函数在某一个点处连续的定义
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闭区间上连续的函数，有最大值 最小值m, 从而区间 闭区间上连续的函数，有最大值M, 最小值 必包含在f(I)中，又函数值最大就是 ，最小是 ， 为[m,M]必包含在 必包含在 中 又函数值最大就是M，最小是m， 所以值域最大也就能为[m,M],因此 因此f(I)=[m,M] 所以值域最大也就能为 因此 若函数在这个区间是增函数，则最大值为 若函数在这个区间是增函数，则最大值为f(b),最小值为 最小值为 f(a),因此值域为 因此值域为[f(a),f(b)]，若是减函数，则值域为 因此值域为 ，若是减函数， [f(b),f(a)] 闭区间上连续函数的几点性质，最大最小值定理， 闭区间上连续函数的几点性质，最大最小值定理， 有界 性定理， 性定理，根的存在定理
x → x0
lim g ( f ( x)) = g ( f ( x0 ))
| g ( f ( x)) g ( f ( x0 )) |< ε
要证明这个极限等于它， 要证明这个极限等于它，按定义 任给 ε > 0 找 δ > 0 当 | x x0 |< δ 时
因为 g在 u0处连续 所以存在 δ 1 > 0 ，当 | u u 0 |< δ 1 时，有 在 | g (u ) g (u 0 ) |< ε 3
| g ( f ( x)) g ( lim f ( x)) |< ε
x → x0
时
因为 g在 a处连续 所以存在 δ 1 > 0 ，当 | u a |< δ 1 时，有 在 处连续
| g (u ) g ( a ) |< ε
lim 又因为 x→ x f ( x) = a 所以对上述的 δ 1 存在 δ 2 > 0 当 0 <| x x 0 |< δ 2时 有 | f ( x) a |< δ 1
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为正整数，则存在唯一正数x 例 3 证明 ：若 r>0, n 为正整数，则存在唯一正数 0， 使得 n x0 = r （称为 的n次正根 即算术根 ，记作 x0 = n r ） 称为r的 次正根 即算术根)， 次正根(即算术根 证明： 存在性: 要证明存在一个数x 证明： 存在性 要证明存在一个数 0， 使得 x0 = r ，利用介 值定理来证明，首先就必须构造一个闭区间上连续的函数， 值定理来证明，首先就必须构造一个闭区间上连续的函数，根 据所要证明的式子， 据所要证明的式子，我们构造函数 y = x n
9
定理4.7 （介值定理） 设函数 在闭区间 介值定理） 设函数f在闭区间 在闭区间[a,b]上连续，且, 上连续， 定理 上连续 f ( a ) ≠ f (b) 若 u 为 介 于 f(a) 与 f(b) 之 间 的 任 何 实 数 （f(a)<u<f(b)或f(a)>u>f(b)）, 则至少存在一点 x0 ∈ (a, b) 或 ） ,使得 使得 f ( x0 ) = u 从而
0
从而
| g ( f ( x )) g ( a ) |< ε
6
即当 所以
x → x0
| x x0 |< δ 2 时，有
lim g ( f ( x)) = g ( lim f ( x))
x → x0
| g ( f ( x)) g ( lim f ( x)) |< ε
x → x0
例 求极限 （1） lim 2 sin x ） x →0 x （2） ）
8
例如 函数 y=x (0,1) 则它既没有最大值也没有最小值 1 x ∈ (0,1) g ( x) = x 闭区间[0,1]上也既没最大值也没有最 函数 闭区间 上也既没最大值也没有最 2 x = 0与1 小值 定理4.6 （最大、最小值定理） 若函数 在闭区间 最大、最小值定理） 若函数f在闭区间 在闭区间[a,b]上连续， 上连续， 定理 上连续 则f在[a,b]上有最大最小值 在 上有最大最小值 有界性定理） 若函数f在闭区间 在闭区间[a,b]上连续，则f在 上连续， 在 推论 （有界性定理） 若函数 在闭区间 上连续 [a,b]上有界 上有界
§2 连续函数的性质
一、函数在某一个点处连续的定义 设函数f在某 内有定义， 设函数 在某 U ( x0 ) 内有定义，若 xlim f ( x) = f ( x0 ) →x 则称f在点 连续。 在点x 则称 在点 0连续。
0
由于函数连续是指这个极限存在并且等于f(x ， 由于函数连续是指这个极限存在并且等于 0)，而极限 具有局部唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、 具有局部唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛 性等， 性等，那同样的这个极限也有这些性质 局部有界性） 若函数f在点 连续， 在点x 定理4.2 （局部有界性） 若函数 在点 0连续，则 f在某 U ( x0 ) 在某 定理 内有界 定理4.3 若函数 在点 0连续，且f(x0)>0(或<0)，则对任何的 若函数f在点 连续， 在点x 定理 或 ， 正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某 正数 或 ，存在某U(x0)， 使得对一切 ， x∈U(x0), 有 ∈ f(x)>r (或f(x)<-r) 或
5
即若 则
x → x0
x → x0
lim f ( x) = a
lim g (u ) = g (a)
u →a
lim g ( f ( x)) = g ( lim f ( x))
x → x0
和刚才证明定理的一样： 和刚才证明定理的一样： 任给 ε > 0 找 δ > 0 当 0 <| x x0 |< δ
又因为 f在x0处连续， 所以对上面的 δ 1 存在 δ 2 > 0 当 在 处连续， | x x0 |< δ 2 时 有 | f ( x) f ( x0 ) |< δ 1 即 | f ( x) u 0 |< δ 1 从而有： 从而有：当 从而
x → x0
| x x0 |< δ 2
时有
| g ( f ( x)) g ( f ( x0 )) |< ε
lim g ( f ( x)) = g ( f ( x0 ))
由这个定理得到
x → x0
lim g ( f ( x)) = g ( f ( x0 )) = g ( lim f ( x))
x → x0
即
x → x0
lim g ( f ( x)) = g ( lim f ( x))
x → x0
4
2 例如 求 lim sin(1 x ) x →1
若f (a) < f (b), 则[ f (a), f (b)] f ([a, b])
若f (b) < f (a), 则[ f (b), f (a)] f ([a, b])
异号，则必有一个正、一个负， 同时当 f (a)与f (b) 异号，则必有一个正、一个负，因此 0必在 必在 这个值域区间中， 这个值域区间中，从而必至少有一个自变量 x0 ∈ [a, b] ，使得 f ( x0 ) = 0 在闭区间[a,b]上连续 ， 且 f(a) 上连续， 推论（ 根的存在定理） 若函数f在闭区间 推论 （ 根的存在定理 ） 若函数 在闭区间 上连续 异号， 使得f(x 与 f(b)异号 ， 则至少存在一个点 0∈[a,b],使得 0)=0,即方 异号 则至少存在一个点x 使得 即方 内至少有一个根。 程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。 在 内至少有一个根 10
P ( x ) = a 0 x n + a1 x n 1 + + a n 1 x + a n 在定义域内的每一点都连续 2
函数 点都连续 Sinx cosx 也是 上的连续函数 也是R上的连续函数 所以得到 tanx cotx 在其定义域内连续
R( x) =
p( x) 是多项式） 是多项式 Q( x) （P,Q是多项式）在其定义域内每一
复合而得到的。 解：这个函数可以看做是由函数 sinu u=1-x2复合而得到的。 由于函数 sinu 1-x2等都是连续函数 所以 lim sin(1 x 2 ) = sin lim(1 x 2 ) = sin 0 = 0
x →1 x →1
其实对于公式
x → x0
lim g ( f ( x)) = g ( lim f ( x))
f(a) 与
f(b)
异号至少一个点的函数值为0 异号至少一个点的函数值为
一般地， 是一个区间， 一般地， y = f ( x), x ∈ I ，I是一个区间，但未必是一个闭区间， 是一个区间 但未必是一个闭区间， c, d ∈ I , 若f (c) ≠ ，d ) f ( 因为函 函数y=f(x)在I上连续，任意取 上连续， 函数 在 上连续 数在I上连续 从而在闭区域[c,d]上连续，因此 ，由闭区间上 上连续， 上连续， 数在 上连续，从而在闭区域 上连续 [ f (c), f ( d )] f ，) ( I 这说明任意的两个不同的 这说明任意的两个不同的 的介值定理有 函数值所组成这个区间都包含在这个函数的值域中， 函数值所组成这个区间都包含在这个函数的值域中，所以值域 是区间， 在 上连续 上连续， 是一个区间， 是区间 是一个区间，即I是区间，且f在I上连续，则函数的值域也是一 个区间。 个区间。
lim 2
x →∞
sin x x
解：这个函数是由这两个函数
lim 2
sin x u,u = 2 x
复合得到
sin x sin x = lim(2 ) =1 x →0 x →0 x x sin x sin x lim 2 = lim(2 )= 2 x →∞ x →∞ x x
7
局部有界性、 函数在某一点处连续的一些性质 :局部有界性、局部保号性、 局部有界性 局部保号性、 复合的连续性 函数在一个闭区间上的连续的性质： 函数在一个闭区间上的连续的性质： 定义1 为定义在数集D上的函数 定义 设f为定义在数集 上的函数，若存在 0∈D，使得对一 为定义在数集 上的函数，若存在x ， 切x∈D,都有 ∈ 都有 f ( x0 ) ≥ f ( x) ( f ( x0 ) ≤ f ( x)) 则称f在 上有最大 最小） 上有最大（ 并称f(x 为 在 上的最 则称 在D上有最大（最小）值，并称 0)为f在D上的最 最小） 大（最小）值。 最大值是1， 例如 函数 y=sinx 在闭区间 [0, π ] 上 最大值是 ， 最小 值是0 值是 是不是任何一个函数在其定义域上都有最大值、 是不是任何一个函数在其定义域上都有最大值、最小值呢 ？
即连续函数的和差仍然是连续函数
x → x0
lim ( f ( x) g ( x)) = f ( x0 ) g ( x0 )
即连续函数的乘积仍然是连续函数 若 g(x0)≠0 则 lim ( f ( x) / g ( x)) = f ( x0 ) / g ( x0 )
x → x0
即在分母不为零的情况下， 即在分母不为零的情况下，连续函数的商仍然是连续函数 都是连续函数， 由前面我们知道 y=c y=x都是连续函数，所以它们的乘 都是连续函数 和差都连续函数， 积，和差都连续函数，f ( x) = f ( x0 )
x → x0
lim g ( x) = g ( x0 )
则有
都在点x 若 f(x), g(x)都在点 0处连续，则根据极限的四则运算法 都在点 处连续，
x → x0
lim ( f ( x) ± g ( x)) = f ( x0 ) ± g ( x0 )
x → x0
并非一定要求里面的函数一定要是连续函数， 并非一定要求里面的函数一定要是连续函数，其实只要里面 的函数在x 处有极限a， 的函数在 0处有极限 ，至于函数在该点处的函数值是否等于 这个a，以及在该点处是否有定义我们都不用管， 这个 ，以及在该点处是否有定义我们都不用管，而外面的函数 在a处又连续 处又连续
对于复合函数y=g(f(x))，若函数 在点 0连续，g在 在点x 定理 4.5 对于复合函数 ，若函数f在点 连续， 在 连续，则复合函数g.f在点 连续。 在点x 点u0=f(x0) 连续，则复合函数 在点 0连续。 证明 在点x 要证明复合函数 gf在点 0连续，按定义，只要证明 在点 连续，按定义，
n
由于
0n=0,
闭区间上连续的函数，有最大值 最小值m, 从而区间 闭区间上连续的函数，有最大值M, 最小值 必包含在f(I)中，又函数值最大就是 ，最小是 ， 为[m,M]必包含在 必包含在 中 又函数值最大就是M，最小是m， 所以值域最大也就能为[m,M],因此 因此f(I)=[m,M] 所以值域最大也就能为 因此 若函数在这个区间是增函数，则最大值为 若函数在这个区间是增函数，则最大值为f(b),最小值为 最小值为 f(a),因此值域为 因此值域为[f(a),f(b)]，若是减函数，则值域为 因此值域为 ，若是减函数， [f(b),f(a)] 闭区间上连续函数的几点性质，最大最小值定理， 闭区间上连续函数的几点性质，最大最小值定理， 有界 性定理， 性定理，根的存在定理
x → x0
lim g ( f ( x)) = g ( f ( x0 ))
| g ( f ( x)) g ( f ( x0 )) |< ε
要证明这个极限等于它， 要证明这个极限等于它，按定义 任给 ε > 0 找 δ > 0 当 | x x0 |< δ 时
因为 g在 u0处连续 所以存在 δ 1 > 0 ，当 | u u 0 |< δ 1 时，有 在 | g (u ) g (u 0 ) |< ε 3
| g ( f ( x)) g ( lim f ( x)) |< ε
x → x0
时
因为 g在 a处连续 所以存在 δ 1 > 0 ，当 | u a |< δ 1 时，有 在 处连续
| g (u ) g ( a ) |< ε
lim 又因为 x→ x f ( x) = a 所以对上述的 δ 1 存在 δ 2 > 0 当 0 <| x x 0 |< δ 2时 有 | f ( x) a |< δ 1
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为正整数，则存在唯一正数x 例 3 证明 ：若 r>0, n 为正整数，则存在唯一正数 0， 使得 n x0 = r （称为 的n次正根 即算术根 ，记作 x0 = n r ） 称为r的 次正根 即算术根)， 次正根(即算术根 证明： 存在性: 要证明存在一个数x 证明： 存在性 要证明存在一个数 0， 使得 x0 = r ，利用介 值定理来证明，首先就必须构造一个闭区间上连续的函数， 值定理来证明，首先就必须构造一个闭区间上连续的函数，根 据所要证明的式子， 据所要证明的式子，我们构造函数 y = x n
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定理4.7 （介值定理） 设函数 在闭区间 介值定理） 设函数f在闭区间 在闭区间[a,b]上连续，且, 上连续， 定理 上连续 f ( a ) ≠ f (b) 若 u 为 介 于 f(a) 与 f(b) 之 间 的 任 何 实 数 （f(a)<u<f(b)或f(a)>u>f(b)）, 则至少存在一点 x0 ∈ (a, b) 或 ） ,使得 使得 f ( x0 ) = u 从而
0
从而
| g ( f ( x )) g ( a ) |< ε
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即当 所以
x → x0
| x x0 |< δ 2 时，有
lim g ( f ( x)) = g ( lim f ( x))
x → x0
| g ( f ( x)) g ( lim f ( x)) |< ε
x → x0
例 求极限 （1） lim 2 sin x ） x →0 x （2） ）
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例如 函数 y=x (0,1) 则它既没有最大值也没有最小值 1 x ∈ (0,1) g ( x) = x 闭区间[0,1]上也既没最大值也没有最 函数 闭区间 上也既没最大值也没有最 2 x = 0与1 小值 定理4.6 （最大、最小值定理） 若函数 在闭区间 最大、最小值定理） 若函数f在闭区间 在闭区间[a,b]上连续， 上连续， 定理 上连续 则f在[a,b]上有最大最小值 在 上有最大最小值 有界性定理） 若函数f在闭区间 在闭区间[a,b]上连续，则f在 上连续， 在 推论 （有界性定理） 若函数 在闭区间 上连续 [a,b]上有界 上有界
§2 连续函数的性质
一、函数在某一个点处连续的定义 设函数f在某 内有定义， 设函数 在某 U ( x0 ) 内有定义，若 xlim f ( x) = f ( x0 ) →x 则称f在点 连续。 在点x 则称 在点 0连续。
0
由于函数连续是指这个极限存在并且等于f(x ， 由于函数连续是指这个极限存在并且等于 0)，而极限 具有局部唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、 具有局部唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛 性等， 性等，那同样的这个极限也有这些性质 局部有界性） 若函数f在点 连续， 在点x 定理4.2 （局部有界性） 若函数 在点 0连续，则 f在某 U ( x0 ) 在某 定理 内有界 定理4.3 若函数 在点 0连续，且f(x0)>0(或<0)，则对任何的 若函数f在点 连续， 在点x 定理 或 ， 正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某 正数 或 ，存在某U(x0)， 使得对一切 ， x∈U(x0), 有 ∈ f(x)>r (或f(x)<-r) 或
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即若 则
x → x0
x → x0
lim f ( x) = a
lim g (u ) = g (a)
u →a
lim g ( f ( x)) = g ( lim f ( x))
x → x0
和刚才证明定理的一样： 和刚才证明定理的一样： 任给 ε > 0 找 δ > 0 当 0 <| x x0 |< δ
又因为 f在x0处连续， 所以对上面的 δ 1 存在 δ 2 > 0 当 在 处连续， | x x0 |< δ 2 时 有 | f ( x) f ( x0 ) |< δ 1 即 | f ( x) u 0 |< δ 1 从而有： 从而有：当 从而
x → x0
| x x0 |< δ 2
时有
| g ( f ( x)) g ( f ( x0 )) |< ε
lim g ( f ( x)) = g ( f ( x0 ))
由这个定理得到
x → x0
lim g ( f ( x)) = g ( f ( x0 )) = g ( lim f ( x))
x → x0
即
x → x0
lim g ( f ( x)) = g ( lim f ( x))
x → x0
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2 例如 求 lim sin(1 x ) x →1
若f (a) < f (b), 则[ f (a), f (b)] f ([a, b])
若f (b) < f (a), 则[ f (b), f (a)] f ([a, b])
异号，则必有一个正、一个负， 同时当 f (a)与f (b) 异号，则必有一个正、一个负，因此 0必在 必在 这个值域区间中， 这个值域区间中，从而必至少有一个自变量 x0 ∈ [a, b] ，使得 f ( x0 ) = 0 在闭区间[a,b]上连续 ， 且 f(a) 上连续， 推论（ 根的存在定理） 若函数f在闭区间 推论 （ 根的存在定理 ） 若函数 在闭区间 上连续 异号， 使得f(x 与 f(b)异号 ， 则至少存在一个点 0∈[a,b],使得 0)=0,即方 异号 则至少存在一个点x 使得 即方 内至少有一个根。 程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。 在 内至少有一个根 10
P ( x ) = a 0 x n + a1 x n 1 + + a n 1 x + a n 在定义域内的每一点都连续 2
函数 点都连续 Sinx cosx 也是 上的连续函数 也是R上的连续函数 所以得到 tanx cotx 在其定义域内连续
R( x) =
p( x) 是多项式） 是多项式 Q( x) （P,Q是多项式）在其定义域内每一
复合而得到的。 解：这个函数可以看做是由函数 sinu u=1-x2复合而得到的。 由于函数 sinu 1-x2等都是连续函数 所以 lim sin(1 x 2 ) = sin lim(1 x 2 ) = sin 0 = 0
x →1 x →1
其实对于公式
x → x0
lim g ( f ( x)) = g ( lim f ( x))
f(a) 与
f(b)
异号至少一个点的函数值为0 异号至少一个点的函数值为
一般地， 是一个区间， 一般地， y = f ( x), x ∈ I ，I是一个区间，但未必是一个闭区间， 是一个区间 但未必是一个闭区间， c, d ∈ I , 若f (c) ≠ ，d ) f ( 因为函 函数y=f(x)在I上连续，任意取 上连续， 函数 在 上连续 数在I上连续 从而在闭区域[c,d]上连续，因此 ，由闭区间上 上连续， 上连续， 数在 上连续，从而在闭区域 上连续 [ f (c), f ( d )] f ，) ( I 这说明任意的两个不同的 这说明任意的两个不同的 的介值定理有 函数值所组成这个区间都包含在这个函数的值域中， 函数值所组成这个区间都包含在这个函数的值域中，所以值域 是区间， 在 上连续 上连续， 是一个区间， 是区间 是一个区间，即I是区间，且f在I上连续，则函数的值域也是一 个区间。 个区间。
lim 2
x →∞
sin x x
解：这个函数是由这两个函数
lim 2
sin x u,u = 2 x
复合得到
sin x sin x = lim(2 ) =1 x →0 x →0 x x sin x sin x lim 2 = lim(2 )= 2 x →∞ x →∞ x x
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局部有界性、 函数在某一点处连续的一些性质 :局部有界性、局部保号性、 局部有界性 局部保号性、 复合的连续性 函数在一个闭区间上的连续的性质： 函数在一个闭区间上的连续的性质： 定义1 为定义在数集D上的函数 定义 设f为定义在数集 上的函数，若存在 0∈D，使得对一 为定义在数集 上的函数，若存在x ， 切x∈D,都有 ∈ 都有 f ( x0 ) ≥ f ( x) ( f ( x0 ) ≤ f ( x)) 则称f在 上有最大 最小） 上有最大（ 并称f(x 为 在 上的最 则称 在D上有最大（最小）值，并称 0)为f在D上的最 最小） 大（最小）值。 最大值是1， 例如 函数 y=sinx 在闭区间 [0, π ] 上 最大值是 ， 最小 值是0 值是 是不是任何一个函数在其定义域上都有最大值、 是不是任何一个函数在其定义域上都有最大值、最小值呢 ？
即连续函数的和差仍然是连续函数
x → x0
lim ( f ( x) g ( x)) = f ( x0 ) g ( x0 )
即连续函数的乘积仍然是连续函数 若 g(x0)≠0 则 lim ( f ( x) / g ( x)) = f ( x0 ) / g ( x0 )
x → x0
即在分母不为零的情况下， 即在分母不为零的情况下，连续函数的商仍然是连续函数 都是连续函数， 由前面我们知道 y=c y=x都是连续函数，所以它们的乘 都是连续函数 和差都连续函数， 积，和差都连续函数，f ( x) = f ( x0 )
x → x0
lim g ( x) = g ( x0 )
则有
都在点x 若 f(x), g(x)都在点 0处连续，则根据极限的四则运算法 都在点 处连续，
x → x0
lim ( f ( x) ± g ( x)) = f ( x0 ) ± g ( x0 )
x → x0
并非一定要求里面的函数一定要是连续函数， 并非一定要求里面的函数一定要是连续函数，其实只要里面 的函数在x 处有极限a， 的函数在 0处有极限 ，至于函数在该点处的函数值是否等于 这个a，以及在该点处是否有定义我们都不用管， 这个 ，以及在该点处是否有定义我们都不用管，而外面的函数 在a处又连续 处又连续
对于复合函数y=g(f(x))，若函数 在点 0连续，g在 在点x 定理 4.5 对于复合函数 ，若函数f在点 连续， 在 连续，则复合函数g.f在点 连续。 在点x 点u0=f(x0) 连续，则复合函数 在点 0连续。 证明 在点x 要证明复合函数 gf在点 0连续，按定义，只要证明 在点 连续，按定义，
n
由于
0n=0,