质点动力学的基本方程10文理

在半径为r的鼓轮上,鼓轮以等角速度转动. 若不计导轨的摩擦, 求绳子拉力F与距离 x的关系.
解:
由速度投影定理
VB B
r
A
VA
m
x
VB VA cos
r VA
x2 r 2 x x
x2 r2 x
x r x
x2 r2
x
r
2 x 2 x 3
2( x 2 r 2 ) 2
x
x2
r2
1。第一定律和第二定律仅对质点运动或作平动的刚体有效。 2。第二定律仅在惯性参照系内成立。 3。第三定律不仅适用于惯性系，同时也适用于非惯性系下物体之 间的相互作用关系。
2
★惯性参考系:
宇宙万物的运动都是相对的, 在分析研究万物运动都必须遵循的客观力学规 律时必须有一运动参照系作为标尺, 这就是惯性参考系. 惯性参考系就是作匀速直线运动的物体, 它的外延就是无限大的运动空间.
从运动的模型讲惯性参考系是作匀速直线平动的刚体运动. 在惯性系内所取的 任何形式的坐标系都称为惯性坐标系.
绝对作匀速直线平动的物体似乎不存在,实际上惯性系是相对的. 对于小尺度的力学问题, 地球表面可视为惯性参考系. 地球的自转角速度为 = 7.3×10 – 5 rad/s , 地球的半径为6370公里, 所以地表面 的运动在一较小的范围内可视为直线运动(平动).
求小球的速度及绳子的拉力的大小.
解：取小球为研究对象， 受力及运动分
析如图示 . A
建立自然投影坐标
F
60º M
n
O
an mg V
b
方向的投影如何?
由动力学基本方程
ma Fi
b 方向: 0 mg F sin600
F 2 mg 1.13N
3
n 方向: man F cos600
V2 m 0.5F
§9 – 1 动力学的基本定律 — 牛顿三大定律
第一定律: 不受力或受平衡力系的质点, 将保持静止或匀速直线运动
第二定律: 质点的质量与加速度的乘积等于作用在质点上的合力的大小, 加速度 的方向就是合力的方向
ma Fi
矢量形式的微分方程是:
d2r
m dt 2 Fi
第三定律: 两个物体之间的作用力与反作用力总是同时存在的, 且此二力等值、 反向、共线, 并分别作用在这两个物体上,
对于质点系或平动刚体系统的动力学问题, 需用所谓的 “隔离法”对每一 个研究对象施用动力学基本方程.
7
例1. 曲柄连杆机构如图示, 曲柄OA = r , 以匀角速度 绕O轴转动,连杆 AB = OA = r,设滑块的质量为m, 连杆AB的质量不计.求当 = 0、 = /3 时连杆AB所 受到的力及滑块B所受地面的约束力.
x
2r 2 x ( x2
x2 r 2 )2
x2
1 r2
x rx
x2 3
( x 2 r 2 ) 2
1
x2
r2
x
2r4 x
x2 r2 2
19
VB B
r
A
VA
m
x
x
2r4 x
x2 r2 2
2r4 x
aA x2 r 2 2
取滑块A分析受力及运动
由动力学基本方程
略质点的重力.
求 : 质点的运动方程和运动轨迹.
解: 取质点分析其受力
y
建立坐标如图示
mx 0
x 0
x C
0 vo
m
Fv
x Ct D
x
my F
my eA cos kt
y e A cos kt m
y e A sin kt E km
y e A cos kt Et F k 2m
ma Fi
F
mg
A
aA
FN
水平方向有: ma A F cos
2r4 x
x2 r2
m x2 r 2 2 F
x
m 2r4 x2
F
5
x2 r2 2
20
例9. (习9 – 10 ) 一人站在高度为h的河岸上,用绳子拉动m = 40 kg 的小船,如图所 示. 设他用的力大小不变, 为F = 150N. 开始时, 小船位于B点, OB = b = 7m, 初速度 为零. 已知 OC = c = 3cm,水的阻力忽略不计.求小船被拉到C点时所具有的速度.
FN
由作用反作用关系可知, AB杆受2m2r 的拉力.
8
由动力学基本方程
FB mg
aB
Fi ma 在铅垂方向的投影
xB
m 0 FN mg
FN mg
FN
xB 2 2r cost
当 = /3 xB 2r 取滑块分析受力及运动
FB
由动力学基本方程
Fi ma 在水平方向的投影
mg
600
aC
2Vr
43 3
m
/
s2
由 aa aen ae ar aC
向y轴方向投影:
aa
cos 300
a
e
aC
aa 3.82 m / s 2
即是B 点的加速度 为 3.82 m/s²
取滑块B 为研究对象, 分析其运动和受力.
y
my FB cos 300 G
A
FN
aB
B
3
x
m aB 2 FB G
解: 滑块B沿水平轴直线运动
y
A
O
B
滑块的运动方程式为:
xB 2r cost x x B 2r sint
xB 2 2r cost
xB 2r cos
当 = 0 xB 2 2r 取滑块分析受力及运动
aB
FB mg
由动力学基本方程
Fi ma 在水平方向的投影
xB
FB ma B 2m 2r
d2r dt 2
Fi
微分方程的直角坐标投影式:
mx Fix
my Fiy
mz Fiz
微分方程的自然坐标投影式:
ms Fit
s2
m
Fin
mab 0 Fib
微分方程的柱坐标投影式:
m r r2 Fir
m r 2r Fi maz Fiz
4
F
z
M
ay
d2r m dt 2
O
且绳与铅垂夹角为0 .
求：1》 小球在最低处A 和最高处B 时绳子的拉力。
0
2》小球在绳子与铅垂成任意夹角时的速度。
解: 1》取小球在A、B处进行受力及运动分析:
B
由
s2
m
Fn
A
an
F1
对A处位置
F2
m vo2 L
F1 mg
F1
m
v02 L
mg
B
对B处位置
A mg
vo at
0
mg
0 F2 mg cos0
ae aen
a 60º
r
B
加速度分析.
aen 2 OB 4 0.5 2 m / s2
ae OB 1 m / s2
aC
2Vr
43 3
m / s2
16
y
aC aa
300
ae
ar
B
aen
加速度分析.
aen 2 OB 4 0.5 2 m / s2
x
ae OB 1 m / s2
所以, 在一般的工程问题中, 把固定于地面的坐标系或相对地面作匀速直线平 动的坐标系作为惯性参考系, 可得到相当精确的结果.
研究大尺度的力学问题, 如人造卫星、航天飞机、洲际导弹等运动中的力学问题, 地球不能视为惯性系.
3
§9– 2 质点的运动微分方程
由第二定律的数学表达式 ma Fi
矢量形式的微分方程有：m
F2 mg cos0
10
2》取运动到任意位置的小球分析
O
由
mS Ft 得
an
mS mg sin
S
L g sin
g sin
L
B
由变量替换
d d d d dt d
at
A
d g sind
L
vo mg
积分得:
2 2g cos D
L
(求:小球在绳子与铅垂成任意夹角 时的速度.)
r
V 2 0.5 1.13 0.3 cos 600 0.8475 0.1
V 0.92 m / s
12
例4
质量为m 的质点带有电荷e , 以速度vo 进入按 E = Acoskt 变化的电场中,初
速度方向与场强方向垂直. 已知质点在电场中受力F = －e E , 且 A、k 为 常数. 忽
FB 15.73N
B
G F 30º B
mx 0 FN FB sin300 O
FN 7.86N
17
为了求B 点的加速度, 我们还可以用‘ 函数法’.
y
aB
B
O O1
y B
3 sec2
4
取过滑块的中线与过O 点的水平线的交点为坐标原 点, 建立坐标轴O1y
A
O1O OB cos 300
由 v0
0 L
得
D
v
2 0
L2
2g L
v v02 2gL1 cos
2
v02 L2
2g L
(1
cos
)
v2 v02 2gL1 cos 11
例3. ( 参见书上例9 – 3 ) 一圆锥摆. 小球质量m = 0.1kg, 细绳长 l = 0.3m. 小球在水平面内作匀速圆周运动, 此时绳与水平面成 = 60º.
受力及运动情况如图
由题意可知, 当 = 0 时FN = 0.
由
s2 m
Fn
m 2 R mg cos 0
2
g R
cos 0
g R
cos
0
n 60 30 2
g R
cos
0
15
例7. 滑块B 重G = 9.8( N ) . 通过固结在滑块上的销钉由摇杆OA 带动. 在摇杆与水平线夹角 = 30º时, = 2rad/s , = 2rad/s² , OB=0.5m . 设摇杆的质量与各处的摩擦不计.
— 作变量替换后 再积分。
6
例如:
ma F（ S）
即 mS F（ S）
m dS dS
dS dt
F（ S）
mSdS F（ S）dS
mvdv F（ S）dS
v1 mvdv v0
cF ( S )dS
1
2
mv
2 1
1 2
mv
2 0
cF ( S )dS
c: 质点运动的路径.
4》力是其他变量的函数 — 较难积分。
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y
x C
y e A sin kt E km
x Ct D
e
y
A cos kt Et F
k 2m
0 vo
m
Fv
两式联立消去t 后可得:
由初始条件:
x
x t0 v0
x 0 得： t0
C v0 D 0
y 0 t0
E0 x v0t
y 0 得： t0
F
e k 2m
A
eA y k 2m (cos kt 1 )
F 解: 建立坐标如图示
h
x
B
FC
B
O
小船B端在B、C间任意位置时, 可建立动力学方程:
c
mx F x
x2 h2
b
40x 150 x
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x2 22
x 15 x 4 x2 4
dx dx 15 x
dx dt 4 x2 4
xdx 15 xdx 4 x2 4
dx 2 15 dx2 4 x2 4
F
ax az
r t a
r xi y jzk
O x
y 图示的F 为 作用在质点的合力
直 mx Fx
自
角
坐 标
my Fy
然 坐 标
下
mz Fz
下
F
M
at
an a
S(t)
ms Ft
s2
m
Fn
5
§9 – 3 质点动力学两类基本问题
(1) 已知运动 求力 – 用 微分法或代数法。
已知 x = x(t) S(t)
y
eA mk 2
cos
k v0
x
1
14
例6. ( 书上例9 – 4 ) 粉碎机滚筒半径为 R, 绕通过中心的水平轴匀速转动, 筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升. 为了使铁球获得粉碎矿石的能量, 铁 球应在 = 0 时才掉下来. 求滚筒每分钟的转数.
0
F 0 N
F
mg an
解: 取位置在0 处的小球为研究对象
y = y(t)
z = z(t)
或S=
mx Fx my Fy mz Fz
ms Ft
s2
m
Fn
(2) 已知力求运动 — 用积分法.
1》力是时间的函数 F F(—t) 直接积分。
2》力是常矢量 — 直接积分。 3》力是空间位置（坐标）的函数
F F( x, y, z) F F(S) F F()
3 m
4
B点的运动方程
yB O1O tg
3 tg 4
yB
3 sec sec tg 2
2
3 sec2
4
yB
3 sec2 tg 2
2
3 sec2
4
yB
300
8 3
23 3
3.82
m / s2
aB 3.82 m / s2
18
例8.(习9 – 9) 滑块A的质量为m, 因绳子牵引而沿水平导轨滑动, 绳子另一端缠绕
求: 此时, 导槽对滑块的约束力及销钉B与摇杆之间的作用力.
解: 首先对系统进行运动分析.
取销钉为动点, OA 杆为动系. A
速度分析.
B
O
aC aa
Va
30º
Ve B Vr
Ve OB 2 0.5 1 m / s
Va
Ve cos 300
2 m/s
3
Vr Va sin300
1 m/s 3
aB
xB
FB cos 600 ma B
FB 2ma B 2m 2r
y
FN
由动力学基本方程
Fi ma 在铅垂方向的投影
A
m 0 FN FB sin 600 mg
O
B
x
FN mg 3m 2r
9
例2. 小球质量为m，悬挂于长为L 的细绳上， 绳重不计。 小球在铅
垂面内摆动。小球在最低处时速度为v0， 摆到最高处时小球的速度为零，
x 2 15
x2 4
1
2 C
2
21
x
B
FC
B
c
b
当小船被拉到C点时x = 3 (m)