模糊控制数学模型

⎩⎨

⎧∉∈=A

x 0,A x ,1)(x A

μ=)(x A λ

χλ≥)(x A λ

<)(x A 第二章 模糊控制的数学基础

模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。 2.1集合与关系

集合的概念

具有特定属性的对象的全体，称为集合。例如： “湖南大学的学生”可以作为一个集合。集合通常用大写字母A ，B ，……，Z 来表示。 集合的特征函数表示方法

集合的表示方法在初等数学中，已经给出。例如:列举法、表征法、描述法、文氏图法等，现给出另一种表示方法:特征函数法。

设x 为论域X 中的元素， A 为论域X 中定义的一个集合，则x 和A 的关系可以用集合A 的特征函数来表示。它的值域是{0，1}，它表示元素x 是否属于集合A 。如果x 属于集合A ，那么的值为1；如果x 不属于集合A ，那么的值为0。

即 2.2模糊集合与普通集合的联系

当我们处理实际问题的某个时刻，要对模糊概念有个明确的认识与判决时，要判断某个元素对模糊集的明确归属，这就要求模糊集与普通集合可以依某种法则相互转换。

模糊集合的截集，分解定理描述了模糊集合和普通集合之间的关系。 2.2.1水平截集的定义

给定一个模糊集合A ，由对于A 的隶属度大于某一水平值λ的元素组成的集合，叫做该模糊集合的λ水平截集，那么模糊集合A 就变成了普通集合λA 。 设)(X F A ∈，任取∈λ[0，1]，记}A(x):X {x A λλ≥∈=，称λA 为A 的λ 截集，其中λ称为阈值或置信水平。当λ1≠时，}A(x):X {x A λλ≥∈=+

,称+

λA

为A 的λ的强截集。

而λA 是X 对于A 的隶属度大于λ的元素集合。λA 的特征函数为：

1

n

n A A A x x x x x x A )()()(2

21

1μμμ+

++

=

2.2.2分解定理

分解定理说明,任何一个模糊集可由一类普通集合套来表示

设A 是普通集合，∈λ[0，1]，做数量积运算，得到一个特殊的模糊集A λ，其隶属度函数为)(x A λμ=

分解定理:设A 为论域X 上的模糊集合，λA 是A 的截集，则有λλλA A ]

1,0[∈=

2.3模糊集合

2.3.1模糊集合的概念

定义:设X 是论域,X 上的一个实值函数用A μ来表示,即]1,0[:→X A μ。对于 )(,x X x A μ∈称为x 对A 的隶属度函数。

论域X 上的模糊子集由隶属函数)(x A μ来表征，)(x A μ取值范围为闭区间[0，1]，)(x A μ的大小反映了μ对模糊子集A 的从属程度。)(x A μ的值接近于1，表示μ从属于A 的程度很高；)(x A μ的值接近于0，表示μ从属于A 的程度很低。 2.3.2模糊集合的表示方法 (1)Zadeh 表示法 给定有限论域},,,{21n x x x X =A 为X 上的模糊集合，

其中 不表示分数,而是论域中的元素i x 与其隶属度)(i x A 之间的对应关系。“+”号簿表示求和，而是表示各项汇总，表示集合概念。若0=i μ,式中可略去该项。 (2)向量表示法

当论域X 为有限点集,即

,,{21x x x X =即)}(),(),({21n A A A x x x A μμμ =,其中(i A x μi

i

x μλ

A x ∈A

x ∉=

)(x A λχ)

(x A λμ与)(x A λχ的关系

)(x A λμ6

图

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨⎧

=))(,,))(,)),(,2211

n A n A A

x x x x x x A μμμ（，（（ ⎩⎨

⎧∉∈=A

x 0,A x ,1)(x A μ省略。 (3)序偶表示法

当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶的形式表

示为： (4)隶属函数描述法

论域X 上的模糊子集可以完全由其隶属函数表示, 2.3.3模糊集合的运算

设A 、B 为X 中的两个模糊集，隶属函数分别为)()(x x B A μμ和，则模糊集A 和B 的并集、交集和补集的运算可通过它们的隶属函数来定义。

(1)交集

(2)并集

(3)补集 2.3.4模糊运算的性质 （1）幂等律

（2）交换律

（3）结合律

（4）分配率

（5）吸收率

（6）同一律

（7）复原率

(8) 对偶率

)

()()(x x x B A

B

A μμμ∧= )

()()(x x x B A B A μμμ∨= )

(1)(x x A A

c

μμ-=

⎥

⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤⎢⎢

⎢

⎢⎢

⎣

⎡=),()

,(),(),()

,(),(),(),()

,(212221212111n m R m R m R n R R R n R R R y x y x y x y x y x y x y x y x y x R μμμμμμμμμ

2.4模糊关系与模糊关系合成 2.4.1模糊关系的定义

假设x 是论域U 中的元素，y 是论域V 中的元素，则U 到V 的一个模糊关系是指定义在V U ⨯的一个模糊子集R,其隶属度]1,0[),(∈y x R μ,代表x 和y 对于该模糊关系的关联程度。模糊关系常常用矩阵的形式来描述。假设x ∈U ，y ∈V ，则U 到V 的模糊关系可以用矩阵描述为

2.4.2模糊关系的运算

假设R 和S 是论域上U ×V 的两个模糊关系，分别描述为 ·

那么，模糊关系的运算规则可描述如下 ：

模糊关系的相等： 模糊关系的包含：

模糊关系的并：

模糊关系的交：

模糊关系的补：

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=r r r r r r r r r R mn m m n n ...

::::......~

2

1

22221

11211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

s s

s s s

s s

s s

S mn m m n n

...

::::......~

2

1

222

21

11211ij

ij s r S R =⇔=~~ij ij s r S R ≥⇔⊇~

~⎥

⎥

⎥⎦⎤

⎢

⎢⎢⎣⎡∨∨∨∨=s r s r s r s

r S R mn

mn m m n n

11

111111

~~⎥

⎥

⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎣⎡∧∧∧∧=s r s r s r s

r S R mn

mn m m n n

11

111111

~~⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----=mn m n r r r r R 11111

111

~