拓扑习题

1、设

{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为{,}T X φ=

2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为{,,{},{}}T X a b φ=

3、同胚的拓扑空间所共有的性质拓扑不变性质

4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是R

5、

)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有({})U A x φ⋂-≠ 6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A =X

7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A =X

8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A =X

9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A =X

10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为{2}

11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为{1}

12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为{1}

13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为φ

14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为{,}T X φ=

15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=

16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为{3}

17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为{1}

18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个嵌入

19、

:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个商映射.

20、设

,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个开映射

21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个闭映射 22若拓扑空间

X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个不连通空间

23若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个不连通空间

24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间

25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集 26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质

27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质

28、若任意

1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X L ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯L 也具有性质P ，则性质P 称为有限可积性质 29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ，使得A B X ⋃=则称X 是一个不连通空间

30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足第一可数性公理

31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足第二可数性公理

32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为可遗传性质

33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个稠密子集

34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间

35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个Lindel Öff 空间

36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为对于开子空间可遗传性质

37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为对于闭子空间可遗传性质

38、设X 是一个拓扑空间，如果X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点

则称X 是一个0T 空间;

39、设X 是一个拓扑空间，如果X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另

一点则称X 是一个1T 空间;

40设X 是一个拓扑空间若X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交则称X 是一个2T 空间。

41、正则的1T 空间称为3T 空间；

42、正规的1T 空间称为4T 空间

43、完全正则的1T 空间称为 3.5T 空间或Tychonoff 空间

三1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射(对)：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（

,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.

2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑(错)：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，

∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则

21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而Y U ∈T ’U ∈T 1, Y U ∈T ’U ∈T 2,故Y U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２

；综上有