(完整)人教版高一数学必修一基本初等函数解析

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基本初等函数

一．【要点精讲】 1．指数与对数运算（1）根式的概念：

①定义：若一个数的n 次方等于),1(*

∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若

a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，

1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；

2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作

)0(>±a a n

②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n

n =；

3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)

0()

0(||a a a a a a n 。

（2）．幂的有关概念

①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n

( N *

；2）)0(10

≠=a a ；

n 个 3）∈=-p a

a p p

(1

Q ，4）m a a a n m n m

,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s

r s

r

,0(>=⋅+、∈s Q ）；

2）r a a

a s

r s

r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；

3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r

r

r ,0,0()( Q ）。（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

（3）．对数的概念

①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数

1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；

2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：

1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；

3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a N

a =log 。

③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N

M

a a a

log log log -=； 3）∈=n M n M a n

a (log log R ）

④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=

N m m a a a

N

N m m a

1）1log log =⋅a b b a ；2）b m

n

b a n a m log log =。 2．指数函数与对数函数（1）指数函数：

①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x

且称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；

3）当10<a 时函数为增函数。 ②函数图像：

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；

3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x

x

a y a y -==与的图象关于y 轴对称

③函数值的变化特征：

10<a

①100<<>y x 时， ②10==y x 时， ③10>

①10>>y x 时， ②10==y x 时， ③100<<

（2）对数函数：

①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ；

3）当10<a 时函数为增函数；

4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x

且互为反函数 ②函数图像：

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<a 时，图象向下无限接近y 轴）；

4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a

a 1log log ==与的图象关于x 轴对称。

③函数值的变化特征：

（3）幂函数 1）掌握5个幂函数的图像特点

2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数

3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）当a>0时过（0，0）

4）幂函数一定不经过第四象限

10<a ①01<>y x 时， ②01==y x 时， ③010><>y x 时，

0625.0])32.0()02.0()008.0()9

24251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=；（2）原式=

2()2()(])2()[(a a a a a

b a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷

点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。