙行列式,向量空间理论,线性变换理论,微积分关键词:

VANDERMONDE DETERMINANT OF APPLICATIONS

ABSTRACT The determinant is one of the main contents of linear algebra, which is the follow-up course of linear equations, matrixes, vector spaces and linear transformation of the base, has a very important role. The n-order Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations, describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of

applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus.

Key words: linear algebra， Vandermonde determinant， theory of vector spaces，

linear transformation theory， infinitesimal calculus.

第一章绪论

1.1 引言

我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法.形如行列式

(1) 称为n 阶的范德蒙(Vandermond)行列式e.

我们来证明，对任意的n 阶范德蒙行列式等于

这n 个数的所有可能的差a(1?j,i?n)的乘积.

1.2 范德蒙德行列式的证明

1.2.1 用数学归纳法证明范德蒙德行列式

我们对n作归纳法.

(1)当时，结果是对的.

(2)假设对于n蒙行列式结论成立，现在来看n级的情况.在

中，第n行减去第倍，第倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行倍，有的

()()() 后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差ai

(2?j,i?n);而包含a1的差全在前面出现了.因之，结论对n级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明 .

用连乘号，这个结果可以简写为

由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是

这n个数中至少有两个相等.

1.2.2 用定理证明范德蒙德行列式

已知在n级行列式

中，第行(或第列)的元素除a零，那么这个行列式等于a代数余子式

积，在

=

中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的a1倍得

= 根据上述定理

= 提出每一列的公因子后得

= 最后一个因子是行列式，用表示，则有

= 同样可得

=()()() 此处-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得

=()()()

1.3 范德蒙行列式的性质

利用行列式的性质容易推得:

1、若将范德蒙行列式Dn逆时针旋转可得

2、若将范德蒙行列Dn顺

3、若将范德蒙行列式Dn

第二章范德蒙行列式的应用 2.1 范德蒙行列式在行列式计算中的应用

利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。但是对于一些结构特殊的行列式，可以考虑用一些特别的方法。下面以n阶范德蒙行列式为例，我们来说明怎样利用n阶范德蒙行列式来简化行列式的计算。对于(1)式而言，n阶行列式D_n 的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1。根据范德蒙行列式的这种结构特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后利用其结果计算。

常见的化法有以下几种:

所给行列式各列(或各行)都是某元素的不同次幂，但其幂次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式性质(如提取公因式，调换各行(或各列)的次序,拆行(列)等)将行列式化为范德蒙行列式。

例1 计算

解:由范德蒙行列式的性质3得

2.1.1用提取公因式计算行列式

例2 计算

解:元素都分别是一个数的不同方幂，而且方幂次数从左至右按递增次序排列，但不是从0变到n-1，而是由1递升至n，如提取各行的公因数则方幂次数便从0变到n-1，于是得

上式右端行列式即为n阶范德蒙行列式，故