高中数学 考前归纳总结 导数中的探索性问题

导数中的探索性问题

一、常见基本题型：

(1)探索图像的交点个数问题，可转化方程解的个数求解，

例1、 已知函数32()3f x x ax x =--,

(1)若13

x =-是()f x 的极值点，求()f x 在[1,]a 上的最大值；

（2）在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x bx =的图像与函数()f x 的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说 明理由。 解:（1）因为13x =-是()f x 的极值点,所以,'1()0,4,3

f a -=∴='

()0f x =由

得:13,3

x =-,在区间[1,4]上, ()f x 在(1,3)单调减在(3,4)单调增, 且(1)6,(4)12,f f =-=-所以,max ()(1)6f x f ==- (2) 设32

()()()43F x f x g x x x x bx =-=---,由题意可得()F x 有三个零点, 又由于0是()F x 的一个零点,所以,只要再有两个零点且都不相同即可; 因此,方程2430x x b ---=有两个不等实根且无零根, 所以,2(4)4(3)0,30b b ⎧-++>⎨+≠⎩

所以,存在实数b 使得函数()g x bx =的图像与函数()f x 的图象恰有3个交

点,7b >-且3b ≠-.

（2）探索函数的零点个数问题 例2.已知函数21()2,()ln 2

f x ax x

g x x =

+=，是否存在正实数a ，使得函数 ()()g x x x Γ=-()21f x a '++在区间1(,)e e 内有两个不同的零点？若存在，请求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：ln ()(2)21x x ax a x

Γ=-+++， 因()x Γ在区间1(,)e e

内有两个不同的零点,所以()0x Γ=， 即方程2(12)0ax a x lnx +--=在区间1(,)e e 内有两个不同的实根 设

2()(12)H x ax a x lnx =+-- (0)x >，

1()2(12)H x ax a x '=+--22(12)1(21)(1)ax a x ax x x x +--+-==

令()0H x '=，因为a 为正数，解得1x =或12x a

=-（舍） 当1(,1)x e ∈时, ()0H x '<, ()H x 是减函数；

当(1,)x e ∈时, ()0H x '>，()H x 是增函数.

为满足题意，只需()H x 在1

(,)e e

内有两个不相等的零点, 故 min 1()0()(1)0()0H e H x H H e ⎧>⎪⎪=<⎨⎪>⎪⎩

, 解得

1212-+<

例3.若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”． 已知2()h x x =，()2ln x e x ϕ=（其中e 为自然对数的底数）．

(1)求()()()F x h x x ϕ=-的极值；

(2) 函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在， 请说明理由．

解：(1) ()()()F x h x x ϕ=-=22ln (0)x e x x ->， 22()()()2e x e x e F x x x -+'∴=-= 当x e =()0F x '=．

当0x e <<()0F x '<，此时函数()F x 递减；

当x e >

()0F x '>，此时函数()F x 递增； ∴当x e =()F x 取极小值，其极小值为0．

(2)由（1）可知函数)(x h 和)(x ϕ的图象在e x =

处有公共点， 则2()()e e e x G x e x

'=-=， 当x e =()0G x '=．

当0x e <<()0G x '>，此时函数()G x 递增；

当x e >

()0G x '<，此时函数()G x 递减； ∴当x e =()G x 取极大值，其极大值为0．

从而()2ln 0G x e x e =-+≤，即)0(2)(>-≤x e x e x ϕ恒成立．

∴函数()h x 和()x ϕ

存在唯一的隔离直线y e =-．

二、针对性练习

1. 设函数2()22ln(1)f x x x x =+-+.

(1)求函数()f x 的单调区间；

(2)当1[1,1]x e e ∈--时,是否存在整数m ，使不等式22

()2m f x m m e <≤-++恒 成立？若存在，求整数m 的值；若不存在，请说明理由。

解：(1)由10x +>得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞， ()()'2222211

x x f x x x x +=+-

=++。 由()'0f x >得0>x ；由()'0f x <得01<<-x ， ∴函数()f x 的递增区间是()0,+∞；递减区间是()1,0-。

(2)由(1)知,()f x 在1[1,0]e -上递减,在[]1,0-e 上递增。

∴min ()(0)0f x f ==

又∵211(1)1f e

e -=+，()213

f e e -=-，且22131e e

->+, ∴1[1,1]x e e

∈--时,()2max 3f x e =-。 ∵不等式()222m f x m m e <≤-++恒成立, ∴22max min

2()()m m e f x m f x ⎧-++≥⎨<⎩，

即22222323000

m m e e m m m m ⎧⎧-++≥---≤⇒⇒⎨⎨<<⎩⎩

13100m m m -≤≤⎧⇒-≤<⎨<⎩

∵m 是整数，∴1m =-。

∴存在整数m ，使不等式()222m f x m m e <≤-++恒成立。

2. 已知定义在R 上的二次函数c bx ax x R ++=2

)(满足022)()(=--x R x R ，且)(x R 的 最小值为0，函数nx x h 1)(=，又函数)()()(x R x h x f -=。

（I ）求)(x f 的单调区间；

（II ）若二次函数)(x R 图象过（4，2）点，对于给定的函数)(x f 图象上的点A （11,y x ）， 当2

31=x 时，探求函数)(x f 图象上是否存在点B （22,y x ）（22>x ），使A 、B 连线平行于x 轴，并说明理由。（参考数据：e=2.71828…）