大学物理 第五章 刚体定轴转动
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自由摆下与杆端相碰撞，结果杆所获得
l
答案：COSθ=11/12
的最大摆角为 ，求小球最初被拉开的 3 1 2 角度 （细杆绕轴的转动惯量： ml ） 3
例 题 14
14、如图所示，滑轮转动惯量为0.5kg· m2，半径为0.3m,
物体质量为60kg，由绳与倔强系数k=2000N/m的弹簧相
刚体作为特殊的质点系。系统（包括刚体）只有保守内力
1 作功时，机械能守恒。刚体的动能为 E k J 2 ，势能 2 为 E mgh （ h 是刚体质心的位置高度） c p c
例题1
1、定轴转动的刚体运动学方程为 2t 3 5 （SI）， t 1s 时刚体上距转轴0.1m处这点的加速度的大 小是[ ].
例 题 11
12、如图所示，长为L 0.40m，质量为M 1.0kg的均匀 细棒，可绕上端的光滑水平轴0在竖直面内转动 J 1 ML2 3 ( ) 开始，棒竖直悬垂。今有一质量 m 0.008kg 的子弹以v 200m / s 的速度从 A 点水平射入 并停在棒中，A点与0点的距离为 d 3 L 求： 。
J mi ri2或J r 2dm
i
转动定律： 刚体所受的对于某一固定轴的合外力矩等 于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此力 矩作用下所获得的角加速度的乘积。 即：
M J
定轴转动的角动量守恒定律： 系统（包括刚体）所受的对某一固定轴的合外力
矩为零，此系统对轴的转动角动量不变。
当 M z 0 时，Lz 恒量 对于刚体， Lz J
为 k，求 m1下落的加速度和两段 绳子中的张力 T , T 各是多少？设
1 2
绳子和滑轮间无相对滑动，滑轮 轴受的摩擦力忽略不计。
例题8
8、两个物体A、B的质量分别为
m1 , m2 m2 m1 ，
1
分别系于两条绳上，这两绳又分别绕在半径为 r 、r2 ，
r
2
r1 并且装于同一轴的两个鼓轮上，如图所示。
第五章
刚体定轴转动 教学基本要求 基本概念
例题分析
第五章 刚体定轴转动 一、教学基本要求:
本章主要介绍了刚体定轴转动的转动定律及角动量守 恒定律的应用。 1、理解刚体定轴转动的转动定律 .
2、了解转动惯量的概念 .
3、理解刚体定轴转动情况下的角动量守恒定律。
二、基本概念
转动惯量： 表明刚体转动惯性大小的量度。
s。
例题3
3、花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始两臂
伸开，转动惯量为 J ，角速度为 ；然后两手臂收拢， 0 0 2 使其转动惯量变为 ；则转动角速度为 [ ]。 J0 3 2 3 0 0 (A) (B) 3 2 (C)
0
(D)
1 0 3
例题4
4、转台绕竖直固定光滑轴转动，每10秒转一周，转
2 台对轴的转动惯量为1200kg m，质量为 80kg的人，
开始时站在台的中心，随后沿半径向外跑去，当人 距转台中心 2m 时，转台的角速度为______rad/s。
J 00 0.496rad / s 2 J 0 mr
例题5
5、半径 R 的飞轮可绕过其中心且垂直于轮面的水平
轴转动，飞轮绕以细绳，绳末端悬一质量为m 物体，
它的速度是多大，（２）物体能沿斜
面下滑的最大距离是多少？ ( 300 )
v 2.15m / s
L 3.16m
擦系数为 ，物体滑动S 距离后静止，
求棒与物体碰撞后，棒的中点离地面的
最高距离为多少？
例 题 13
13、长为 l ，质量为 m 的均匀细杆可绕通过其上端的光滑
固定轴o转动，另一质量亦为 m 的小球也用长为 l 的轻绳
系于上述o轴上，如图所示。
o
开始时杆静止在竖直位置，现将小球在 l
竖直的平面内拉开一定角度，然后使其
2(m2 m1 ) g 8题： 2 2 (m1 m1 )r1 (m2 m2 )r2
例题9
9、如图所示，质量为m，长为l的均匀细杆，可绕一端 1 光滑的水平轴在竖直面内转动（ J ml 2），求(1)杆 3 o 从水平位置摆下角 ( < 90 ) 时的角速度（分别用转动 定律和机械能守恒定律求解）？（2）细杆的长度缩小 一半时，角速度的大小如何变化？
2
(A) 3.6m / s
(B) 3.8m / s
2
(C) 1.2m / s
2
2 2 . 2 m / s (D)
s
例题2
2、飞轮的转动惯量为 J ,在 飞轮经历制动过程，阻力矩 M与角速度 成正比且反
J t ln 3 _________ k
t 0 时角速度为 0
3
，此后
向 M k ，即 (k 0 )；当 0 时，经历时间为
测得物体下落的加速度为 a ，假定轮轴的摩擦力矩为
常数M r ，求轮的转动惯量？
R
R 答案： J [mR ( g a ) M r ] a
m
a
例题6
6、如图所示，轻绳跨过半径为R具有水平光滑轴、质量 为M的定滑轮；绳的两端分别悬有质量为m1和m2物体 (m1<m2)，绳与轮之间无相对滑动，滑轮轴处的摩擦不 计；设开始时系统静止，求滑轮的角加速度α及物体的 加速度a ？
0
例 题 10
10、唱机的转盘绕着通过盘心的固定竖直轴转动，唱片放
上去后将受盘的摩擦力作用而随盘转动；唱片半径为 R , 1 质量为 m ，转动惯量为 mR 2 ，唱片与转盘之间的 2 摩擦系数为 ，转盘原来以角速度 0 匀速转动，（1） 唱片刚放上去时所受到的摩擦力矩多大？（2）唱片达到 角速度 0 时需多长时间？（3）在这段时间内，转盘保 持角速度 0 不变，驱动力矩共做了多少功？（4）唱片 获得了多大动能？
( m2 m1 ) g M ( m1 m2 ) R 2
( m2 m1 ) g a M ( m1 m2 ) 2
M
R
m1
m2
例题7
7、如图所示，两物体质量分别为 m1 , m2 ，定滑轮的质量
为m 已知 m2与桌面间的滑动摩擦系数
1 ，半径为 r ，可视为均匀圆盘，转动惯量J mr 2 , 2
重物在重力作用下运动。设绳子的质量
及轴与鼓轮间的摩擦均可忽略不计。如
果小轮质量为 m '1，大轮质量为 m ' 2 ，试
求同轴鼓轮的角加速度。
7题： a
m1 m2 m m1 m2 2
g
m (1 k )m1 k 2 m g T2 2 m m1 m 2 2
m (1 k )m 2 2 mg T1 1 m m1 m 2 2
连，若绳与滑轮间无相对滑动，
滑轮轴上的摩擦忽略不计，假设
开始使物体静止而弹簧无伸长。
求：ห้องสมุดไป่ตู้体下落h=0.4m时的速率
是多大。
v 18.6m / s
例 题 15
15、如图所示，滑轮绕轴的转动惯量0.5kg· m2，半径
r=30cm，弹簧的劲度系数k=2N/m，重物的质量m=2.0kg。
此滑轮－重物系统从静止开始启动，开始时弹簧没有伸长 如果忽略所有摩擦，问：（１）物体沿斜面下滑１m时，
4
（1）子弹停在棒中时子弹与棒的角速度 ？ （2）棒的最大偏转角 ？ 8.89rad/s; 94018’
例 题 12
12、一均匀细棒长为 L ，质量为m，可绕过一端O的水平轴 线在铅直面内转动。棒被拉到水平位置轻轻放开，当它落 在铅直位置时，与地面上一静止的物体相碰（如图示）， 若物体的质量也为m，物体与地面间的摩
l
答案：COSθ=11/12
的最大摆角为 ，求小球最初被拉开的 3 1 2 角度 （细杆绕轴的转动惯量： ml ） 3
例 题 14
14、如图所示，滑轮转动惯量为0.5kg· m2，半径为0.3m,
物体质量为60kg，由绳与倔强系数k=2000N/m的弹簧相
刚体作为特殊的质点系。系统（包括刚体）只有保守内力
1 作功时，机械能守恒。刚体的动能为 E k J 2 ，势能 2 为 E mgh （ h 是刚体质心的位置高度） c p c
例题1
1、定轴转动的刚体运动学方程为 2t 3 5 （SI）， t 1s 时刚体上距转轴0.1m处这点的加速度的大 小是[ ].
例 题 11
12、如图所示，长为L 0.40m，质量为M 1.0kg的均匀 细棒，可绕上端的光滑水平轴0在竖直面内转动 J 1 ML2 3 ( ) 开始，棒竖直悬垂。今有一质量 m 0.008kg 的子弹以v 200m / s 的速度从 A 点水平射入 并停在棒中，A点与0点的距离为 d 3 L 求： 。
J mi ri2或J r 2dm
i
转动定律： 刚体所受的对于某一固定轴的合外力矩等 于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此力 矩作用下所获得的角加速度的乘积。 即：
M J
定轴转动的角动量守恒定律： 系统（包括刚体）所受的对某一固定轴的合外力
矩为零，此系统对轴的转动角动量不变。
当 M z 0 时，Lz 恒量 对于刚体， Lz J
为 k，求 m1下落的加速度和两段 绳子中的张力 T , T 各是多少？设
1 2
绳子和滑轮间无相对滑动，滑轮 轴受的摩擦力忽略不计。
例题8
8、两个物体A、B的质量分别为
m1 , m2 m2 m1 ，
1
分别系于两条绳上，这两绳又分别绕在半径为 r 、r2 ，
r
2
r1 并且装于同一轴的两个鼓轮上，如图所示。
第五章
刚体定轴转动 教学基本要求 基本概念
例题分析
第五章 刚体定轴转动 一、教学基本要求:
本章主要介绍了刚体定轴转动的转动定律及角动量守 恒定律的应用。 1、理解刚体定轴转动的转动定律 .
2、了解转动惯量的概念 .
3、理解刚体定轴转动情况下的角动量守恒定律。
二、基本概念
转动惯量： 表明刚体转动惯性大小的量度。
s。
例题3
3、花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始两臂
伸开，转动惯量为 J ，角速度为 ；然后两手臂收拢， 0 0 2 使其转动惯量变为 ；则转动角速度为 [ ]。 J0 3 2 3 0 0 (A) (B) 3 2 (C)
0
(D)
1 0 3
例题4
4、转台绕竖直固定光滑轴转动，每10秒转一周，转
2 台对轴的转动惯量为1200kg m，质量为 80kg的人，
开始时站在台的中心，随后沿半径向外跑去，当人 距转台中心 2m 时，转台的角速度为______rad/s。
J 00 0.496rad / s 2 J 0 mr
例题5
5、半径 R 的飞轮可绕过其中心且垂直于轮面的水平
轴转动，飞轮绕以细绳，绳末端悬一质量为m 物体，
它的速度是多大，（２）物体能沿斜
面下滑的最大距离是多少？ ( 300 )
v 2.15m / s
L 3.16m
擦系数为 ，物体滑动S 距离后静止，
求棒与物体碰撞后，棒的中点离地面的
最高距离为多少？
例 题 13
13、长为 l ，质量为 m 的均匀细杆可绕通过其上端的光滑
固定轴o转动，另一质量亦为 m 的小球也用长为 l 的轻绳
系于上述o轴上，如图所示。
o
开始时杆静止在竖直位置，现将小球在 l
竖直的平面内拉开一定角度，然后使其
2(m2 m1 ) g 8题： 2 2 (m1 m1 )r1 (m2 m2 )r2
例题9
9、如图所示，质量为m，长为l的均匀细杆，可绕一端 1 光滑的水平轴在竖直面内转动（ J ml 2），求(1)杆 3 o 从水平位置摆下角 ( < 90 ) 时的角速度（分别用转动 定律和机械能守恒定律求解）？（2）细杆的长度缩小 一半时，角速度的大小如何变化？
2
(A) 3.6m / s
(B) 3.8m / s
2
(C) 1.2m / s
2
2 2 . 2 m / s (D)
s
例题2
2、飞轮的转动惯量为 J ,在 飞轮经历制动过程，阻力矩 M与角速度 成正比且反
J t ln 3 _________ k
t 0 时角速度为 0
3
，此后
向 M k ，即 (k 0 )；当 0 时，经历时间为
测得物体下落的加速度为 a ，假定轮轴的摩擦力矩为
常数M r ，求轮的转动惯量？
R
R 答案： J [mR ( g a ) M r ] a
m
a
例题6
6、如图所示，轻绳跨过半径为R具有水平光滑轴、质量 为M的定滑轮；绳的两端分别悬有质量为m1和m2物体 (m1<m2)，绳与轮之间无相对滑动，滑轮轴处的摩擦不 计；设开始时系统静止，求滑轮的角加速度α及物体的 加速度a ？
0
例 题 10
10、唱机的转盘绕着通过盘心的固定竖直轴转动，唱片放
上去后将受盘的摩擦力作用而随盘转动；唱片半径为 R , 1 质量为 m ，转动惯量为 mR 2 ，唱片与转盘之间的 2 摩擦系数为 ，转盘原来以角速度 0 匀速转动，（1） 唱片刚放上去时所受到的摩擦力矩多大？（2）唱片达到 角速度 0 时需多长时间？（3）在这段时间内，转盘保 持角速度 0 不变，驱动力矩共做了多少功？（4）唱片 获得了多大动能？
( m2 m1 ) g M ( m1 m2 ) R 2
( m2 m1 ) g a M ( m1 m2 ) 2
M
R
m1
m2
例题7
7、如图所示，两物体质量分别为 m1 , m2 ，定滑轮的质量
为m 已知 m2与桌面间的滑动摩擦系数
1 ，半径为 r ，可视为均匀圆盘，转动惯量J mr 2 , 2
重物在重力作用下运动。设绳子的质量
及轴与鼓轮间的摩擦均可忽略不计。如
果小轮质量为 m '1，大轮质量为 m ' 2 ，试
求同轴鼓轮的角加速度。
7题： a
m1 m2 m m1 m2 2
g
m (1 k )m1 k 2 m g T2 2 m m1 m 2 2
m (1 k )m 2 2 mg T1 1 m m1 m 2 2
连，若绳与滑轮间无相对滑动，
滑轮轴上的摩擦忽略不计，假设
开始使物体静止而弹簧无伸长。
求：ห้องสมุดไป่ตู้体下落h=0.4m时的速率
是多大。
v 18.6m / s
例 题 15
15、如图所示，滑轮绕轴的转动惯量0.5kg· m2，半径
r=30cm，弹簧的劲度系数k=2N/m，重物的质量m=2.0kg。
此滑轮－重物系统从静止开始启动，开始时弹簧没有伸长 如果忽略所有摩擦，问：（１）物体沿斜面下滑１m时，
4
（1）子弹停在棒中时子弹与棒的角速度 ？ （2）棒的最大偏转角 ？ 8.89rad/s; 94018’
例 题 12
12、一均匀细棒长为 L ，质量为m，可绕过一端O的水平轴 线在铅直面内转动。棒被拉到水平位置轻轻放开，当它落 在铅直位置时，与地面上一静止的物体相碰（如图示）， 若物体的质量也为m，物体与地面间的摩