2真值表等值式

等值演算在计算机硬件设计，开关理论和电子元 器件中都占据重要地位。
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五、 ，与 ，间的区别
， 是联结词 ， 是逻辑符号，表明公式的取值情况。
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第二讲 真值表、等值演算
主要内容
一、真值表及其作用
二、重言式与矛盾式的定义和相关结论
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三、等值式的概念及其常用等值式
四、公式等值演算与置换规则
五、 ，与 ， 间的区别
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一、真值表及其作用
定义1 将命题公式A在所有赋值下取值的情况列成 表, 称作A的真值表. 例 写出下列公式的真值表, 并求它们的成真赋值和 成假赋值: (1) (pq) r (2) (qp) qp (3) (pq) q
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等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r 等值 p q r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 qr 1 1 0 1 1 1 0 1 p(qr) 1 1 1 1 1 1 0 1 pq 0 0 0 0 0 0 1 1 不等值 (pq)r 1 1 1 1 1 1 0 1
注意：重言式是可满足式，但反之不真.
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二、重言式与矛盾式
定理1 任意两个重言式的合取（或析取）仍然是重 言式。 定理2 一个重言式，对同一个命题变元均用任何公 式置换，其结果仍然是重言式。
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三、等值式及其基本等值式
定义1 若等价式AB是重言式，则称A与B等值（逻 辑相等），记作AB，并称AB是等值式。 定理２.1 AB为重言式，当且仅当A、B具有相同 的真值表。
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等值演算的应用举例
证明两个公式不等值
例3 证明 p(qr) 与 (pq)r 不等值
证 方法一 真值表法, 见例1(2)
方法二 观察法. 观察到000, 010是左边的成真 赋值，是右边的成假赋值 方法三 先用等值演算化简公式，然后再观察 p(qr) pqr (pq)r (pq)r(pq)r 更容易看出前面的两个赋值分别是左边的成真 赋值和右边的成假赋值
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判断公式类型
(2) (pq)(qp) (pq)(qp) （蕴涵等值式） (pq)(pq) （交换律） 1 重言式 (3) ((pq)(pq))r) (p(qq))r （分配律） p1r （排中律） pr （同一律） 可满足式，101和111是成真赋值，000和010等是成假赋值.
真值表2
(2) B＝(qp)qp
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
qp 1 0 1 1
(qp)q 0 0 0 1
(qp)qp 1 1 1 1
成真赋值:00,01,10,11; 无成假赋值
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真值表3
(3) C＝ (pq)q的真值表
p q 0 0 1 1 0 1 0 1
p 1 1 0 0
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(2) p(qr) 与 (pq) r
基本等值式
⑴ 双重否定律 AA ⑵ 幂等律 A∧AA A∨AA ⑶ 交换律 A∧BB∧A A∨BB∨A ⑷ 结合律 A∨(B∨C)(A∨B)∨C A∧(B∧C)(A∧B)∧C ⑸分配律 A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C) A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C) (6)德摩根律 (A∨B)A∧B (A∧B)A∨B (7) 吸收律 A∨(A∧B)A A∧(A∨B)A (8) 零律 A∨11 A∧00 (9) 同一律 A∧1A A∨0A
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真值表1
(1) A = (pq) r p q r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 pq 0 0 1 1 1 1 1 1 r 1 0 1 0 1 0 1 0 (pq)r 1 1 1 0 1 0 1 0
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成真赋值:000,001,010,100,110; 成假赋值:011,101,111
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等值演算的应用举例 （一）证明两个公式等值
例2 证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr) p(qr) （蕴涵等值式，置换规则） (pq)r （结合律，置换规则） (pq)r （德摩根律，置换规则） (pq)r （蕴涵等值式，置换规则） 今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值
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等值演算的应用举例
（二）判断公式类型: A为矛盾式当且仅当A 0 A为重言式当且仅当A 1
例4 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) (2) (pq)(qp) (3) ((pq)(pq))r) 解 (1) q(pq) q(pq) （蕴涵等值式） q(pq) （德摩根律） p(qq) （交换律，结合律） p0 （矛盾律） 0 （零律） 矛盾式
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四、公式等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式 的过程 2. 等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则 3. 置换规则 设 (A) 是含公式 A 的命题公式，(B) 是用公式 B 置换(A) 中所有的 A 后得到的命题公式 若 BA，则 (B)(A)
pq (pq) 1 1 0 1 0 0 1 0
(pq)q 0 0 0 0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
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真值表的作用:
求出公式的全部成真赋值与成假赋值, 区别不同 公式间的关联，判断公式的类型。
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二、重言式与矛盾式
定义1 设A为任一命题公式， (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或 永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或 永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
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基本等值式
(10)排中律 (11)矛盾律 A∨A1 A∧A0 互补律
(12)蕴含等值式 ABA∨B (13)等价等值式 AB (AB)∧(BA) AB (A∨B)∧(A∨B) AB (A∧B)∨(A∧B ) (14)假言易位 ABBA (15)等价否定等值式 AB A B (16)归谬论 (A B) ∧(A B) A 特别提示：牢记这16组等值式是继续学习的基础