椭圆及其标准方程动态演示(课堂PPT)
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几何画板演示6
椭圆的方程的推导
独立思考轨迹方程的一般步骤，并按其方法及提示独立
逐步求椭圆的一般方程。
y
建
以经过椭圆焦点 F1，F2 的直
x
线为 x 轴，线段F1F2的中垂线为y
o
轴，建立直角坐标系xoy。
设
设 M（x，y）是椭圆上任一点，
设椭圆的焦距为 2c，点M与两焦点
的距离之和为常数 2a。
故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)
15
不 图形
同
焦点在x轴上
y M
F1 O F2
x
焦点在y轴上
点 标准方程
画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条
件？
2.如果把细绳的两端拉 开一段距离，分别固定在图
板的两点处，套上铅笔，拉
紧绳子，移动笔尖，画出的
又是什么图形？这一过程中，
笔尖（动点）满足什么几何
条件？
4
数学实验
• (1)取一条细绳， • (2)把它的两端固定在板
上的两个定点F1、F2 • (3)用铅笔尖（M）把细
两边同时除以 a2 a2 c2 ，得
x2 a2
a2
y2 c2
1
8
y
观察左图， 和同桌讨论你们能从中找
出表示c 、 a 的线段吗？
ba
oc
x a2-c2 有什么几何意义？
令 | OP | a2 c2 b
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1a b 0
9
设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意y一点，
(3 )9x22 5y22 2 50
(4)3x22y21
(5) x2 y2 1 m2 m2 1
12
三、迁移应用，能力提高判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 例1、填空：（独立思考后准则回：答焦点）在分母大的那个轴上。
F2
(1)已知椭圆的方程为：x2 y2 1,则 45
a=___5 __，b=____2___，c=____1___，
现（限）
由椭圆的定义得
| MF1 | | MF2 |2a （a > c）
7
代 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
化 移项，得
(x c)2 y2 2a (x c)2 y2
平方化简，得
a2 cx a (x c)2 y2
再平方化简，得
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
荔中 高二数学——张锐君
2
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
3
一、合作探究，形成概念：
请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下 任务，并思考相应问题。
1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）
则有F1(0,-c)，F2(0,c)，
又由椭圆 的定义可得：
F2 M
|MF1|+ |MF2|=2a
由两点间的距离公式，可知：
o
x
焦点在 Y轴
(y c)2x2(y c)2x22 a F 1
a y 2 2 a 2 x 2 c2 1 a y 2 2 b x 2 2 1b 2 a 2 c2
焦点在 X轴
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
x2
a2
y2 a2 c2
1
x2 a2
y2 b2
1
b2
a2
c2
（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答
10
椭圆的标准方程。）
•焦点在x轴上的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0
•焦点在y轴上的标准方程：
y2 a2
bx22
1ab0
b2 a2c2
b2 a2c2
如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐 标轴上？
（1）焦点在x轴的椭圆，x2项分母较大.
（2）焦点在y轴的椭圆，y2 项分母较大.
11
练习：下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆 焦点在那个轴上？（独立思考后回答）
x2 (1)
y2
1
16 16
x2 (2)
y2
1
25 16
F1
焦点坐标为：(0,-1)、(0,1) ，焦距
等于___2__;
若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则
点P到另一个焦点F2的距离等于__2__5___3__，
则∆F1PF2的周长为____2__5___2__ |PF1|+|PF2|=2a13
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的
(2)已知椭圆的方程为： x2 准y则2 ：焦1点在，分母则大的那个轴上。 25 16
a=___5__，b=___4____，c=____3___，焦点坐标 为：__(3_,_0_)、__(_-_3_,0_)_焦距等于___6___;若CD为过
左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为___２__0___
C
F1
F2
D
（3）a=5，c=4的椭圆标准方程是
x2 y2 1或 y2 x2 1
25 9
我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数 （大于|F1F2|） 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离叫做焦距。
思考:当点M到F1、F2的距离之和不大于|F1F2|时，点M的 轨迹是什么？
结论：若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是（椭圆 ）
若常数等于|F1F2|，则点M的轨迹是（ 线段F1F2） 若常数小于|F1F2|，则点M的轨迹（ 不存在 ）
2007年10月24日18时05分，嫦娥一号卫星在西昌卫星发射中
心顺利发射，2010年10月1日下午18时59分57秒，中国探月二期工
程先导星“嫦娥二号”在西昌点火升空，准确入轨，赴月球拍摄月
球表面影象、获取极区表面数据，为嫦娥三号在月球软着陆做准备。
标志着我国航天事业又上了一个新台阶。
பைடு நூலகம்
1
2.2.1椭圆及其标准方程
25 9 。
|CF1|+|CF2|=2a
14
课堂小结：
1、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 F1, F2的距离之
和等于常数（大于 | F1F2 |） 的点的轨迹叫做椭圆。
即 | MF1 | | MF2 | 2a（a > c）
这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 |F1F2|叫做焦距。 2、椭圆的图形与标准方程
绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的 图形
思 1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动 考 的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关
系？
请同学们根据上面作图过程，总结椭圆的定义。小组内交 流，代表回答。
椭圆的定义:
椭圆的方程的推导
独立思考轨迹方程的一般步骤，并按其方法及提示独立
逐步求椭圆的一般方程。
y
建
以经过椭圆焦点 F1，F2 的直
x
线为 x 轴，线段F1F2的中垂线为y
o
轴，建立直角坐标系xoy。
设
设 M（x，y）是椭圆上任一点，
设椭圆的焦距为 2c，点M与两焦点
的距离之和为常数 2a。
故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)
15
不 图形
同
焦点在x轴上
y M
F1 O F2
x
焦点在y轴上
点 标准方程
画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条
件？
2.如果把细绳的两端拉 开一段距离，分别固定在图
板的两点处，套上铅笔，拉
紧绳子，移动笔尖，画出的
又是什么图形？这一过程中，
笔尖（动点）满足什么几何
条件？
4
数学实验
• (1)取一条细绳， • (2)把它的两端固定在板
上的两个定点F1、F2 • (3)用铅笔尖（M）把细
两边同时除以 a2 a2 c2 ，得
x2 a2
a2
y2 c2
1
8
y
观察左图， 和同桌讨论你们能从中找
出表示c 、 a 的线段吗？
ba
oc
x a2-c2 有什么几何意义？
令 | OP | a2 c2 b
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1a b 0
9
设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意y一点，
(3 )9x22 5y22 2 50
(4)3x22y21
(5) x2 y2 1 m2 m2 1
12
三、迁移应用，能力提高判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 例1、填空：（独立思考后准则回：答焦点）在分母大的那个轴上。
F2
(1)已知椭圆的方程为：x2 y2 1,则 45
a=___5 __，b=____2___，c=____1___，
现（限）
由椭圆的定义得
| MF1 | | MF2 |2a （a > c）
7
代 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
化 移项，得
(x c)2 y2 2a (x c)2 y2
平方化简，得
a2 cx a (x c)2 y2
再平方化简，得
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
荔中 高二数学——张锐君
2
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
3
一、合作探究，形成概念：
请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下 任务，并思考相应问题。
1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）
则有F1(0,-c)，F2(0,c)，
又由椭圆 的定义可得：
F2 M
|MF1|+ |MF2|=2a
由两点间的距离公式，可知：
o
x
焦点在 Y轴
(y c)2x2(y c)2x22 a F 1
a y 2 2 a 2 x 2 c2 1 a y 2 2 b x 2 2 1b 2 a 2 c2
焦点在 X轴
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
x2
a2
y2 a2 c2
1
x2 a2
y2 b2
1
b2
a2
c2
（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答
10
椭圆的标准方程。）
•焦点在x轴上的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0
•焦点在y轴上的标准方程：
y2 a2
bx22
1ab0
b2 a2c2
b2 a2c2
如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐 标轴上？
（1）焦点在x轴的椭圆，x2项分母较大.
（2）焦点在y轴的椭圆，y2 项分母较大.
11
练习：下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆 焦点在那个轴上？（独立思考后回答）
x2 (1)
y2
1
16 16
x2 (2)
y2
1
25 16
F1
焦点坐标为：(0,-1)、(0,1) ，焦距
等于___2__;
若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则
点P到另一个焦点F2的距离等于__2__5___3__，
则∆F1PF2的周长为____2__5___2__ |PF1|+|PF2|=2a13
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的
(2)已知椭圆的方程为： x2 准y则2 ：焦1点在，分母则大的那个轴上。 25 16
a=___5__，b=___4____，c=____3___，焦点坐标 为：__(3_,_0_)、__(_-_3_,0_)_焦距等于___6___;若CD为过
左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为___２__0___
C
F1
F2
D
（3）a=5，c=4的椭圆标准方程是
x2 y2 1或 y2 x2 1
25 9
我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数 （大于|F1F2|） 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离叫做焦距。
思考:当点M到F1、F2的距离之和不大于|F1F2|时，点M的 轨迹是什么？
结论：若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是（椭圆 ）
若常数等于|F1F2|，则点M的轨迹是（ 线段F1F2） 若常数小于|F1F2|，则点M的轨迹（ 不存在 ）
2007年10月24日18时05分，嫦娥一号卫星在西昌卫星发射中
心顺利发射，2010年10月1日下午18时59分57秒，中国探月二期工
程先导星“嫦娥二号”在西昌点火升空，准确入轨，赴月球拍摄月
球表面影象、获取极区表面数据，为嫦娥三号在月球软着陆做准备。
标志着我国航天事业又上了一个新台阶。
பைடு நூலகம்
1
2.2.1椭圆及其标准方程
25 9 。
|CF1|+|CF2|=2a
14
课堂小结：
1、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 F1, F2的距离之
和等于常数（大于 | F1F2 |） 的点的轨迹叫做椭圆。
即 | MF1 | | MF2 | 2a（a > c）
这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 |F1F2|叫做焦距。 2、椭圆的图形与标准方程
绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的 图形
思 1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动 考 的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关
系？
请同学们根据上面作图过程，总结椭圆的定义。小组内交 流，代表回答。
椭圆的定义: