2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义:6.3等比数列

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当 n 为偶数时 ,S n 随 n 的增大而增大 , 所以 =S2≤Sn<1, 故 0>Sn- ≥ S2- = - =- .
综上 , 对于 n∈ N* , 总有 - ≤ Sn- ≤ .
所以数列 {T n} 最大项的值为 , 最小项的值为 - .
教师用书专用 (7 — 9)
7.(2013 福建 ,9,5 分) 已知等比数列 {a n} 的公比为 q, 记 b =a n m(n-1)+1 +am(n-1)+2 +…
+am(n-1)+m,c n=am(n-1)+1 · am(n-1)+2 ·…· am(n-1)+m(m,n ∈ N*), 则以下结论一定正确的是 (
)
A. 数列 {b n} 为等差数列 , 公差为 qm
所以双曲线 x2- =1 的离心率 en=
=
.
由 e2=
= , 解得 q= .
因为 1+q2(k-1) >q2(k-1) , 所以
>qk-1 (k ∈ N*).
于是 e1+e2+… +en>1+q+… +qn-1 = ,
故 e1+e2+… +en>
.
10.(2015 四川 ,16,12 分 ) 设数列 {a n}(n=1,2,3,
§ 6.3 等比数列 考纲解读
考点
1. 等比数 列的有关 概念及运 算
2. 等比数 列的性质 及应用
考纲内容
要求
1. 理解等比数列的概念 . 2. 掌握等比数列的通项公式与前 和公式 .
n 项 理解
1. 了解等比数列与指数函数的关系 . 2. 能利用等比数列前 n 项和公式及其 性质求一些特殊数列的和 . 3. 能运用数列的等比关系解决实际问 题.
(1) 若 2a2,a 3,a 2+2 成等差数列 , 求数列 {a n} 的通项公式 ;
(2) 设双曲线 x 2- =1 的离心率为 en, 且 e2= , 证明 :e 1+e2+… +en>
.
解析 (1) 由已知 ,S n+1=qSn+1,S n+2=qSn+1+1,
两式相减得到 an+2=qan+1,n ≥ 1.
是首项为 , 公比为 3 的等比数列 .
an + = , 因此 {a n} 的通项公式为 an= .
(2) 证明 : 由(1) 知 = .
因为当 n≥1 时 ,3 n-1 ≥2× 3n-1 , 所以

.
于是 + +… + ≤ 1+ +…+ =
<.
所以 + +… + < . 16.(2013 湖北 ,18,12 分 ) 已知等比数列 {a n} 满足 :|a 2-a 3|=10,a 1a2a3=125. (1) 求数列 {a n} 的通项公式 ;
分析解读
1. 考查等比数列的定义与判定 , 通项公式、前 n 项和的求解 , 等比数列的性质等知识 .
2. 等比数列与不等式结合的范围求解、大小比较、不等式证明是高考的热点
.
3. 预计 2019 年高考试题中 , 对等比数列的考查仍以概念、性质、通项、前
n 项和等基本量为主 , 以中
档题形式出现 .
=.
因此 {a n} 是首项为 , 公比为 的等比数列 , 于是 an= ·
.(6 分)
(2) 由 (1) 得 Sn=1-
.
由 S5= 得 1-
= ,即
=.
解得 λ =-1.(12 分 ) 9.(2016 四川 ,19,12 分 ) 已知数列 {a n} 的首项为 1,S n 为数列 {a n} 的前 n 项和 ,S n+1=qSn+1, 其中 q>0,n ∈N* .
4a5=a3, 于是 q2= = .
又 {a n} 不是递减数列且 a1= , 所以 q=- . 故等比数列 {a n} 的通项公式为 an= ×
=(-1) · n-1 .
(2) 由 (1) 得 Sn=1-
=
当 n 为奇数时 ,S n 随 n 的增大而减小 , 所以 1<Sn≤ S1= , 故 0<Sn- ≤ S1- = - = .
,
故 是首项为 , 公比为 的等比数列 ,
从而
=

若 an=(-5) ·(-1) , n-1
则 =- (-1) , n-1
< <1.
故 是首项为 - , 公比为 -1 的等比数列 ,
从而
=

<1.
综上 , 对任何正整数 m,总有
<1.
故不存在正整数 m,使得 + +…+ ≥ 1 成立 .
考点二 等比数列的性质及应用
答案 -8
4.(2017 江苏 ,9,5 分) 等比数列 {a n} 的各项均为实数 , 其前 n 项和为 Sn. 已知 S3= ,S 6= , 则 a8=
.
答案 32
5.(2016 课标全国Ⅰ ,15,5 分) 设等比数列 {a n} 满足 a1+a3=10,a 2+a4=5, 则 a1a2… an 的最大值为
(2) 是否存在正整数 m,使得 + +… + ≥1?若存在 , 求 m的最小值 ; 若不存在 , 说明理由 . 解析 (1) 设等比数列 {a n} 的公比为 q,
则由已知可得
解得

故 an= · 3n-1 , 或 an=-5 ·(-1) . n-1
(2) 若 an= · 3 , n-1 则 = ·
(2) 若 S5= , 求 λ . 解析 (1) 由题意得 a1=S1=1+λ a1,
故 λ ≠ 1,a 1= ,a 1≠ 0.(2 分 )
由 Sn=1+λ an,S n+1=1+λ an+1 得 an+1=λ an+1- λ an, 即 an+1( λ -1)= λ an. 由 a1≠ 0, λ ≠0 得 an≠ 0, 所以
an = 答案
. 3n-1
5.(2014 安徽 ,12,5 分) 数列 {a n} 是等差数列 , 若 a1+1,a 3+3,a 5+5 构成公比为 q 的等比数列 , 则 q=
.
答案 1
*
6.(2013 天津 ,19,14 分 ) 已知首项为 的等比数列 {a n} 不.是.递减数列 , 其前 n 项和为 Sn(n ∈ N), 且
.
答案 4 15.(2014 课标Ⅱ ,17,12 分 ) 已知数列 {a n} 满足 a1=1,a n+1=3an+1.
(1) 证明
是等比数列 , 并求 {a n} 的通项公式 ;
(2) 证明 + +… + < .
解析 (1) 由 an+1=3an+1 得 an+1+ =3
.
又 a1+ = , 所以
五年高考
考点一 等比数列的有关概念及运算
1.(2017 课标全国Ⅱ理 ,3,5 分 ) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题 : “远望巍巍塔七层 , 红光点 点倍加增 , 共灯三百八十一 , 请问尖头几盏灯 ?”意思是 : 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯 , 且相邻两层中的下一 层灯数是上一层灯数的 2 倍 , 则塔的顶层共有灯 ( ) A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 答案 B 2.(2014 重庆 ,2,5 分) 对任意等比数列 {a n}, 下列说法一定正确的是 ( )
A.a 1,a 3,a 9 成等比数列 B.a 2,a 3,a 6 成等比数列
C.a 2,a 4,a 8 成等比数列 D.a 3,a 6,a 9 成等比数列
答案 D
3.(2017 课标全国Ⅲ理 ,14,5 分 ) 设等比数列 {a n} 满足 a1+a2=-1,a 1 -a 3=-3, 则 a4=
.
(1) 求数列 {a n} 的通项公式 ;
… ) 的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a 1, 且 a1,a 2+1,a 3 成等差数列 .
(2) 设数列 的前 n 项和为 Tn, 求 Tn.
解析 (1) 由已知 Sn=2an-a 1, 有 an=Sn-S n-1=2an-2a n-1 (n ≥ 2), 即 an=2an-1 (n ≥ 2). 从而 a2=2a1,a 3=2a2=4a1. 又因为 a1,a 2+1,a 3 成等差数列 , 即 a1+a3=2(a 2+1). 所以 a1+4a1=2(2a 1+1), 解得 a1=2. 所以 , 数列 {a n} 是首项为 2, 公比为 2 的等比数列 . 故 an=2n.
.
答案 64
6.(2014 天津 ,11,5 分 ) 设 {a n } 是首项为 a1, 公差为 -1 的等差数列 ,S n 为其前 n 项和 . 若 S1,S 2,S 4 成等比数列 ,
则 a1 的值为
.
答案 -
7.(2017 课标全国Ⅰ文 ,17,12 分 ) 记 Sn 为等比数列 {a n} 的前 n 项和 . 已知 S2=2,S 3=-6. (1) 求 {a n} 的通项公式 ; (2) 求 Sn, 并判断 Sn+1,S n,S n+2 是否成等差数列 . 解析 本题考查等差、等比数列 .
1.(2015 课标Ⅱ ,4,5 分 ) 已知等比数列 {a n} 满足 a1=3,a 1+a3+a5=21, 则 a3+a5+a7=(
)
A.21 B.42 C.63 D.84
答案 B
2.(2014 大纲全国 ,10,5 分 ) 等比数列 {a n} 中 ,a 4=2,a 5=5, 则数列 {lga n} 的前 8 项和等于 (
(2) 由 (1) 得 = .
所以 Tn= + +… + =
=1- .
教师用书专用 (11 — 16)
11.(2013 江西 ,3,5 分 ) 等比数列 x,3x+3,6x+6, …的第四项等于 ( )
A.-24 B.0
C.12 D.24
答案 A
12.(2013 课标全国Ⅱ ,3,5 分) 等比数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn, 已知 S3=a2+10a1,a 5=9, 则 a1 =(
又由 S2=qS1+1 得到 a2=qa1,
故 an+1=qan 对所有 n≥ 1 都成立 .
所以 , 数列 {a n} 是首项为 1, 公比为 q 的等比数列 .
从而 an=qn-1 . 由 2a2 ,a 3,a 2+2 成等差数列 , 可得 2a3=3a2+2, 即 2q2=3q+2, 则(2q+1)(q-2)=0, 由已知 ,q>0, 故 q=2. 所以 an=2n-1 (n ∈ N* ). (2) 由 (1) 可知 ,a n=qn-1 .
S3 +a3,S 5+a5,S 4+a4 成等差数列 . (1) 求数列 {a n} 的通项公式 ;
(2) 设 Tn=Sn- (n ∈ N*), 求数列 {T n} 的最大项的值与最小项的值 .
解析 (1) 设等比数列 {a n} 的公比为 q, 因为 S3+a3,S 5+a5,S 4+a4 成等差数列 , 所以 S5+a5 -S3-a 3=S4+a4-S 5-a 5, 即
(1) 设 {a n} 的公比为 q, 由题设可得
解得 q=-2,a 1=-2. 故 {a n} 的通项公式为 an=(-2) n.
(2) 由 (1) 可得 Sn=
=- +(-1) n· .
由于 Sn+2+Sn+1=- +(-1) n·
=2
=2Sn,
故 Sn+1,S n,S n+2 成等差数列 . 8.(2016 课标全国Ⅲ ,17,12 分 ) 已知数列 {a n} 的前 n 项和 Sn=1+λ an, 其中 λ ≠ 0. (1) 证明 {a n} 是等比数列 , 并求其通项公式 ;
)
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 C
3.(2015 安徽 ,14,5 分 ) 已知数列 {a n} 是递增的等比数列 ,a 1+a4=9,a 2a3=8, 则数列 {a n} 的前 n 项和等

.
答案 2n-1
4.(2015 湖南 ,14,5 分 ) 设 Sn 为等比数列 {a n } 的前 n 项和 . 若 a1=1, 且 3S1,2S 2,S 3 成等差数列 , 则
掌握
2013
18(1 ), 6分
19( 文 ), 约3

浙江省五年高考统计
20ห้องสมุดไป่ตู้4
2015
2016
3,5 分
20(1),
18(1 10( 文 ),2 约 3 分
),

17(1)( 文
7 分 17( 文 ),
),
约 3分
约 4分
2017
22, 约 5 分
18(2 ), 7分
17(2)( 文 ),
约 4分
)
A. B.-
C. D.答案 C
13.(2013 江苏 ,14,5 分 ) 在正项等比数列 {a n} 中 ,a 5= ,a 6+a7=3. 则满足 a1+a2+… +an>a1 a2… an 的最大正整数 n
的值为
.
答案 12
14.(2014 江苏 ,7,5 分 ) 在各项均为正数的等比数列 {a n} 中 , 若 a2=1,a 8=a6+2a4, 则 a6 的值是
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