(完整版)相似三角形分析动态平衡问题

知识点考纲要求题型分值牛顿运动定律的应用会用相似三角形解决动态平衡问题选择题6分
二、重难点提示
相似关系的寻找。

动态平衡问题还有一类处理方法是使用相似三角形法。

选定研究对象后，倘若物体受三个力作用而平衡，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化转化为三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例题1 如图所示，杆BC的B端铰接在竖直墙上，另一端C为一滑轮，重力为G的重物上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡，若将绳的A端沿墙向下移，再使之平衡（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则（）
A. 绳的拉力增大，BC杆受压力增大
B. 绳的拉力不变，BC杆受压力增大
C. 绳的拉力不变，BC杆受压力减小
D. 绳的拉力不变，BC杆受压力不变
思路分析：（1）本题比较的是轻绳的A端移动前后的两个平衡状态，两个状态下，滑轮上所受三力均平衡；
（2）B 端是铰链，BC 杆可以自由转动，所以BC 杆受力必定沿杆；
（3）绳绕过滑轮，两段绳力相等，要保证合力沿杆（否则杆必转动），则杆必处于两绳所构成角的平分线上。

方法一：
选取滑轮为研究对象，对其受力分析，如图所示。

绳中的弹力大小相等，即T 1＝T 2＝G ，T 1、T 2、F 三力平衡，将三个力的示意图平移可以组成封闭三角形，如图中虚线所示，设AC
段绳子与竖直墙壁间的夹角为θ，则根据几何知识可得，杆对绳子的支持力F ＝2G sin θ
2，当
绳的A 端沿墙向下移时，θ增大，F 也增大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。

方法二：
图中，矢量三角形与几何三角形ABC 相似，因此
F
mg BC AB
，解得F ＝AB BC
·mg ，当绳的A 端沿墙向下移，再次平衡时，AB 长度变短，而BC 长度不变，F 变大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。

方法三：
将绳的A 端沿墙向下移，T 2大小和方向不变，T 1大小不变，但与T 2所夹锐角逐渐增大，再使之平衡时，画出两段绳子拉力与轻杆的弹力所构成的封闭三角形如图所示，显然F ′大于
F ，即轻杆的弹力变大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。

答案：B
例题2 （辽宁省实验中学模拟）如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一个光滑的小孔，质量为m 的小球套在圆环上，一根细线的下端拴着小球，上端穿过小孔用手拉住。

现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对线的拉力F 和轨道对小球的弹力N 的大小的变化情况是（ ）
A. F 大小将不变
B. F 大小将增大
C. N 大小将不变
D. N 大小将增大
思路分析：对小球受力分析，其受到竖直向下的重力G ，圆环对小球的弹力N 和线的拉力F 作用，小球处于平衡状态，G 大小方向恒定，N 和F 方向不断在变化，如图所示，可知矢量三角形AGF 1与长度三角形BOA 相似，得出：
AB
F OA N
OB G 1==，又因为在移动过程中，OA 与OB 的长度不变，而AB 长度变短，所以N 不变，F 1变小，即F 变小，故C 选项正确。

答案：C
【综合拓展】极限分析法解决动态平衡问题
运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，使某些量的变化抽象成无限大或无限小去思考解决实际问题的方法。

这种方法具有好懂、易学、省时、准确的特点。

示例：A、B两小球由轻杆相连，力F将小球B缓慢向左推进，试分析F的大小变化。

思路：利用极限法，要找到F出现极值的时刻。

可以直接从B 被推至竖直墙面时刻入手分析。

此时AB只受重力、支持力，水平方向上没有力的作用，故F大小为0。

这样就可以初步判断出F是逐渐变小的。

接着深入判断F是否会出现先变大后变小的情况即可。

三力平衡的解题技巧
其中一个力的大小方向都不变，另外一个力的方向不变，
第三个力的大小方向都在变化
其中一个力为恒力，
另两个力的大小和方向均发生变化
动态三角形法相似三角形法
满分训练：如图所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆MN上。

现用水平力F拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动。

在这一过程中，水平拉力F、环与杆的摩擦力F摩和环对杆的压力F N的变化情况是（）
A. F逐渐增大，F摩保持不变，F N逐渐增大
B. F逐渐增大，F摩逐渐增大，F N保持不变
C. F逐渐减小，F摩逐渐增大，F N逐渐减小
D. F逐渐减小，F摩逐渐减小，F N保持不变
思路分析：物体在3个力的作用下处于平衡状态，根据矢量三角形法，画出力的矢量三角形，如图所示。

其中，重力的大小和方向不变，力F的方向不变，绳子的拉力F T与竖直方向的夹角θ减小，由图可以看出，F随之减小，F摩也随之减小，故选项D正确。

答案：D
（答题时间：30分钟）
1. 如图所示，轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在木板上。

先将木板水平放置，并使弹簧处于拉伸状态，缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块P刚要沿木板向下滑动，在这个过程中，物块P所受静摩擦力的大小变化情况是（）
A. 先保持不变
B. 一直增大
C. 先增大后减小
D. 先减小后增大
2. 如图所示，在斜面上放两个光滑球A和B，两球的质量均为m，它们的半径分别是R
和r，球A左侧有一垂直于斜面的挡板P，两球沿斜面排列并处于静止状态，下列说法正确的是（）
A. 斜面倾角θ一定，R>r时，R越大，r越小，则B对斜面的压力越小
B. 斜面倾角θ一定，R＝r时，两球之间的弹力最小
C. 斜面倾角θ一定时，无论半径如何，A对挡板的压力一定
D. 半径一定时，随着斜面倾角θ逐渐增大，A受到挡板的作用力先增大后减小
3. 半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化的情况是（）
A. N变大，T变小
B. N变小，T变大
C. N变小，T先变小后变大
D. N不变，T变小
4. 竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A，在Q的正上方的P点用细线悬挂一质点B，
A、B两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成 角，由于漏电使A、B两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P的拉力T大小（）
A. T变小
B. T变大
C. T不变
D. T无法确定
5. 如图所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1。

现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小关系为（）
A. F1>F2
B. F1＝F2
C. F1<F2
D. 无法确定
6. 如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A。

现用力F 拉绳，开始时∠BCA＞90°，使∠BCA缓慢减小，直到杆BC接近竖直杆AC。

在此过程中，下列说法正确的是（）
A. 杆所受力大小不变
B. 杆所受力先减小后增大
C. 绳所受力逐渐减小
D. 绳所受力先增大后减小
7. （广东省汕头市期末）如图所示，运动员的双手握紧竖直放置的圆形器械，在手臂OA 沿水平方向缓慢移到A′位置过程中，若手臂OA、OB的拉力分别为F A和F B，下列表述正确的是（）
A. F A一定小于运动员的重力G
B. F A与F B的合力始终大小不变
C. F A的大小保持不变
D. F B的大小保持不变
8.（自贡高三月考）半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN。

在P与MN之间放一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止，如图所示。

若用外力使MN保持竖直，缓慢地向右移动，在Q到达地面以前，P始终保持静止，在此过程中，下列说法正确的是（）
A. MN对Q的弹力逐渐增大
B. 地面对P的摩擦力逐渐增大
C. P、Q间的弹力先减小后增大
D. Q所受的合力逐渐增大
9. 重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。

若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力大小F1、F2分别是如何变化的？
1. D 解析：本题考查共点力的动态平衡问题。

对物块进行受力分析可知，由于初始状态弹簧被拉伸，所以物块受到的摩擦力水平向左，当倾角逐渐增大时，物块所受重力在斜面方向的分力逐渐增大，所以摩擦力先逐渐减小，当弹力与重力的分力平衡时，摩擦力减为0；当倾角继续增大时，摩擦力向上逐渐增大，故选项D 正确。

2. BC 解析：先对A 、B 整体受力分析，整体受到三个力的作用，当斜面的倾角θ不变时，不管两球的半径如何变化，这三个力都不变，选项C 正确；斜面倾角θ逐渐增大时，采用极限的思维，A 受挡板的弹力最大为两者重力之和，则选项D 错误；然后采用隔离法对B 受力分析，B 受三个力，重力不变，斜面对B 的支持力方向不变，A 对B 的弹力方向和斜面的支持力垂直时，A 和B 之间的弹力最小，此时两球的半径相等，选项B 正确；斜面倾角θ一定，R >r 时，R 越大，r 越小，斜面对B 的弹力越大，选项A 错误。

3. D 解析：如图所示
对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图中小阴影三角形）。

由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力
T 的大小和方向，所以还要利用其他条件。

实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也
是一个动态的封闭三角形（图中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：
R
N
R h mg L T =+= 可得：mg R h L
T +=
运动过程中L 变小，T 变小。

R N mg h R
=+ 运动中各量均为定值，故支持力N 不变。

综上所述，正确答案为选项
D 。

4. C 解析：有漏电现象，AB F 减小，则漏电瞬间质点B 的静止状态被打破，必定向下运动。

对小球漏电前和漏电过程中进行受力分析如图所示。

由于漏电过程缓慢进行，则任意时刻均可视为平衡状态。

三力作用构成动态下的封闭三角形，而对应的实物质点A 、B 及绳墙和P 点构成动态封闭三角形，且有如下图所示不同位置时阴影三角形的相似情况。

则有相似比例：
AB
F
PB T PQ mg AB == 可得：mg PQ
PB T ⋅= 变化过程PB 、PQ 、mg 均为定值，所以T 不变。

正确答案为C 。

5. B 解析：以小球B 为研究对象，分析受力情况，由平衡条件可知，弹簧的弹力N 和绳子的拉力F 的合力F 合与重力mg 大小相等，方向相反，即F 合=mg ，作出力的合成力如图。

由三角形相似得
F F
OA OB
=合，又由题OA=OB=L ，得F=F 合=mg ，可见，绳子的拉力F 只与小球B 的重力有关，与弹簧的劲度系数k 关，所以得到F 1=F 2。

故选B 。

6. AC 解析：以结点B 为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图。

根据平衡条件知，F 、N 的合力F 合与G 大小相等、方向相反。

据三角形相似得
F F N AC AB BC
==合，又F 合=G 得AB F G AC =，BC N G AC
= 现使∠BCA 缓慢变小的过程中，AB 变小，而AC 、BC 不变，则得到F 变小，N 不变，所以绳子越来越不容易断，作用在BC 杆上的压力大小不变。

选项B 、D 错误，A 、C 正确。

7. B 解析：在手臂OA 沿水平方向缓慢移到A ′位置的过程中，人的受力情况如图所示：
由图可知F A 是逐渐减小的，但不一定小于运动员的重力，选项A 、C 错误；F B 是逐渐减小的，选项D 错误；F A 与F B 的合力始终等于人的重力，大小不变，选项B 正确。

8. AB 解析：以Q 为研究对象，受重力G Q 、P 对Q 的弹力F P 、M 板对Q 的弹力F 1的作用而平衡，如图所示：
当Q下移时，F P的方向顺时针偏转，由图可知，挡板的弹力逐渐增大（由图中F1变为F2），P对Q的弹力也逐渐增大（由图中AB1变为AB2），故选项A对，选项C错。

Q所受合力始终为零。

9. F1逐渐变小，F2先变小后变大。

（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）
解析：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。

应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由图可知，挡板逆时针转动90º的过程中，F2矢量也逆时针转动90º，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大。

（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）。