初中九年级数学 1.1锐角三角函数(1)

相等,则这两个锐角相等.
课堂聚焦
直 角 三 角 勾 股 弦, 比 值 随 着 锐 角 变. “弦”在零一“切”无限 , 函 数 思 想 记 心 间.
作业
1.必做题：书本作业题第6页(A 组)；作业本(1)1.1(1) 2.选做题：课外探索题.
课外探索 1：、在平面坐标系第一象限内是否存在点P，使得OP=4,
sinA=
A的对边 斜边
cosA=
A的邻边 斜边
tanA=
A的对边 A的邻边
那么∠B呢？
你能求出sinA与cosA的
0<sinA<1，0<cosA<1.
取值范围吗？
用一用
B
1.如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=12.
5
判断：（1）sinA=13（ √）
（2）tanB= （5
12
）×
C
A
“亿年河床，万顷碧波，千峰翠绿，百亩竹海， 十里古道，一片热土。”这是对文成国家重点风 景名胜区（包括峡谷景廊、百丈飞瀑、天顶湖、 朱阳九峰、刘基故里、龙麒源、铜铃山峡、岩门 大峡谷、双龙、飞云湖等十大景区）的景色的概
情景引入
为了测量文成千秋塔的高，在塔前方40m 处，用测角器测得塔的仰角为300，测角器高 1.7m，求此塔的高；
2
CF
D
B(铜岭山山顶)
当锐角为50°时，这个比值
G 南坡
还是一个确定的值吗？
C
HD
动手实验
已知一个50o的∠MAN,在边AM上任意取一点B，作 BC⊥AN于点C.用刻度尺先量出BC,AB的长度(精确到１毫 米),再计算 BC 的值(结果保留2个有效数字),并将所得
AB
的结果与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？
4
⑶以射线AB为始边任意作锐 角∠DAB，并求出它的正切
C
C
值；请组内比较，谁画出的
锐角的正切值最大？
A
α
B
5、如图，在△ABC中，若AB=5，BC=3，则下列结论正
确的是（ D ）
B
4 A．sinA= 5
C．sinA= 3
B．sinA=
3 5
５
D.以上结论都不正确 A
3 C
4
6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于D，
东坡
小强
C
D
小红在上山过程中，下列那些量是变量和常量(坡角 ，上升高度，所走路程)？
她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的 比值变化吗？小强呢?
(铜岭山山顶 ) H
西坡
30°
B 当锐角为30°时，上升高度
1
与所走路程的比值是 ．
2
A
D
B(铜岭山山顶)
C
E
东坡
当锐角为45°时，上升高度
与所走路程的比值是 2 ．
cosB = BC = 3 , AB 5
tanA = BC = 3 . AC 4
tanB = AC = 4 . BC 3
当∠A+∠B=90°时,
sinA=cosB, cosA=sinB, tanA·tanB=1.
用一用
4、⑴在如图所示的格点图中，请求出锐角α的三角 函数值;
⑵如图，请你以射线AB为始边作锐角∠CAB，使它 的正切值为3 ;
C
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
A百度文库
B
⑴ 若BC=8,AB=17,求sinA, cosA,tanA的值;
⑵ 若BC︰AB=1︰2 ,求sinA, cosA,tanA的值;
⑶ 若sinA=
解后语 ：
5 , 求sinB的值.
13
已知直角三角形中的两边或两边之比， 就能求出锐角三角函数值．
用一用
例1、如图:在Rt△ABC中,∠B=900, AC=200, sinA=0.6.求BC的长.
C
解：∵ ∠B=900
∴ sinA= BC =0.6
AC
∴BC=0.6AC=120
A
200
┌ B
例2、在Rt△ABC中，∠C为Rt∠ ，
求证：sin２A+cos2A=1
B
证明：∵∠C=Rt∠
∴sinA= BC ，cosA= AC
2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A 的三角函数,习惯省去“∠”号； 3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值.注意比的顺序, 且sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位. 4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关, 而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值
B
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠,若AB=5
，BC=3.
５ 3
(1)求∠A的正弦、余弦和正切的值； A (2)请求出∠B的正弦、余弦和正切的值.
C
(3)观察(1)(2)中的计算结果,你发现了什么?
sinA = BC = 3 , sinB = AC = 4 ,
AB 5
AB 5
cosA = AC = 4 , AB 5
三角测量在我国出现的很早．据记载，早在公元前两
千年，大禹就利用三角形的边角关系，来进行对山川地
势的测量．
A
C
感悟定义
比值 BC叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.
AB
BC
锐比角值 αAC叫的做正∠α弦的即，余sin弦余α(=c弦osiA和nBe)正，记切做统co称sα∠. α的三角函
AB
数（trigonm即etcorsiαc=
BC
AAfCBunction）
注比值意AC叫做∠α即的t正an切α(=tanBAgeCCnt) ，记做tanα.
：1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写
英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写．
2、sinα、 cosα、 tanα是一个完整的符号，单独
的“sin”没有意义.
如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有
2、如图, ∠ACB=90°CD⊥AB.求sinB；
C
┌
A
DB
3、在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
谈谈今天的收获
B
∠A的对边
sinA
斜边
斜边
∠A的对边 cosA
∠A的邻边 斜边
A
∠A的邻边
C
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
回味无穷
▪ 定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的, ∠A是 锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
值 BC , AC , BC都是一个确定的值，与点B在角的边
AB AB AC
上的位置无关，因此，比值 BC , AC , BC都是锐角α
的三角函数。
AB AB AC B
三角函数的由来
“三角学”一词，是由希腊文三角形与测量二词构成的
，原意是三角形的测量，也就是解三角形．后来范围逐
渐扩大，成为研究三角函数及其应用的一个数学分支．
若BD=2，BC=3．则sinA= 2 . 3
C
3
A
D2 B
7.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩
大100倍,sinA的值（ C ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
B
C.不变
D.不能确定
┌
A
C
8.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则sinA = sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A = ∠B.
B
文 成 千 秋 塔
A
α=30O
40米
C
1.7米
E
D
情景引入
为了测量文成千秋塔的高，在塔前方19m B
处，用测角器测得塔的仰角为500，测角器高 文
1.7m，求此塔的高；
成 千
秋
塔
A α=50O 19米
C
1.7米
E
D
情景引入
文成铜岭山
小红出发地
小强出发地
自主探索
B (铜岭山山顶)
小红
A
西坡 30°
M
50O
A
N
发现规律
对于每一个确定的锐角α，在角的边上任意取
一点B作BC⊥AC于点C，比值 B是C 一个确
定的值．
AB
B
与点B在角的边上的位置无关.
A
C
比值只随着锐角的变化而变化．
那么，比值 AC , BC 呢？ AB AC
一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的
一边上任取一点Ｂ，作ＢＣ⊥ＡＣ于点Ｃ，则比
AB
AB
A
┌ C
AC2+BC2=AB2
sin2 A cos2 A ( BC)2 ( AC)2 AB AB
BC 2 AC 2 AB2 1
练一练
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB.
提示:过点A作AD垂直于BC于D.
A
5
5
B
┌ 6D
C
练一练
当端点A位于D，离地面的高度CD为2m时，倾斜角β 的正切tanβ的值是多少？
tanα的值可以大于100吗
D
？请求出锐角α的正切函
数的范围。
A
C
β Eα B
下课了！
sin∠POB＝0.5．求点P的坐标,并求出OP所在直线的解
析式.
思考：OP所在直线的解析式的比例系数K与∠POB有
什么关系呢?
y
6 5
4
3
2
1
B
0 12 34 5x
课外探索 ： 2、如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在墙上，当端点A离
地面的高度AC长为1m时，竹竿AB的倾斜角α的正切 tanα的值是多少？