第11讲 指数函数及其性质(基础)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
指数函数及其性质
【学习目标】
1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；
2.掌握指数函数图象：
(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响；
(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．
3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；
5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】
要点一、指数函数的概念：
函数y=a x (a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像23x
y =⋅，
1
2x
y =，31x
y =+等函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：
①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩x
x
时，a 恒等于，
时,a 无意义.
②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x
y =-，当11
,,24
x x =
=⋅⋅⋅时，
在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x
y ==是个常量，就没研究的必要了． y=a x
0
图象
性质
①定义域R ，值域 （0，+∞）
②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x >1 x>0时，0 ⑤x<0时，00时，a x >1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1x y a ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 举一反三： 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？ （1）4x y =；（2）4 y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-； （5）1 (21)(1)2 x y a a a =-> ≠且；（6）4x y -=． 类型二、函数的定义域、值域 例2．求下列函数的定义域、值域. (1)313x x y =+；(2)y=4x -2x +1；(4)y =(a 为大于1的常数) 举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域： (1)2 -1 2x y = (2)y = (3)y = (4)0,1)y a a =>≠ 类型三、指数函数的单调性及其应用 例3．讨论函数221()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 的单调性，并求其值域． 举一反三： 【变式1】已知函数1 ()x f x a -=（x ≥0）的图象经过点1(2,)2 ，其中a ＞0，a ≠1． （1）求a 的值； （2）求函数1 ()x f x a -=（x ≥0）的值域． 【变式2】求函数2 -2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间. 例4．已知函数, 2 ()(3)2,2 x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，则实数a 取值的范围是 ． 例5．判断下列各数的大小关系： (1)1.8a 与1.8a+1； (2)2 4 -231(),3,()33 1 (3)22.5，(2.5)0， 2.5 1()2 (4)23(0,1)a a a a >≠与 举一反三： 【变式1】下列判断正确的是（ ） A ． 2.5 31.7 1.7> B ． 230.80.8< C ．2 2 ππ< D ． 0.3 0.31.7 0.9> 【变式2】利用函数的性质比较1 2 2，13 3，16 6 【变式3】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 1 32 ()3 的大小.