第4讲 动力学、动量和能量观点在电学中的应用

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在电磁感应中用动量定理求变力的时间、速度、位移和电荷量，一般应用于 单杆切割磁感线运动。 (1)求速度或电荷量：B－IlΔt＝mv2－mv1，q＝－It。 (2)求时间：FΔt－B－IlΔt＝mv2－mv1，B－IlΔt＝BlΔRΦ总 。
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方法感悟 应用动量和能量观点解决双导体棒电磁感应问题的技巧
图4
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A.杆的速度最大为（F－mBg2dsi2n θ）R B.流过电阻 R 的电荷量为RB＋dLr C.恒力 F 做的功与杆所受重力做的功之和等于杆动能的变化量 D.恒力 F 做的功与安培力做的功之和大于杆动能的变化量
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解析 当杆达到最大速度 vm 时，对杆进行受力分析，沿斜面方向，有 F＝mgsin θ ＋BR2d＋2vrm，则 vm＝（F－mgsiBn2θd）2 （R＋r），选项 A 错误；由 E＝ΔΔΦt 、I＝R＋E r、 q＝IΔt，可得 q＝RΔ＋Φr＝RB＋ΔSr＝RB＋dLr，选项 B 正确；在杆从开始运动至达到最大速 度的过程中，由动能定理得 WF＋WG＋W 安＝ΔEk，其中 WG＝－mgLsin θ，W 安＝ －Q，恒力 F 做的功与杆所受重力做的功之和等于杆动能的变化量与回路中产生的 焦耳热之和，选项 C 错误；恒力 F 做的功与安培力做的功之和等于杆动能的变化 量与克服重力做的功之和，选项 D 正确。 答案 BD
间距为d，其底端接有阻值为R的电阻，整个装置处在垂直斜面向上、磁感应强度 大小为B的匀强磁场中。一质量为m(质量分布均匀)的导体杆ab垂直于导轨放置， 且与两导轨保持良好接触。现杆在沿斜面向上、垂直于杆的恒力F作用下从静止开 始沿导轨运动距离L时，速度恰好达到最大(运动过程中杆始终与导轨保持垂直)。 设杆接入电路的电阻为r，导轨电阻不计，重力加速度大小为g。则此过程中( )
1.问题特点 对于双导体棒运动的问题，通常是两棒与导轨构成一个闭合回路，当其中一棒 在外力作用下获得一定速度时必然在磁场中切割磁感线，在该闭合电路中形成 一定的感应电流；另一根导体棒在磁场中通过时在安培力的作用下开始运动， 一旦运动起来也将切割磁感线产生一定的感应电动势，对原来电流的变化起阻 碍作用． 2.方法技巧 解决此类问题时通常将两棒视为一个整体，于是相互作用的安培力是系统的内 力，这个变力将不影响整体的动量守恒．因此解题的突破口是巧妙选择系统， 运用动量守恒(动量定理)和功能关系求解．
题组阶梯突破 1．两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平v面内，两导轨间的距离为L.导轨 上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图v所0 示．两根导体棒的质量皆为m，
电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强
磁场，磁感应强度为B.设两导体棒均可沿导轨无摩擦地E滑ab=行B．L34开v0始时，棒cd静止， 棒ab有垂直指向棒cd的初速度v0(见图)．若两导体棒在运动中始终不接E触cd=，B求L：v′
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命题角度二 电磁感应中的动量和能量问题 【例2】 (多选)(2019·枣庄二模)如图5所示，两根足够长的平行
光滑金属导轨固定在同一水平面内，两导轨间的距离为L； 导轨上面垂直于导轨横放着两根相距x0的导体棒ab、cd，两 导体棒与导轨构成矩形闭合回路。两导体棒的质量均为m、 电阻均为R，回路中其余部分的电阻忽略不计。整个装置处 于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。开始 时，cd棒静止，ab棒的速度大小为v0、方向指向cd棒。若两 导体棒在运动过程中始终不接触，选水平向右的方向为正方 向，则在运动过程中( )
解得 t＝23 s 对两球 xA＝v1t＋12at2 xB＝v2t，Δx＝xB－xA＝2 m。 答案 (1)－2 m/s 4 m/s (2)2 m
11
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1
命题点二
电磁感应中的动量和能量问题
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命题角度一 电磁感应中的能量问题 【例1】 (多选)如图4所示，固定在倾角为θ的斜面上的两根平行长直光滑金属导轨的
12mv0 2＝12mv1 2＋12·2mv2 2 联立解得 v1＝－13v0＝－2 m/s v2＝23v0＝4 m/s。
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(2)A、B两球碰撞后A球弹回，向左做匀减速直线运动，B球向右做匀速直线运动， A球速度减小到零后反向向右做匀加速直线运动，当二者速度相同时，距离最远。 设从碰撞到共速经历的时间为t 对 A 球 a＝qmE＝9 m/s2 v2＝v1＋at
题眼② (2)整个过程中回路释放的电能是多少？
题眼③ (3)若已知a、b杆的电阻之比Ra∶Rb＝3∶4，其余部分的电阻不计，整个过程中杆a、 b上产生的热量分别是多少？
分析
规范解答
第4讲 动力学、动量和能量观点在电学中的应用
内容索引
命题点一
电场中的动量和能量问题
命题点二
电磁感应中的动量和能量问题
电场中的功能关系电势能变化的情况 1.电场力做功的计算方法及电势能变化的情况 2.用功能关系分析带电粒子的运动 （1）只有电场力做功，则电势能和动能之和保持不变 （2）只有重力和电场力做功，则电势能、动能、重力势能之和保持不变。 （3）除重力做功以外，其它力做功代数和等于粒子机械能的变化量 （4）合力做功的功，等于粒子动能的变化量
功能关系和动量守恒在电磁感应中的应用
命题点一
电场中的动量和能量问题
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1.(2019·锦州二模)如图 2 所示，在一个倾角 θ＝30°的斜面上建立 x 轴，O 为坐标 原点，在 x 轴正向空间有一个匀强电场，场强大小 E＝4.5×106 N/C，方向与 x 轴正方向相同，在 O 处放一个电荷量 q＝5.0×10－6 C、质量 m＝1 kg 带负电的绝 缘物块。物块与斜面间的动摩擦因数 μ＝ 23，沿 x 轴正方向给物块一个初速度 v0＝5 m/s，如图所示。(g 取 10 m/s2)求：
(1)在运动中产生的焦题耳眼热①的最大值；
0
t
题(眼2)②当ab棒的速度变为初速度的34时，cd棒的加速度大小．
分析 规范解答
2．如图所示，金属杆a从离地h高处由静止开始沿光滑平行的弧形轨道下滑，轨道的 水平部分有竖直向上的匀强磁场B，水平轨道上原来放有一金属杆b，已知a杆的质量 题眼① 为m1，且与b杆的质量m2之比为m1∶m2＝3∶4，水平轨道足够长，不计摩擦，求： (1)a和b的最终速度分别是多大？
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图5
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A.ab 棒产生的焦耳热最多为34mv0 2 B.安培力对 cd 棒的冲量最多为12mv0 C.通过 ab 棒某一横截面的电荷量最多为2mBvL0 D.ab 棒与 cd 棒间的最终距离为 x0－mBv2L0R2
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解析 从开始到最终稳定的过程中，两棒总动量守恒，取向右为正方向，根据动量 守恒定律得 mv0＝2mv，ab 棒产生的焦耳热最多为 Q＝12Q 总＝12×12mv0 2－12·2mv2＝ 18mv0 2，故 A 错误；安培力对 cd 棒的冲量最多为 I＝Δp＝mv－0＝12mv0，故 B 正确； 对 ab 棒，由动量定理可得－FΔt＝12mv0－mv0，所以有 BILΔt＝12mv0，通过 ab 棒某 一横截面的电荷量最多为 q＝IΔt＝2mBvL0，故 C 正确；由于通过 ab 棒某一横截面的电 荷量最多为 q＝Δ2ΦR ＝B2LRx，则有 x＝mBv2L0R2 ，ab 棒与 cd 棒间的最终距离为 s＝x0－x ＝x0－mBv2L0R2 ，故 D 正确。 答案 BCD
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代入数据解得x＝0.4 m 因摩擦产生的热量 Q＝μmgcos θ(2xm＋x) 代入数据解得Q＝10.5 J。 答案 (1)0.5 m (2)10.5 J
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2.如图3所示，一足够长的光滑绝缘水平面上方存在着水平向右的匀强电场，电场强 度E＝3×103 V/m。一质量m＝1 kg、电荷量q＝＋3×10－3 C的弹性小球A由静止释 放。距离A右侧x＝2 m处静置一大小与A相同、质量为2m的不带电的弹性绝缘小球 B。经过一段时间，两球发生弹性正碰(碰撞时间极短，碰撞过程中电荷不发生转 移)，空气阻力不计。求：
图2
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命题点一
电场中的动量和能量问题
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1.(2019·锦州二模)如图 2 所示，在一个倾角 θ＝30°的斜面上建立 x 轴，O 为坐标 原点，在 x 轴正向空间有一个匀强电场，场强大小 E＝4.5×106 N/C，方向与 x 轴正方向相同，在 O 处放一个电荷量 q＝5.0×10－6 C、质量 m＝1 kg 带负电的绝 缘物块。物块与斜面间的动摩擦因数 μ＝ 23，沿 x 轴正方向给物块一个初速度 v0＝5 m/s，如图所示。(g 取 10 m/s2)求：
图3 (1)小球A、B第一次碰后瞬间的速度v1、v2； (2)两球第一次碰撞后到第二次碰撞前的最大距离Δx。
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解析 (1)以电场方向为正方向，假设球A在与球B碰前瞬间的速度为v0 根据动能定理有 qEx＝12mv0 2，得 v0＝6 m/s A、B两球碰撞瞬间动量守恒、机械能守恒 有mv0＝mv1＋2mv2
图2
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(1)物块沿斜面向下运动的最大距离； (2)物块最终停止时系统因摩擦产生的热量。 解析 (1)设物块向下运动的最大距离为xm，由动能定理得 mgsin θ·xm－μmgcos θ·xm－qExm＝0－12mv0 2 代入数据解得xm＝0.5 m。 (2)因qE＞mgsin θ＋μmgcos θ，mgsin θ＜μmgcos θ，物块不可能停止在x轴正向， 设物块最终停在x轴负向且离O点为x处，整个过程电场力做功为零，由动能定理得 －mgxsin θ－μmgcos θ(2xm＋x)＝0－12mv0 2