单向方差分析

S1 5.99
S2 4.15
S3 3.78
S4 4.71
合计 6.65
8
一、离均差平方和的分解
组间变异 组内变异
总变异
9
对于例完全随机设计 资料，共有三种不同的变异
1. 总变异（Total variation）：全部测量值Yij与 总均数 Y 20.0 间的差异 2. 组间变异（ between group variation ）：各 组的均数 Yi 与总均数 Y 间的差异
28
Bonferroni法
方法：若每次检验水准为α ’，共进行m次比较， m=k(k-1)/2,k为比较组数，令mα ’=α ,就可以使多次比 较后犯第一类错误的累计概率不超过α 。 采用α’＝α/m=2α/k(k-1)作为下结论时所采用的检验水准 。从实际上讲是对检验水准进行调整，故又称 Bonferroni调整法。
a 2 a i 1 j 1 i 1 j 1 2 ij ni ni
Y C＝(N 1) S
i, j 2 ij
N
2
总 N 1
2
校正系数： C
( Yij )
i 1 j 1
a ni
N

( Yij )
i, j
N
2
N
2 ．组间变异： 各组均数与总均数的
离均差平方和，计算公式为

1 5, 2 5
1 10, 2 10
1 2 3 4
17
F
F 分布曲线
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度 υ 2 分子的自由度，υ 1 161 4052 18.51 2 200 4999 19.00 3 216 5403 19.16 4 225 5625 19.25
SS 组内 ＝ ( 6 - 1 ) × 5 . 9 9 2 ＋ ( 6 - 1 ) × 4 . 1 5 2 + ( 6 - 1 ) × 3 . 7 8 2 + ( 6 - 1 ) × 4 . 7 1 2
组 内 自 由 度 2 = 4 × ( 6 - 1 ) = 2 0 , 组 内 均 方 MS 组内 ＝
5
方差分析的假定条件
1. 正态性 各处理组样本是相互独立的随机 样本，其总体服从正态分布； 2. 方差齐性 相互比较的各处理组样本的总 体方差相等，即具有方差齐同 （homogeneity of variance）。
上述条件与两均数比较的t检验的应用条件相同。
6
一 个 因 素 （ factor） ：解毒药 四 个 水 平 （ level） （ a=4 个 处 理 组 ） ： A、 Ｂ 、 Ｃ 、 空 白 对 照 D， i =1,2,3,4 分 别 代 表 A、 B、 C、 D 每 水 平 有 ni=６ 只 大 白 鼠 ， 分 别 表 示 为 j=1,2,…,6 应 变 量 用 Yij 表 示 ， 即 第 i 组 第 j 号 大 白 鼠 的 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 (μ /ml) 按 完 全 随 机 化 设 计 方 法 将 Ｎ ＝ 24 只 动 物 随 机 等 分成４个组
当有k个均数需作两两比较时，比较的次数共有 k ＝ k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2 c=
2
设每次检验所用Ⅰ类错误的概率水准为α，累积 Ⅰ类错误的概率为α’，则在对同一实验资料进行c次检 验时，在样本彼此独立的条件下，根据概率乘法原理， 其累积Ⅰ类错误概率α’与c有下列关系： α’＝1－(1－α)c (8.6) 例如，设α＝0.05，c=3(即k=3)，其累积Ⅰ类错误 的概率为α’＝1－(1-0.05)3 =1-(0.95)3 = 0.143
7
表
பைடு நூலகம்
8-1
不 同 解 毒 药 对 应 的 大 白 鼠 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 (μ 胆 硷 脂 酶 含 量 (Yij)
/ml)
j 2 X ij
组 号 i 1 2 3 4 合 计
23 28 14 8 73
ni
14 34 22 15 85 6 6 6 6 24

j
X ij
111 168 11 2 89 480
变异程度除与离均差平方和的大小有关外，
还与其 自由度有关，由于各部分自由度不相等，
MS组间
SS组间
组间
MS组内
SS组内
组内
二、F 值与F分布
，
1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0
f ( F)
1 1, 2 5
1 1 1 2 1 / 2 2 / 2 2 F 1 2 2 f (F ) 1 2 1 2 ( 1 F 2 ) 2 2 2
3. 组内变异（within group variation )：每组的 每个测量值Yij与该组均数 Y 的差异
i
下面用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)反映变异的大小
10
1. 总变异: 所有测量值之间总
的变异程度，计算公式
SS总 Yij Y Y C
447.67 ＝ 22.38。 20
23
三、计算F值
189.44 F＝ ＝ 8.46 22.38
分 子 分 母 自 由 度 分 别 为 ： 3， 20
列 于 方 差 分 析 表 中 (见 表 8-2)。
表 8-2 大 白 鼠血 中 胆硷 酯 酶含 量 方 差分 析表
变异来源 组间 组内 总
SS 568.33 447.67 1016.00
i 1 j 1
a
ni
或 SS 总 ＝ ( 2 4 - 1 ) × 6 . 6 5 2 = 1 0 1 6 . 0 2． 组 间 离 均 差 平 方 和
a
总 自 由 度 总 = 2 4 - 1 ＝ 2 3 。
SS组间
i 1
(
Y )
ij j 1
ni
2
ni
116 2 168 2 112 2 89 2 C 6 6 6 6
480 2 568.33 。 24
组 间 自 由 度 1 = 4 - 1 = 3 ， 组 间 均 方 MS 组间 ＝
568.33 ＝ 189.44 。 3
3 ． 组 内 离 均 差 平 方 和 SS 组内 ＝ 1 0 1 6 . 0 － 5 6 8 . 3 3 ＝ 4 4 7 . 6 7 ，
21
一、 建立检验假设
1 2 3 4 即4个试验组总体均数相等 H0： H1：4个试验组总体均数不全相等 检验水准 0.05
22
二、 计算离均差平方、自由度、均方
1 ． 总 离 均 差 平 方 和 SS 总 =
Yij2 C = 1 0 6 1 6 － ( 4 8 0 ) 2 / 2 4 ＝ 1 0 1 6 . 0 。
不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据 不足 ————>分析终止。
拒绝H0，接受H1, 表示总体均数不全相等 哪两两均数之间相等？ 哪两两均数之间不等？ ————>需要进一步作多重（两两）比较 。
26
采用Dunnett-t检验、Bonferroni 法、SNK（q)法等方法
27
累积Ⅰ类错误的概率为α’
3
方差分析的优点：
不受比较组数的限制，可比较多组均数 可同时分析多个因素的作用
可分析因素间的交互作用
4
完全随机设计资料（单因素）方差分析 One-way analysis of variance 第一节 方差分析的基本思想 所有测量值上的总变异按照其变异的 来源分解为多个部份，然后进行比较， 评价由某种因素所引起的变异是否具有 统计学意义。
的 效 果 是 不 同 的 。 解 毒 药 物 A 和 C 与 空 白 对 照 组 D 相 近 。 B 组 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 较 其 他 组 为 高 。
注意：当组数为2时，完全随机设计的方 差分析结果与两样本均数比较的t检验结果等 价，对同一资料,有：
t F
25
第六节 多个样本均数的两两比较
30
Bonferroni法的适用性
当比较次数不多时，Bonferroni法的效 果较好。
但当比较次数较多(例如在10次以上)时， 则由于其检验水准选择得过低，结论偏于保 守。
ν 3 20 23
MS 22.38
F
P 0.00079
189.44 8.46
24
四、下结论
查 附 表 5 F 界 值 表 ， 得 F0.05(3,20)=3.10。 由 于 F＞ F0.05(3,20)， 故 有 概 率 P＜ 0.05， 根 据 式 (8.5)的 推 断 规 则 拒 绝 无 效 假 设 ， 接 受 备 择 假 设 。 处 理 因 素 的 4 个 水 平 中 至 少 有 一 个 组 的 总 体 平 均 值 不 同 于 其 他 各 组 。 从 表 8 . 1 所 示 的 各 Yi 值 可 见 ， 不 同 解 毒 药 物
Xi
18.5 28.0 18.7 14.8 20.0

12 31 24 12 79
18 23 17 21 79
16 24 19 19 78
28 28 16 14 86
2233.0 4790.0 2162.0 1431.0 10616.0
四 种 解 毒 药 的 解 毒 效 果 是 否相 同 ？
Si 值
1
5 230 5764 19.30
6 234 5859 19.33
1
2 25
98.49
4.24 7.77
99.00
3.39 5.57
99.17
2.99 4.68
99.25
2.76 4.18
99.30
2.60 3.85
99.33
2.49 3.63
18
F 分布曲线下面积与概率
19
20
第二节 实例的方差分析
这种变异称为组内变异，也称SS误差。 用各组内各测量值 Yij 与其所在组的均数差值的 平方和来表示，反映随机误差的影响。计算公式为
SS组内 (Yij Yi )
i 1 j 1
a
ni
2
( ni 1) S
i 1
a
2 i
组内 N a
三种“变异”之间的关系
离均差平方和分解：
第八章 方差分析
Analysis of Variance （ANOVA )
1
方差分析(Analysis
of Variance,ANOVA) Fisher 首先提
1928年由英国统计学家R.A.
出，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析 又称为F检验。
2
ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher， 以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F test）。用于推断两 个或多个总体均数有 无差异 。
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
且
ν总 =ν组间 +ν组内
组内变异 SS 组内： 随机误差 组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
均方差，均方(mean square，MS)
因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称 均方 (mean square ， MS ) 。组 间均方和组内均方的计算公式为 :
SS组间 ni (Yi Y )
2 i 1 i 1
a
a
( Yij )
j 1
ni
2
组间 a 1
ni
C
SS组间反映了各组均数 Yi 的变异程度
组间变异＝①随机误差+②处理因素效应
3 ．组内变异： 在同一处理组内，虽然每
个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，
Yi Yh t Se
Yi Yh , N a 组内 1 1 MS组内 （ ） n1 n2
29
例四个均值的Bonferroni法比较
设α＝α’/c＝0.1/6=0.0167,由此t的临界 值为t（0.0167/2,20）=2.6117
1 1 22.38 6 6 同理t ( A : C) 0.07 2.6117, t ( A : D) 1.35 2.6117 t ( B : C ) 3.40 2.6117, t ( B : D) 4.83 2.6117, t (C : D) 1.43 2.6117 只有B与其他各组间差异有统计学意义，其他无统计学意义。 t ( A : B) 18.5 28.0 3.48 2.6117, 24 4 20