离散化

离散化探究

@潘帕斯雄鹰

离散的题目在OI界还是占有一定地位的，而很多的离散化题目有很大程度上是贪心，也有很多是动态规划。离散是将数据经过关键字排序后以NP类问题处理。离散化是程序设计中一个非常常用的技巧，它可以有效的降低时间复杂度。其基本思想就是在众多可能的情况中“只考虑我需要用的值”。离散化可以改进一个低效的算法，甚至实现根本不可能实现的算法。要掌握这个思想，必须从大量的题目中理解此方法的特点。下面我从易到难选择了一些题目，希望对大家有所帮助。

离散化的定义如下：把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以此提高算法的时空效率。

其基本思想很简单，就是当输入数据的范围是无限空间，或者输入数据有很大量重复时，可以作一映射，从输入的无限空间到逻辑上的有限、有序的空间、同时避免重复。

声明：由于noip2005第二题river有很多版本的题解，故不在此篇中进行讲解。

本文章中有某些非原创部分，版权属于原作者。

锻炼计划(exercise.pas) noip普及组难度

身体是革命的本钱，OIers不要因为紧张的学习和整天在电脑前而忽视了健康问题。小x设计了自己的锻炼计划，但他不知道这个计划是否可行，换句话说如果计划不当可能会让他的体力超支，所以小x请你帮助他。

一天有1440分钟，所以小x列出的是这一整天第1至第1440分钟的计划。小x的体力用一个整数来表示，他会按照计划表进行锻炼，同时，每分钟小x的体力会自动增加1。如果某一分钟末小x的体力小于等于零，那么可怜的小x就累死了……

输入(exercise.in)

第一行是用空格分开的两个整数n,m，分别表示小x的初始体力值和计划的项目数量。

从第二行开始的m行，每行描述一个锻炼项目：名称、开始时间a、结束时间b、每分钟耗费的体力(用空格分隔)，表示此项目从第a分钟初开始，第b分钟末结束。锻炼项目按照开始时间递增顺序给出，不会出现两个项目时间冲突的情况。

输出(exercise.out)

输出包括两行，如果计划可行，第一行输出"Accepted"，第二行输出这一天过后最后剩余的体力；否则在第一行输出"Runtime Error"，第二行输出在第几分钟累死。

样例

约定

0

0<=m<=500

所有中间值的绝对值不会超过2^31-1

每一个锻炼项目的名称不超过20个字符，其中不含空格。

题解：此题十分简单，来源为唐山OI 2005noip模拟赛的第一题，可以说是一个送分题目，如果每次查找开始锻炼最小的时刻，加上判断，复杂度为O(m^2)。但是如果我们对开始时间的大小进行关键字排序，那么可以说就把整天的计划全部映射在了一个数轴上，这样就实现了对数据的离散。然后再进行扫描，复杂度为O(mlogm+m)。从而在复杂度上进行了一个提升，当然，此题中数据范围较小，前者就可以AC。

program exercise;

const

success='Accepted';

failed='Runtime Error';

var

n,m,i,j:longint;

a:array[1..1440,1..2] of integer;

h,time:array[1..1440] of longint;

ch:char;

inf,outf:text;

procedure print1;

begin

assign(outf,'exercise.out');

rewrite(outf);

writeln(outf,failed);

writeln(outf,i);

close(outf);

end;

procedure init;

begin

assign(inf,'exercise.in');

reset(inf);

readln(inf,n,m);

for i:=1 to m do

begin

ch:='x';

while ch<>' ' do read(inf,ch);

readln(inf,a[i,1],a[i,2],h[i]);

end;

close(inf);

end;

procedure main;

begin

for i:=1 to m do

for j:=a[i,1] to a[i,2] do

time[j]:=h[i];

for i:=1 to 1440 do

if time[i]=0

then inc(n)

else

begin

inc(n);

n:=n-time[i];

if n<=0 then

begin

print1;

halt;

end;

end;

end;

procedure print;

begin

assign(outf,'exercise.out');

rewrite(outf);

writeln(outf,success);

writeln(outf,n);

close(outf);

end;

begin

init;

main;

print;

end.

火烧赤壁（vijos某次模拟赛题目noip2004校门口外的树加强版）略高于noip普及组难度

描述Description

曹操平定北方以后，公元208年，率领大军南下，进攻刘表。他的人马还没有到荆州，刘表已经病死。他的儿子刘琮听军声势浩大，吓破了胆，先派人求降了。

孙权任命周瑜为都督，拨给他三万水军，叫他同刘备协力抵抗曹操。

隆冬的十一月，天气突然回暖，刮起了东南风。

没想到东吴船队离开北岸大约二里距离，前面十条大船突然同时起火。火借风势，风助火威。十条火船，好比十条火龙一样，闯进曹军水寨。那里的船舰，都挤在一起，又躲不开，很快地都烧起来。一眨眼工夫，已经烧成一片火海。

曹操气急败坏的把你找来，要你钻入火海把连环线上着火的船只的长度统计出来！

输入格式Input Format

第一行：N

以后N行，每行两个数：Ai Bi(表示连环线上着火船只的起始位置和终点,-10^9<=Ai,Bi<=10^9)

输出格式Output Format

输出着火船只的总长度