函数的极值和最值及其应用

函数的极值和最值及其应用

函数极值的定义

设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有()()0f x f x <，则()0f x 是函数()f x 的一个极大值。如果附近所有的点，都有()()0f x f x >，则()0f x 是函数()f x 的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。 极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。

若函数f 在点0x 处可导，且0x 为f 的极值点，则()00f x '=.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是()00f x '=.

函数最值的定义

设函数()f x 在X 区间上有定义，如果存在一点0x X ∈，使得()0f x 不小于

其他所有的()f x ，亦即 ()()0,f x f x x X ≥∈ ，

则称()0f x 是在X 上的最大值，又可记为 ()(){}0max f x f x = ； 同样使得()0f x 不大于其他所有的()f x ，亦即 ()(),o f x f x x X ≤∈ ， 则称()0f x 是在X 上的最小值，又可记为 ()(){}0min f x f x = .

注意：函数()f x 在X 上未必一定有最大（小）值。

最值和极值的联系与区别

（1）极值一定是函数在某个区间内的最值；

（2）极值未必是最值；

（3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。 函数极值、最值的求解方法

1、降元法

求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。

例1：已知2x y +=

，求函数z =的极值。

解：由题设得2y x =-

z ==()2280x -++≥

22x ∴--≤≤-+

即函数的定义域为：22⎡---+⎣

当2x

=-时，max z =

当2x =-+min 0z = 2、转化法

在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。下面二例的解法作为参考。

例2

.

解：设

y =

令1255,5z x i z x i =-+=+

则：1212510y z z z z i =+≥+=+

=min y ∴=

例3：求函数1sin 2cos x y x

-=-的极值 解：原函数化为：2cos 1sin y y x x -=-

21sin cos y x y x -=

+ ()x ϕ=+ ，其中tan y

ϕ=

21y ∴-≤403y ≤≤ min max 40,3

y y ∴== 3、换元法

换元法是把问题进行转化的一种常用方法。

例4：已知22

21x y +=，求34z x y =-的极值. 解：2

22221,112

y x y x +=∴+=

令)()

cos ,/202x y θθθπ==<≤

则()

3cos z θθθϕ=-=+（其中tan ϕ=

）

()

cos 1θϕ+≤ min max z z z ∴≤==例5：求函数2sin 3sin 1y x x =-+的极值

分析：本例可通过辅助元sin T x =把所给函数化为二次函数：

231y T T =-+ ，

即把上述极值问题转化为抛物线231y T T =-+在[]1,1-范围内求最高点和最低点的问题。此处不予以细致解答。

4、判别式法

若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值。

例6：已知

,x y 满足22260x xy y -+--+=，求z x y =+的最小值. 解：由z x y =+得y z x =-代人约束条件并以x 为主元整理得：

()

224460x zx z -+-+=

()

22,161660x R z z ∈∴∆=--+≥解得: z ≥ （1）

当且仅当42*42x ==时（1）式取等号。

由

,x y 的对称性知当2x y ==时， min z =

或求函数12334622+-+-=x x x x y 的最大值2

72≤≤y 5、不等式法

例7：已知,x y 满足22421690x y x y +-++=，求函数2z x y =+ 的极值。 解：由已知式配方得： ()()221428x y -++= （1）

()()()()2214221*22x y x y -++≥-+

()()21*228x y ∴-+≤ （2）

()()12+ 得()()212216x y -++≤⎡⎤⎣⎦解得721,x y -≤+≤min max 7, 1.z z ∴=-=

其实，函数极值的解题方法不少,如三角法、参数法,极坐标法、区间法等都有一定的技巧性.解题时应认真分析,审查题目的特征、结构、挖掘隐含条件,抓住特征,发挥联想,运用灵活多变的替代、转化,有时还需要反其常规,逆向思维,以退为进选择合理的解题方法,逐步提高解题技能,才能做到准确简捷地解题.本文就此不做具体展示。

6、几何法

例如：已知920750x y -+=，求函数(

)()222244z x y x y =+++-+的最小值。 解：本题的几何意义是在直线920750x y -+=上求一点Q ，使得Q 到点()()4,0,4,0-的距离之和为最小。如图：

设：点12,P P 坐标为()()4,0,4,0-，直线l 的方程为920750x y -+=。由几何光学原理知当点光源从1P 射出后，经镜面l 反射到点2P 。这时122PQ P Q MP +=

就是所求的最小值。 设点2P 关于光线l 的对称点为()11,M x y ，于是min 1

22Z PQ P Q MP =+= ，由 11120,494915*22024y x y x ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=+⎪⎩解得11202120,3737x y =-=min 2222021204103737z MP ∴=⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7、导数法