福建省三明市宁化县2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

福建省三明市宁化县2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.如图，水平放置的空心圆柱体的主视图为（）
A. B. C. D.
2.下列各方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）
A. 2x2+3=2x（5+x）
B. ax2+c=0
C. （a+1）x2+6x+1=0
D. （a2+1）x2﹣3x+1=0
3.如图，点D、E分别在CA、BA中的延长线上，若DE∥BC，AD=5，AC=10，DE=6，则BC的值为（）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
4.已知方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，则（）
A. m＜
B. m≤
C. m＞
D. m≥
5.中国人民银行于2019年9月10日起陆续发行中华人民共和国成立70周年纪念币一套.该套纪念币共7枚，均为中华人民共和国法定货币.任意掷两枚质量均匀的纪念币，恰好都是国徽一面朝上的概率是（）
A. B. C. D. .
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点E(−4，2)，F(−1，−1).以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E′的坐标为（）
A. (−8，4)
B. (8，−4)
C. (8，4)或(−8，−4)
D. (−8，4)或(8，−4)
7.下列命题中，正确的是（）
A. 菱形的对角线相等
B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 正方形的对角线不能相等
D. 正方形的对角线相等且互相垂直
8.目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用10000元本金购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息10926元设此款理财产品每期的平均收益率为x，则根据题意可得方程（）
A. B.
C. D.
9.太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程根据规定，我市将垃圾分为了四类可回收垃圾、餐厨垃圾有害垃圾和其他垃圾现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（）
A. B. C. D.
10.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO 交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）
A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形
D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形
二、填空题（共6题；共6分）
11.已知＝（b+d≠0），则的值为________ ．
12.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________．
13.已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则这个菱形的另一条对角线长是________．
14.在同一时刻，身高1.6m的小强的影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为________.
15.已知x1，x2是方程x2-3x-1=0的两根，则=________．
16.如图，把矩形ABCD沿EF翻转，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD 的面积是________
三、解答题（共9题；共73分）
17.解方程：x2﹣5x+6＝0
18.解方程：2(x－3)2＝x2－9
19.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．
20.如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB、PD，点E在BC的延长线上，且P E＝PB．
求证：
（1）△BCP≌△D CP；
（2）∠DPE ＝∠ABC．
21.百货商店销售某种冰箱，每台进价2500元．市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台；每台售价每降低10元，平均每天能多售出1台．(销售利润＝销售价－进价)
（1）如果每台冰箱降价100元，那么每台冰箱的销售利润为________元，平均每天可销售冰箱________台；
（2）商店想要使这种冰箱平均每天的销售利润达到5600元，且尽可能地减少冰箱库存，每台冰箱应降价多少元？
22.已知△ABC如图所示，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，四边形BEFD是菱形．
（1）请你在图中作出正确的菱形BEFD；（要求尺规作图，并保留作图痕迹）
（2）证明你所画的四边形BEFD是菱形．
23.为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校九年级二班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
（1）参加音乐类活动的学生人数为________人，参加球类活动的人数的百分比为________；
（2）请把图2（条形统计图）补充完整；
（3）该校学生共800人，则参加棋类活动的人数约为________；
（4）该班参加舞蹈类活动的4位同学中，有1位男生（用E表示）和3位女生（分别用F，G，H 表示），先准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．24.如图，在矩形ABCD中，点的P在AD上，AB＝2，AP＝1，PE⊥PF，点E在AB上，点F在BC上，连接EF．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求PC的长；
（2）将直角∠EPF从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止，在这个过程中，请解答下列问题：
①判断的值是否发生变化，并说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路径的长．
25.如图1，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥A B，DF⊥AC．
（1）若AD 2 ＝BD ·
DC ， ①求证：∠BAC ＝90°；
②连接EF ，若AB ＝4，DC ＝6，求EF ．
（2）如图2，若AD ＝4，BD ＝2，DC ＝4，求EF ．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
二、填空题
11.【答案】
12.【答案】10
13.【答案】8
14.【答案】20
15.【答案】﹣3
16.【答案】
三、解答题
17.【答案】利用因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
18.【答案】解：2(x－3)2＝x2－9
2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0
(x-3)(2x-6-x-3)=0
x1=3，x2=9．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．
20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴BC=DC，∠ACB＝∠ACD ，∠ABC＝90°
又∵PC = PC
∴△BCP ≌△DCP．
（2）证明：∵PE＝PB，
∴∠E＝∠PBE ，
∵△BCP ≌△DCP ，
∴∠PBE＝∠PDC ，
∴∠E＝∠PDC ，
∵∠E＋∠1＝90°，∠1＝∠2
∴∠PDC＋∠2＝90°
即∠DPE＝90°
∴∠DPE＝∠ABC．
21.【答案】（1）300；18
（2）解：设每台冰箱应降价x元，
由题意得：，
解得，
当时，每天可销售冰箱的数量为（台），当时，每天可销售冰箱的数量为（台），
因为商店想要尽可能地减少冰箱库存，
所以，
答：每台冰箱应降价200元．
22.【答案】（1）解：如图，BEFD就是正确的菱形．
（2）证明：由（1）可知，
BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABF =∠CBF
∵DE是线段BF的垂直平分线
∴DB = DF，EB = EF
∴∠DBF =∠DFB，∠EBF =∠EFB
∴∠CBF =∠DFB，∠ABF =∠EFB
∴DF∥BC，EF∥AB
∴四边形BEFD是平行四边形
又∵DB =DF
∴四边形BEFD是菱形．
23.【答案】（1）7；30%
（2）解：补全条形图如下：
（3）140
（4）解：画树状图如下：
共有12种情况，选中一男一女的有6种，
则P（选中一男一女）= ．
24.【答案】（1）解：如图2所示，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC =∠A = 90°
∴∠ABP＋∠PBC = 90°
∵PE⊥PF，
∴∠BPC = 90°
∴∠PCB＋∠PBC = 90°
∴∠ABP =∠PCB
∴△ABP ∽△PCB
∴
在Rt△ABP中，
∵AB＝2，AP＝1，
∴BP＝
∴
∴PC＝2
（2）解：① 的值不会发生变化，理由如下：
如图3所示，
将直角从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转的过程中，BPC = 90°保持不变，∴∠EPB＋∠BPF = 90°，∠CPF＋∠BPF = 90°
∴∠EPB =∠CPF
在△EBP和△FCP中，
∴△EBP ∽△FCP
∴
②取EF的中点Q，连接BQ，PQ，PB，如图3．
∵∠EBF=∠EPF=90°，点Q为EF的中点，
∴QP= EF=QB，
∴点Q在线段PB的垂直平分线上；
∴点Q经过的路线是一条线段．
如图4，
当点E在点B处时，点Q在BC中点Q1处；
当点E在点A处时，点Q在PB的中点Q2处．
根据三角形中位线定理得Q1Q2= PC= ．
所以从开始到停止，线段EF的中点Q所经过的路线长Q1Q2为．
25.【答案】（1）解：①证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDA＝90°．
∵AD 2 ＝BD·DC，
∴．
∴△ABD ∽△CAD．
∴∠BAD＝∠C．
又∵∠B +∠BAD＝90°，
∴∠B +∠C ＝90°．
∴∠BAC＝90°．
②∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC＝90°．
∴∠EAF＝∠AED＝∠AFD＝90°．
∴四边形AEDF是矩形．
∴EF＝AD．
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AB 2＝BD BC．
∵AB ＝4，DC ＝6，
即42＝BD （BD＋6）．
解得BD＝2．
∴Rt△ABD中，AD＝＝．
∴EF＝；
（2）解：∵在Rt△ABD中，AD ＝4，BD ＝2，
∴AB＝．
∵AD＝4，DC＝4，DF⊥AC，
∴AC＝．
∴AF＝AC＝．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC，
∴AD2＝AE AB，AD2＝AF AC．
∴AE AB＝AF AC．
即．
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB．
∴．
∴．
解得EF＝．
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