高等数学教案ch8多元函数微分法及其应用
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5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
4、二元函数的二阶泰勒公式；
5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；
6、拉格郎日乘数法；
7、多元函数的最大值和最小值。
§8.1 多元函数的基本概念
一、平面点集n维空间
1．平面点集
由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.
二元的序实数组(x,y)的全体,即R2=RR={(x,y)|x,yR}就表示坐标平面.
坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作
E={(x,y)|(x,y)具有性质P}.
例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是
C={(x,y)|x2+y2r2}.
如果我们以点P表示(x,y),以|OP|表示点P到原点O的距离,那么集合C可表成
点P0的去心d邻域,记作 ,即
.
注:如果不需要强调邻域的半径,则用U(P0)表示点P0的某个邻域,点P0的去心邻域记作 .
点与点集之间的关系
任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种
(1)内点:如果存在点P的某一邻域U(P),使得U(P)E,则称P为E的内点
(2)外点如果存在点P的某个邻域U(P),使得U(P)E则称P为E的外点
为了在集合Rn中的元素之间建立联系,在Rn中定义线性运算如下:
设x=(x1,x2, × × × ,xn),y=(y1,y2, × × × ,yn)为Rn中任意两个元素,lÎR,规定
x+y=(x1+y1,x2+y2, × × × ,xn+yn),lx=(lx1,lx2, × × × ,lxn).
这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间.
Rn中点x=(x1,x2, × × × ,xn)和点y=(y1,y2, × × × ,yn)间的距离,记作r(x,y),规定
.
显然,n=1, 2, 3时,上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至.
闭区域:开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如E={(x,y)|1x2+y22}.
有界集:对于平面点集E如果存在某一正数r,使得EU(Or)
其中O是坐标原点则称E为有界点集
无界集:一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集
例如集合{(x,y)|1x2+y22}是有界闭区域集合{(x,y)|x+y1}是无界开区域
例如设平面点集
E{(xy)|1x2y22}
满足1x2y22的一切点(xy)都是E的内点满足x2y21的一切点(xy)都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点(xy)也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点
开集:如果点集E的点都是内点,则称E为开集.
闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集
教学重点：
1、二元函数的极限与连续性；
2、函数的偏导数和全微分；
3、方向导数与梯度的概念及其计算；
4、多元复合函数偏导数；
5、隐函数的偏导数
6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；
7、多元函数极值和条件极值的求法。
教学难点：
1、二元函数的极限与连续性的概念；
2、全微分形式的不变性；
3、复合函数偏导数的求法；
开集的例子:E={(x,y)|1<x2+y2<2}.
闭集的例子:E={(x,y)|1x2+y22}.
集合{(x,y)|1x2+y22}既非开集也非闭集
连通性:如果点集E内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于E则称E为连通集
区域(或开区域):连通的开集称为区域或开区域.例如E={(x,y)|1x2+y22}.
集合{(x,y)|x+y1}是无界闭区域
2.n维空间
设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有序数组(x1,x2, × × × ,xn)的全体所构成的集合,即
Rn=R´R´×××´R={(x1,x2, × × × ,xn)|xiÎR,i=1, 2, ×
××,Biblioteka Baidu}.
Rn中的元素(x1,x2, × × × ,xn)有时也用单个字母x来表示,即x=(x1,x2, × × × ,xn).当所有的xi(i=1, 2, ×××,n)都为零时,称这样的元素为Rn中的零元,记为0或O.在解析几何中,通过直角坐标,R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应,因而Rn中的元素x=(x1,x2, × × × ,xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量,xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地,Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量.
第八章多元函数微分法及其应用
教学目的：
1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
C={P| |OP|r}.
邻域:
设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,d是某一正数.与点P0(x0,y0)距离小于d的点P(x,y)的全体,称为点P0的d邻域,记为U(P0,d,即
或 .
邻域的几何意义:U(P0,d)表示xOy平面上以点P0(x0,y0)为中心、d>0为半径的圆的内部的点P(x,y)的全体.
(3)边界点:如果点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则称P点为E的边点.
E的边界点的全体称为E的边界记作E
E的内点必属于EE的外点必定不属于E而E的边界点可能属于E也可能不属于E
聚点
如果对于任意给定的0点P的去心邻域 内总有E中的点则称P是E的聚点
由聚点的定义可知点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
4、二元函数的二阶泰勒公式；
5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；
6、拉格郎日乘数法；
7、多元函数的最大值和最小值。
§8.1 多元函数的基本概念
一、平面点集n维空间
1．平面点集
由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.
二元的序实数组(x,y)的全体,即R2=RR={(x,y)|x,yR}就表示坐标平面.
坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作
E={(x,y)|(x,y)具有性质P}.
例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是
C={(x,y)|x2+y2r2}.
如果我们以点P表示(x,y),以|OP|表示点P到原点O的距离,那么集合C可表成
点P0的去心d邻域,记作 ,即
.
注:如果不需要强调邻域的半径,则用U(P0)表示点P0的某个邻域,点P0的去心邻域记作 .
点与点集之间的关系
任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种
(1)内点:如果存在点P的某一邻域U(P),使得U(P)E,则称P为E的内点
(2)外点如果存在点P的某个邻域U(P),使得U(P)E则称P为E的外点
为了在集合Rn中的元素之间建立联系,在Rn中定义线性运算如下:
设x=(x1,x2, × × × ,xn),y=(y1,y2, × × × ,yn)为Rn中任意两个元素,lÎR,规定
x+y=(x1+y1,x2+y2, × × × ,xn+yn),lx=(lx1,lx2, × × × ,lxn).
这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间.
Rn中点x=(x1,x2, × × × ,xn)和点y=(y1,y2, × × × ,yn)间的距离,记作r(x,y),规定
.
显然,n=1, 2, 3时,上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至.
闭区域:开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如E={(x,y)|1x2+y22}.
有界集:对于平面点集E如果存在某一正数r,使得EU(Or)
其中O是坐标原点则称E为有界点集
无界集:一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集
例如集合{(x,y)|1x2+y22}是有界闭区域集合{(x,y)|x+y1}是无界开区域
例如设平面点集
E{(xy)|1x2y22}
满足1x2y22的一切点(xy)都是E的内点满足x2y21的一切点(xy)都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点(xy)也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点
开集:如果点集E的点都是内点,则称E为开集.
闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集
教学重点：
1、二元函数的极限与连续性；
2、函数的偏导数和全微分；
3、方向导数与梯度的概念及其计算；
4、多元复合函数偏导数；
5、隐函数的偏导数
6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；
7、多元函数极值和条件极值的求法。
教学难点：
1、二元函数的极限与连续性的概念；
2、全微分形式的不变性；
3、复合函数偏导数的求法；
开集的例子:E={(x,y)|1<x2+y2<2}.
闭集的例子:E={(x,y)|1x2+y22}.
集合{(x,y)|1x2+y22}既非开集也非闭集
连通性:如果点集E内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于E则称E为连通集
区域(或开区域):连通的开集称为区域或开区域.例如E={(x,y)|1x2+y22}.
集合{(x,y)|x+y1}是无界闭区域
2.n维空间
设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有序数组(x1,x2, × × × ,xn)的全体所构成的集合,即
Rn=R´R´×××´R={(x1,x2, × × × ,xn)|xiÎR,i=1, 2, ×
××,Biblioteka Baidu}.
Rn中的元素(x1,x2, × × × ,xn)有时也用单个字母x来表示,即x=(x1,x2, × × × ,xn).当所有的xi(i=1, 2, ×××,n)都为零时,称这样的元素为Rn中的零元,记为0或O.在解析几何中,通过直角坐标,R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应,因而Rn中的元素x=(x1,x2, × × × ,xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量,xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地,Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量.
第八章多元函数微分法及其应用
教学目的：
1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
C={P| |OP|r}.
邻域:
设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,d是某一正数.与点P0(x0,y0)距离小于d的点P(x,y)的全体,称为点P0的d邻域,记为U(P0,d,即
或 .
邻域的几何意义:U(P0,d)表示xOy平面上以点P0(x0,y0)为中心、d>0为半径的圆的内部的点P(x,y)的全体.
(3)边界点:如果点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则称P点为E的边点.
E的边界点的全体称为E的边界记作E
E的内点必属于EE的外点必定不属于E而E的边界点可能属于E也可能不属于E
聚点
如果对于任意给定的0点P的去心邻域 内总有E中的点则称P是E的聚点
由聚点的定义可知点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E