高考数学三角函数的诱导公式总复习课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
sin
余弦 cos
sin cos
sin sin cos cos
2
cos sin
2
cos sin
正切 tan tan tan tan
口诀 函数名不变符号看象限
函数名改变 符号看象限
六组诱导公式的记忆口诀为:函数名不(改)变、
符号看象限.怎么看？就是把 看作锐角时， 原函数值的符号即为变化后的三角函数值的符号.
7
7
解析 sin(2 ) sin 4 ,sin 4 .
5
5
又 (3 ,2 ),cos 3 .
2
5
sin cos 1 . sin cos 7
6. 已知cos(5 ) 1 ,且 , 则cos( )等于
12
3
2
12
(D)
A.2 3
B.1
3
3
C. 1 3
∴asin +bcos =-3.
∴f(2 010)=asin(2 010 + )+bcos(2 010 + )
=asin +bcos =-3.
5. 已知sin(2 ) 4 , (3 ,2 ),则 sin cos 等于
5
2
sin cos
(A )
A.1
B. 1
C. 7
D .7
原式 sin(2n ) cos[(2n 1) ] sin[(2n 1) ]cos(2n )
sin( ) cos( ) sin( ) cos
sin ( cos ) 1; sin cos
当k 2n 1(n Z)时,
原式 sin[(2n 1) ] cos[(2n 11) ] sin[(2n 11) ] cos[(2n 1) ]
9.已知 sin 是方程5x2-7x-6=0的根, 是第三象限
角,则解由析s是inc(第o方s三(2程象235限x))角s2ci-on,7s((x223-6s=i)0n的) 两tan根253(为, cxo1s)531,96x542
.
,
2,
sin( 3 ) cos( 3 )
4.已知函数f(x)=asin( x+ )+bcos( x+ ),且
f(2 009)=3,则f(2 010)的值是
(C )
A.-1
B.-2
C.-3
D.1
解析 f(2 009)=asin(2 009 + )+ bcos(2 009 + )
=asin( + )+bcos( + )
=-asin -bcos =3.
B. 2 2
C. 3 2
解析 sin 585°=sin(360°+225°)=
D. 3 2
sin(180°+45°)= 2 .
2
2.若 、 终边关于y轴对称,则下列等式成立的是
（A）
A.sin =sin
B.cos =cos
C.tan =tan
D.sin =-sin
解析 方法一 ∵ 、 终边关于y轴对称，
基础自测
1.已知 cos( x) 3 , x ( ,2 ), 则tan x等于（D ）
5
A. 3
B. 4
C. 3
D.
4
3
4
3
解析 cos( x) cos x 3 ,
5
cos x 3 0. x ( , 3 ).
5
2
此时sin x 4 , tan x 4 ,故选 D.
5
3
tan sin
(2) cos( 3 ) sin ,
2
sin 1 , cos
52 12 2
6,
5
5
5
f ( ) 2 6.
5
题型三 三角恒等式的证明 【例3】 求证 : tan(2 ) sin(2 ) cos(6 ) tan .
cos( ) sin(5 )
2分
2
sin 2cos ,即tan 2.
5
sin 3 ( cos(5
) )
cos( 3sin(7
)
)
2
2
5 cos(2
sin3 )
cos 3sin(4
)
4分
2
2
sin3 5cos( )
cos 3sin(
)
2
2
sin3 cos sin2 tan 1 7分 5sin 3cos 5 tan 3
§4.2 三角函数的诱导公式
基础知识 自主学习
要点梳理
1.下列各角的终边与角 的终边的关系
角
2k (k Z)
图示
与角终 边的关系
相同
关于原点对称 关于x轴对称
角
2
2
图示
与角终 关于y轴 关于直线y=x
边的关系 对称
对称
2.六组诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 正弦
2k (k Z)
失误与防范
1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任 意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负 —脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定.
2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方,要 特别注意判断符号.
定时检测
一、选择题
1.（2009·全国Ⅰ文，1）sin 585°的值为( A )
A. 2 2
题型二 三角函数式的求值
【例2】 (12分)已知cos( ) 2sin( ).
2
2
求
5
sin 3 ( cos( 5
) )
cos( 3 sin( 7
)
)
的值.
2
2
思维启迪 化简已知条件
wenku.baidu.com
化简所求三角函数式,用已知表示
代入已知求解
解 cos( ) 2sin( ),
2
2
sin 2sin( ),
2 3
.
6
3
3
解析
sin(
2 3
)
sin
2
(
6
)
sin
2
(
6
)
cos(
6
)
2 3
.
题型分类 深度剖析
题型一 三角函数式的化简
【例1】 化简：sin(k ) cos[(k 1) ] (k∈Z). sin[(k 1) ]cos(k )
思维启迪 化简时注意观察题设中的角出现了k , 需讨论k是奇数还是偶数. 解 当k 2n(n Z)时,
3
3
3
cos 1 .
32
8.已知cos( ) 8 , ( , 3 ), 则 tan
17
2
15
8.
解析 cos ( ) cos 8 ,cos 8 .
17
17
又 ( , 3 ),sin 0.
2
sin 1 cos2 15 .
17
tan sin 15 . cos 8
cos x
(2)和积转换法:如利用 (sin cos )2 1 2sin cos 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换:
1
sin2
cos2
cos2 (1
tan2 )
sin2 (1
1
tan2
)
tan .
4
注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、
整式化.
3.证明三角恒等式的主要思路有：(1)左右互推法: 由较繁的一边向简单一边化简；(2)左右归一 法,使两端化异为同；把左右式都化为第三个 式子；(3)转化化归法:先将要证明的结论恒等 变形，再证明.
解
( tan ) cos[ ( )]sin( )
原式
2
cos( ) [ sin( )]
(
tan
) [
cos(
)]
sin(
2
)
( cos ) sin
tan cos ( cos ) tan cos
cos sin
sin
sin cos 1. cos sin
2sin2 1 2sin2 1 2sin2 (sin2 cos2 )
10 3
7
7(sin2 cos2 )
sin2 cos2 tan2 1 7(sin2 cos2 ) 7(tan2 1)
41 3 . 7 (4 1) 35
9分 12分
探究提(1高)诱导公式的使用将三角函数式中
C.0
解析 cos( 17 ) sin( 17 )
4
4
cos(4 ) sin(4 )
4
4
cos( ) sin( ) cos sin 2.
4
4
44
D. 2 2
4.若 sin
sin
cos cos
2, 则 sin(
5 ) sin(3
2
) 等于(
C)
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3
4
10
10
10
解析 由sin cos 2,可得 tan 3,
sin cos
sin( 5 )sin(3 )
2
(sin )( cos )
sin cos sin2 cos2
tan tan2
1
3 10
.
5. 已知cos( ) 2 ,则sin( 2 )
∴ + = +2k 或 + =- +2k ,k∈Z，
∴ =2k + - 或 =2k - - ,k∈Z, ∴sin =sin .
方法二 设角 终边上一点P（x，y）,则点P关
于y轴对称的点为P′(-x,y),且点P与点P′到原 点的距离相等设为r，则 sin sin y .
r
3.(2009·重庆文,6)下列关系式中正确的是( C ) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 解析 sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°, cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°. 由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°, 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.
sin( ) cos sin cos 1. sin cos( ) sin ( cos )
综上,原式 1.
探究提高 熟练应用诱导公式.诱导公式的应用 原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了.
知能迁移1
tan( ) cos(2 ) sin( 3 )
化简 :
2.
cos( ) sin( )
2.sin2 ( ) cos( ) cos( ) 1的值为( D )
A .1
B.2sin2
C.0
D.2
解析 原式 ( sin )2 ( cos ) cos 1
sin2 cos2 1 2.
3.cos( 17 ) sin( 17 )
4
4
的值是( A)
A. 2
B. 2
的角都化为单角. (2)弦切互化是本题的一个重要技巧,值得关注.
知能迁移2 已知f ( ) sin( ) cos(2 ) tan( ) ; tan( )sin( )
(1)化简f ( ); (2)若是第三象限角,且 cos( 3 ) 1 ,求f ( )的值.
25
解 (1) f ( ) sin cos ( tan ) cos .
思维启迪 观察被证式两端,左繁右简,可以从左 端入手,利用诱导公式进行化简,逐步地推向右边.
证明 左边 tan sin( ) cos( ) cos( ) sin( )
tan ( sin ) cos tan 右边 cos sin
原式得证. 探究提三高角恒等式的证明在高考大题中并不 多见,但在小题中,这种证明的思想方法还是常考的. 一般证明的思路为由繁到简或从两端到中间.
D. 2 2 3
解析
cos(
12
)
cos2
( 5
12
)
sin(5 ).
12
又 , 7 5 ,
2 12 12
12
sin( 5 ) 2 2 ,cos( ) 2 2 .
12
3
12
3
二、填空题 7. cos( 35 ) 的值是
3
1
2.
解析 cos( 35 ) cos 35 cos(12 )
sin 3 ( ) cos3 (3 )
知能迁移3 求证 : 2
2
sin(3 ) cos(4 )
sin(5 ) cos(3 ) 1.
2
2
证明 左边 cos3 ( sin )3 cos sin
sin cos
(cos sin )(cos2 cos sin sin2 ) cos sin cos sin
1 cos sin cos sin
1 右边. 原式成立.
思想方法 感悟提高
方法与技巧
同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是 变名、变式. 1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数
符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函 数值时，进行开方时要根据角的象限或范围， 判断符号后，正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化 简时，常用方法有：（1）弦切互化法主要利用 公式 tan x sin x 化成正弦、余弦函数；
余弦 cos
sin cos
sin sin cos cos
2
cos sin
2
cos sin
正切 tan tan tan tan
口诀 函数名不变符号看象限
函数名改变 符号看象限
六组诱导公式的记忆口诀为:函数名不(改)变、
符号看象限.怎么看？就是把 看作锐角时， 原函数值的符号即为变化后的三角函数值的符号.
7
7
解析 sin(2 ) sin 4 ,sin 4 .
5
5
又 (3 ,2 ),cos 3 .
2
5
sin cos 1 . sin cos 7
6. 已知cos(5 ) 1 ,且 , 则cos( )等于
12
3
2
12
(D)
A.2 3
B.1
3
3
C. 1 3
∴asin +bcos =-3.
∴f(2 010)=asin(2 010 + )+bcos(2 010 + )
=asin +bcos =-3.
5. 已知sin(2 ) 4 , (3 ,2 ),则 sin cos 等于
5
2
sin cos
(A )
A.1
B. 1
C. 7
D .7
原式 sin(2n ) cos[(2n 1) ] sin[(2n 1) ]cos(2n )
sin( ) cos( ) sin( ) cos
sin ( cos ) 1; sin cos
当k 2n 1(n Z)时,
原式 sin[(2n 1) ] cos[(2n 11) ] sin[(2n 11) ] cos[(2n 1) ]
9.已知 sin 是方程5x2-7x-6=0的根, 是第三象限
角,则解由析s是inc(第o方s三(2程象235限x))角s2ci-on,7s((x223-6s=i)0n的) 两tan根253(为, cxo1s)531,96x542
.
,
2,
sin( 3 ) cos( 3 )
4.已知函数f(x)=asin( x+ )+bcos( x+ ),且
f(2 009)=3,则f(2 010)的值是
(C )
A.-1
B.-2
C.-3
D.1
解析 f(2 009)=asin(2 009 + )+ bcos(2 009 + )
=asin( + )+bcos( + )
=-asin -bcos =3.
B. 2 2
C. 3 2
解析 sin 585°=sin(360°+225°)=
D. 3 2
sin(180°+45°)= 2 .
2
2.若 、 终边关于y轴对称,则下列等式成立的是
（A）
A.sin =sin
B.cos =cos
C.tan =tan
D.sin =-sin
解析 方法一 ∵ 、 终边关于y轴对称，
基础自测
1.已知 cos( x) 3 , x ( ,2 ), 则tan x等于（D ）
5
A. 3
B. 4
C. 3
D.
4
3
4
3
解析 cos( x) cos x 3 ,
5
cos x 3 0. x ( , 3 ).
5
2
此时sin x 4 , tan x 4 ,故选 D.
5
3
tan sin
(2) cos( 3 ) sin ,
2
sin 1 , cos
52 12 2
6,
5
5
5
f ( ) 2 6.
5
题型三 三角恒等式的证明 【例3】 求证 : tan(2 ) sin(2 ) cos(6 ) tan .
cos( ) sin(5 )
2分
2
sin 2cos ,即tan 2.
5
sin 3 ( cos(5
) )
cos( 3sin(7
)
)
2
2
5 cos(2
sin3 )
cos 3sin(4
)
4分
2
2
sin3 5cos( )
cos 3sin(
)
2
2
sin3 cos sin2 tan 1 7分 5sin 3cos 5 tan 3
§4.2 三角函数的诱导公式
基础知识 自主学习
要点梳理
1.下列各角的终边与角 的终边的关系
角
2k (k Z)
图示
与角终 边的关系
相同
关于原点对称 关于x轴对称
角
2
2
图示
与角终 关于y轴 关于直线y=x
边的关系 对称
对称
2.六组诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 正弦
2k (k Z)
失误与防范
1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任 意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负 —脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定.
2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方,要 特别注意判断符号.
定时检测
一、选择题
1.（2009·全国Ⅰ文，1）sin 585°的值为( A )
A. 2 2
题型二 三角函数式的求值
【例2】 (12分)已知cos( ) 2sin( ).
2
2
求
5
sin 3 ( cos( 5
) )
cos( 3 sin( 7
)
)
的值.
2
2
思维启迪 化简已知条件
wenku.baidu.com
化简所求三角函数式,用已知表示
代入已知求解
解 cos( ) 2sin( ),
2
2
sin 2sin( ),
2 3
.
6
3
3
解析
sin(
2 3
)
sin
2
(
6
)
sin
2
(
6
)
cos(
6
)
2 3
.
题型分类 深度剖析
题型一 三角函数式的化简
【例1】 化简：sin(k ) cos[(k 1) ] (k∈Z). sin[(k 1) ]cos(k )
思维启迪 化简时注意观察题设中的角出现了k , 需讨论k是奇数还是偶数. 解 当k 2n(n Z)时,
3
3
3
cos 1 .
32
8.已知cos( ) 8 , ( , 3 ), 则 tan
17
2
15
8.
解析 cos ( ) cos 8 ,cos 8 .
17
17
又 ( , 3 ),sin 0.
2
sin 1 cos2 15 .
17
tan sin 15 . cos 8
cos x
(2)和积转换法:如利用 (sin cos )2 1 2sin cos 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换:
1
sin2
cos2
cos2 (1
tan2 )
sin2 (1
1
tan2
)
tan .
4
注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、
整式化.
3.证明三角恒等式的主要思路有：(1)左右互推法: 由较繁的一边向简单一边化简；(2)左右归一 法,使两端化异为同；把左右式都化为第三个 式子；(3)转化化归法:先将要证明的结论恒等 变形，再证明.
解
( tan ) cos[ ( )]sin( )
原式
2
cos( ) [ sin( )]
(
tan
) [
cos(
)]
sin(
2
)
( cos ) sin
tan cos ( cos ) tan cos
cos sin
sin
sin cos 1. cos sin
2sin2 1 2sin2 1 2sin2 (sin2 cos2 )
10 3
7
7(sin2 cos2 )
sin2 cos2 tan2 1 7(sin2 cos2 ) 7(tan2 1)
41 3 . 7 (4 1) 35
9分 12分
探究提(1高)诱导公式的使用将三角函数式中
C.0
解析 cos( 17 ) sin( 17 )
4
4
cos(4 ) sin(4 )
4
4
cos( ) sin( ) cos sin 2.
4
4
44
D. 2 2
4.若 sin
sin
cos cos
2, 则 sin(
5 ) sin(3
2
) 等于(
C)
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3
4
10
10
10
解析 由sin cos 2,可得 tan 3,
sin cos
sin( 5 )sin(3 )
2
(sin )( cos )
sin cos sin2 cos2
tan tan2
1
3 10
.
5. 已知cos( ) 2 ,则sin( 2 )
∴ + = +2k 或 + =- +2k ,k∈Z，
∴ =2k + - 或 =2k - - ,k∈Z, ∴sin =sin .
方法二 设角 终边上一点P（x，y）,则点P关
于y轴对称的点为P′(-x,y),且点P与点P′到原 点的距离相等设为r，则 sin sin y .
r
3.(2009·重庆文,6)下列关系式中正确的是( C ) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 解析 sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°, cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°. 由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°, 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.
sin( ) cos sin cos 1. sin cos( ) sin ( cos )
综上,原式 1.
探究提高 熟练应用诱导公式.诱导公式的应用 原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了.
知能迁移1
tan( ) cos(2 ) sin( 3 )
化简 :
2.
cos( ) sin( )
2.sin2 ( ) cos( ) cos( ) 1的值为( D )
A .1
B.2sin2
C.0
D.2
解析 原式 ( sin )2 ( cos ) cos 1
sin2 cos2 1 2.
3.cos( 17 ) sin( 17 )
4
4
的值是( A)
A. 2
B. 2
的角都化为单角. (2)弦切互化是本题的一个重要技巧,值得关注.
知能迁移2 已知f ( ) sin( ) cos(2 ) tan( ) ; tan( )sin( )
(1)化简f ( ); (2)若是第三象限角,且 cos( 3 ) 1 ,求f ( )的值.
25
解 (1) f ( ) sin cos ( tan ) cos .
思维启迪 观察被证式两端,左繁右简,可以从左 端入手,利用诱导公式进行化简,逐步地推向右边.
证明 左边 tan sin( ) cos( ) cos( ) sin( )
tan ( sin ) cos tan 右边 cos sin
原式得证. 探究提三高角恒等式的证明在高考大题中并不 多见,但在小题中,这种证明的思想方法还是常考的. 一般证明的思路为由繁到简或从两端到中间.
D. 2 2 3
解析
cos(
12
)
cos2
( 5
12
)
sin(5 ).
12
又 , 7 5 ,
2 12 12
12
sin( 5 ) 2 2 ,cos( ) 2 2 .
12
3
12
3
二、填空题 7. cos( 35 ) 的值是
3
1
2.
解析 cos( 35 ) cos 35 cos(12 )
sin 3 ( ) cos3 (3 )
知能迁移3 求证 : 2
2
sin(3 ) cos(4 )
sin(5 ) cos(3 ) 1.
2
2
证明 左边 cos3 ( sin )3 cos sin
sin cos
(cos sin )(cos2 cos sin sin2 ) cos sin cos sin
1 cos sin cos sin
1 右边. 原式成立.
思想方法 感悟提高
方法与技巧
同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是 变名、变式. 1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数
符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函 数值时，进行开方时要根据角的象限或范围， 判断符号后，正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化 简时，常用方法有：（1）弦切互化法主要利用 公式 tan x sin x 化成正弦、余弦函数；