高中数学 考前归纳总结 导数中的探索性问题
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导数中的探索性问题
一、常见基本题型:
(1)探索图像的交点个数问题,可转化方程解的个数求解,
例1、 已知函数32()3f x x ax x =--,
(1)若13
x =-是()f x 的极值点,求()f x 在[1,]a 上的最大值;
(2)在(1)的条件下,是否存在实数b ,使得函数()g x bx =的图像与函数()f x 的图象恰有3个交点?若存在,请求出实数b 的取值范围;若不存在,试说 明理由。 解:(1)因为13x =-是()f x 的极值点,所以,'1()0,4,3
f a -=∴='
()0f x =由
得:13,3
x =-,在区间[1,4]上, ()f x 在(1,3)单调减在(3,4)单调增, 且(1)6,(4)12,f f =-=-所以,max ()(1)6f x f ==- (2) 设32
()()()43F x f x g x x x x bx =-=---,由题意可得()F x 有三个零点, 又由于0是()F x 的一个零点,所以,只要再有两个零点且都不相同即可; 因此,方程2430x x b ---=有两个不等实根且无零根, 所以,2(4)4(3)0,30b b ⎧-++>⎨+≠⎩
所以,存在实数b 使得函数()g x bx =的图像与函数()f x 的图象恰有3个交
点,7b >-且3b ≠-.
(2)探索函数的零点个数问题 例2.已知函数21()2,()ln 2
f x ax x
g x x =
+=,是否存在正实数a ,使得函数 ()()g x x x Γ=-()21f x a '++在区间1(,)e e 内有两个不同的零点?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:ln ()(2)21x x ax a x
Γ=-+++, 因()x Γ在区间1(,)e e
内有两个不同的零点,所以()0x Γ=, 即方程2(12)0ax a x lnx +--=在区间1(,)e e 内有两个不同的实根 设
2()(12)H x ax a x lnx =+-- (0)x >,
1()2(12)H x ax a x '=+--22(12)1(21)(1)ax a x ax x x x +--+-==
令()0H x '=,因为a 为正数,解得1x =或12x a
=-(舍) 当1(,1)x e ∈时, ()0H x '<, ()H x 是减函数;
当(1,)x e ∈时, ()0H x '>,()H x 是增函数.
为满足题意,只需()H x 在1
(,)e e
内有两个不相等的零点, 故 min 1()0()(1)0()0H e H x H H e ⎧>⎪⎪=<⎨⎪>⎪⎩
, 解得
1212-+< 例3.若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足: ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+,则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”. 已知2()h x x =,()2ln x e x ϕ=(其中e 为自然对数的底数). (1)求()()()F x h x x ϕ=-的极值; (2) 函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在, 请说明理由. 解:(1) ()()()F x h x x ϕ=-=22ln (0)x e x x ->, 22()()()2e x e x e F x x x -+'∴=-= 当x e =()0F x '=. 当0x e <<()0F x '<,此时函数()F x 递减; 当x e > ()0F x '>,此时函数()F x 递增; ∴当x e =()F x 取极小值,其极小值为0. (2)由(1)可知函数)(x h 和)(x ϕ的图象在e x = 处有公共点, 则2()()e e e x G x e x '=-=, 当x e =()0G x '=. 当0x e <<()0G x '>,此时函数()G x 递增; 当x e > ()0G x '<,此时函数()G x 递减; ∴当x e =()G x 取极大值,其极大值为0. 从而()2ln 0G x e x e =-+≤,即)0(2)(>-≤x e x e x ϕ恒成立. ∴函数()h x 和()x ϕ 存在唯一的隔离直线y e =-. 二、针对性练习 1. 设函数2()22ln(1)f x x x x =+-+. (1)求函数()f x 的单调区间; (2)当1[1,1]x e e ∈--时,是否存在整数m ,使不等式22 ()2m f x m m e <≤-++恒 成立?若存在,求整数m 的值;若不存在,请说明理由。 解:(1)由10x +>得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞, ()()'2222211 x x f x x x x +=+- =++。 由()'0f x >得0>x ;由()'0f x <得01<<-x , ∴函数()f x 的递增区间是()0,+∞;递减区间是()1,0-。 (2)由(1)知,()f x 在1[1,0]e -上递减,在[]1,0-e 上递增。 ∴min ()(0)0f x f == 又∵211(1)1f e e -=+,()213 f e e -=-,且22131e e ->+, ∴1[1,1]x e e ∈--时,()2max 3f x e =-。 ∵不等式()222m f x m m e <≤-++恒成立, ∴22max min 2()()m m e f x m f x ⎧-++≥⎨<⎩, 即22222323000 m m e e m m m m ⎧⎧-++≥---≤⇒⇒⎨⎨<<⎩⎩ 13100m m m -≤≤⎧⇒-≤<⎨<⎩ ∵m 是整数,∴1m =-。 ∴存在整数m ,使不等式()222m f x m m e <≤-++恒成立。 2. 已知定义在R 上的二次函数c bx ax x R ++=2 )(满足022)()(=--x R x R ,且)(x R 的 最小值为0,函数nx x h 1)(=,又函数)()()(x R x h x f -=。 (I )求)(x f 的单调区间; (II )若二次函数)(x R 图象过(4,2)点,对于给定的函数)(x f 图象上的点A (11,y x ), 当2 31=x 时,探求函数)(x f 图象上是否存在点B (22,y x )(22>x ),使A 、B 连线平行于x 轴,并说明理由。(参考数据:e=2.71828…)