11第十一章塑性极限分析
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M xS SWP
d3
16
S
τs
3. 极限扭矩
τ
T
T
τs γ
可继续加载，已屈服部分应力不变，屈服区向里发展， 直至整个截面全部屈服。
τs
弹性
τs 部分塑性
τs
完全塑性
3. 极限扭矩
M xu s dA
A
对实心圆轴
τs
d /2
M xu s dA
A
0
4 s 2 d S M xs 12 3
§11-2 超静定拉压杆系的极限荷载
一、静定结构
对静定结构，只要最大应力达到材料的极限应力，则整个结 构成为几何可变的极限状态。
F1 C
B
F2
A F
二、超静定结构
极限状态：结构整体出现大的塑性变形，从而成为 几何可变体系; 屈服荷载：使结构局部开始出现塑性变形的荷载FS; 极限荷载：结构进入极限状态时的荷载Fu.
S
可见，有水平对称轴的截面：At=Ac , St=Sc
极限弯矩
Mu s St S c sWS
WS St SC -----塑性弯曲截面系数
对矩形截面
bh h bh h bh Mu s ( ) s 2 4 2 4 4
2
h Ac At b
z
bh2 M s sWz s 6
F Fu / n
Fmax F
例2：AB刚性杆，CG和DH杆材料 均为钢材（理想弹性塑性材料）、 截面相同。求FS和Fu
1. 变形协调的几何关系 A a
G
Βιβλιοθήκη Baidu
H l D
ΔlCG
C a
B
Δ l DH
lDH 2lCG
a
由物理关系
FDH 2FCG
5. 极限荷载 两根杆均达到屈 服状态时
B
D
C
αα
A F
4. 塑性（屈服）荷载
FN 3 Fs s 3 A 1 2cos A
5. 极限荷载 三根杆均达到 屈服状态时
Fs 1 2 cos3 s A
1 2cos s A
Fu 2 s A cos s A
σs A σs A σs A
d3
4. 容许扭矩
M xu M x n
5. 强度条件
M x max M x
二、卸载后的残余应力
记外力偶加到Mxe时，截面完全屈服
M xe M xu
外力偶完全卸载，由于卸载是按弹性 路径进行，故相当于在原状态下加一 个反向的力偶，应力应变关系为线弹 性。 M xe M xu * WP WP
梁顶、底端的应力刚达到屈服极限
S
h z
Ms s Wz
M s sWz
b
3. 极限弯矩 σs
σ
ε 可继续加载，已屈服部分应力不变，屈服区向里发展， 直至整个截面完全屈服。
h
z
S
塑性区
S
z h
塑性区
S
z
h
塑性区
S
塑性区
S
b
弹性
b
部分塑性
b 完全塑性
设完全屈服时，受拉面积At，受压面积Ac
Fu
Fu s A(1 2cos ) 1 2cos 3 Fs s A(1 2cos ) 1 2cos3
30o , Fu / Fs 1.19 45o , Fu / Fs 1.41 60o , Fu / Fs 1.60
容许荷载： 强度条件：
第十一章
考虑材料塑性 的极限分析
作者:黄孟生
§11-1 概述
容许应力法：
max , max
或
r
材料的屈服模型:
a.刚性—理想塑性模型 σs σ
b. 理想弹(性)塑性模型:
ε
a). σ＜ σs时，材料完全弹性；
σ
b). σ＝ σs时,应力不增加，
M u WS =1. 5 ---截面形状系数 M s Wz
注意：无水平对称轴的截面，中性轴位置随塑性区的 发展而移动,最终：At=Ac
S
S
S
弹性
S
部分塑性 完全塑性
B
D
C
F
αα
A F
例1：已知E、A、α、σs，材料为 理想弹性塑性。求Fs、Fu
1. 变形协调的几何关系 l1 l2 l3 cos
B
1
D
3
C
2.物理关系(设AB、AC杆长为l)
FN1 α
α
FN3 A F
2
FN2
FN 1l FN 3l cos l1 l2 , l3 EA EA
F
2. 由静力平衡方程
FCG 2FDH 3F 6 3 FDH F FCG F 5 5 5 FS S A 3、屈服荷载 6
Fu
s A 2 s A
3
sA
§11-3 圆杆扭转时的极限分析
T T
一、极限扭矩
τ
1. 理想弹塑性模型 τs γ 2. 塑性（屈服）扭矩
3. 由静力平衡方程
FN 1 FN 2
F FN 3 2 cos
B
1
D
3
C
2
αα
F FN 3 l FN 3l cos cos 2 cos EA EA
l2 l3
l1
FN 3
F 1 2cos3
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2cos3
对实心圆轴
τs
Mxe Mxe
M xu 4M xs 4 s WP 3WP 3
*
τ*
s
s /3
τ* τs 完全屈服时
s /3
s
残余应力
卸载
残余应力：自成平衡Mxe=0;最大切应力为τs.
§11-4 梁的极限分析
一、纯弯曲梁的极限弯矩
1. 弹性—理想塑性模型 σs ε
σ
2. 屈服弯矩
应变无限增大；
σs ε
c). 拉伸和压缩时:σst＝ σsc, Et=Ec； d). σ＝ σs后卸载，材料仍服从胡克定律。 σ
A B
σS
O
ε σS C
结构的极限状态与极限荷载：
结构由于塑性变形成为几何可变体系时，则称结 构达到了极限状态。
极限荷载：结构进入极限状态时的荷载Fu
极限荷载法：以杆件或杆系破坏时的荷载——极限荷载 为依据建立强度条件，进行强度计算的方法。
FN s dA
At
Ac
dA 0
s
Ac
At Ac
S
h Ac At b z
Mu
At
y s dA y s dA
s ydA ydA s St S c Ac At
d3
16
S
τs
3. 极限扭矩
τ
T
T
τs γ
可继续加载，已屈服部分应力不变，屈服区向里发展， 直至整个截面全部屈服。
τs
弹性
τs 部分塑性
τs
完全塑性
3. 极限扭矩
M xu s dA
A
对实心圆轴
τs
d /2
M xu s dA
A
0
4 s 2 d S M xs 12 3
§11-2 超静定拉压杆系的极限荷载
一、静定结构
对静定结构，只要最大应力达到材料的极限应力，则整个结 构成为几何可变的极限状态。
F1 C
B
F2
A F
二、超静定结构
极限状态：结构整体出现大的塑性变形，从而成为 几何可变体系; 屈服荷载：使结构局部开始出现塑性变形的荷载FS; 极限荷载：结构进入极限状态时的荷载Fu.
S
可见，有水平对称轴的截面：At=Ac , St=Sc
极限弯矩
Mu s St S c sWS
WS St SC -----塑性弯曲截面系数
对矩形截面
bh h bh h bh Mu s ( ) s 2 4 2 4 4
2
h Ac At b
z
bh2 M s sWz s 6
F Fu / n
Fmax F
例2：AB刚性杆，CG和DH杆材料 均为钢材（理想弹性塑性材料）、 截面相同。求FS和Fu
1. 变形协调的几何关系 A a
G
Βιβλιοθήκη Baidu
H l D
ΔlCG
C a
B
Δ l DH
lDH 2lCG
a
由物理关系
FDH 2FCG
5. 极限荷载 两根杆均达到屈 服状态时
B
D
C
αα
A F
4. 塑性（屈服）荷载
FN 3 Fs s 3 A 1 2cos A
5. 极限荷载 三根杆均达到 屈服状态时
Fs 1 2 cos3 s A
1 2cos s A
Fu 2 s A cos s A
σs A σs A σs A
d3
4. 容许扭矩
M xu M x n
5. 强度条件
M x max M x
二、卸载后的残余应力
记外力偶加到Mxe时，截面完全屈服
M xe M xu
外力偶完全卸载，由于卸载是按弹性 路径进行，故相当于在原状态下加一 个反向的力偶，应力应变关系为线弹 性。 M xe M xu * WP WP
梁顶、底端的应力刚达到屈服极限
S
h z
Ms s Wz
M s sWz
b
3. 极限弯矩 σs
σ
ε 可继续加载，已屈服部分应力不变，屈服区向里发展， 直至整个截面完全屈服。
h
z
S
塑性区
S
z h
塑性区
S
z
h
塑性区
S
塑性区
S
b
弹性
b
部分塑性
b 完全塑性
设完全屈服时，受拉面积At，受压面积Ac
Fu
Fu s A(1 2cos ) 1 2cos 3 Fs s A(1 2cos ) 1 2cos3
30o , Fu / Fs 1.19 45o , Fu / Fs 1.41 60o , Fu / Fs 1.60
容许荷载： 强度条件：
第十一章
考虑材料塑性 的极限分析
作者:黄孟生
§11-1 概述
容许应力法：
max , max
或
r
材料的屈服模型:
a.刚性—理想塑性模型 σs σ
b. 理想弹(性)塑性模型:
ε
a). σ＜ σs时，材料完全弹性；
σ
b). σ＝ σs时,应力不增加，
M u WS =1. 5 ---截面形状系数 M s Wz
注意：无水平对称轴的截面，中性轴位置随塑性区的 发展而移动,最终：At=Ac
S
S
S
弹性
S
部分塑性 完全塑性
B
D
C
F
αα
A F
例1：已知E、A、α、σs，材料为 理想弹性塑性。求Fs、Fu
1. 变形协调的几何关系 l1 l2 l3 cos
B
1
D
3
C
2.物理关系(设AB、AC杆长为l)
FN1 α
α
FN3 A F
2
FN2
FN 1l FN 3l cos l1 l2 , l3 EA EA
F
2. 由静力平衡方程
FCG 2FDH 3F 6 3 FDH F FCG F 5 5 5 FS S A 3、屈服荷载 6
Fu
s A 2 s A
3
sA
§11-3 圆杆扭转时的极限分析
T T
一、极限扭矩
τ
1. 理想弹塑性模型 τs γ 2. 塑性（屈服）扭矩
3. 由静力平衡方程
FN 1 FN 2
F FN 3 2 cos
B
1
D
3
C
2
αα
F FN 3 l FN 3l cos cos 2 cos EA EA
l2 l3
l1
FN 3
F 1 2cos3
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2cos3
对实心圆轴
τs
Mxe Mxe
M xu 4M xs 4 s WP 3WP 3
*
τ*
s
s /3
τ* τs 完全屈服时
s /3
s
残余应力
卸载
残余应力：自成平衡Mxe=0;最大切应力为τs.
§11-4 梁的极限分析
一、纯弯曲梁的极限弯矩
1. 弹性—理想塑性模型 σs ε
σ
2. 屈服弯矩
应变无限增大；
σs ε
c). 拉伸和压缩时:σst＝ σsc, Et=Ec； d). σ＝ σs后卸载，材料仍服从胡克定律。 σ
A B
σS
O
ε σS C
结构的极限状态与极限荷载：
结构由于塑性变形成为几何可变体系时，则称结 构达到了极限状态。
极限荷载：结构进入极限状态时的荷载Fu
极限荷载法：以杆件或杆系破坏时的荷载——极限荷载 为依据建立强度条件，进行强度计算的方法。
FN s dA
At
Ac
dA 0
s
Ac
At Ac
S
h Ac At b z
Mu
At
y s dA y s dA
s ydA ydA s St S c Ac At