数学证明方法

数学证明方法

摘要：数学证明是数学学习中非常重要的一部分，数学证明有核实作用，理

解作用，发现作用和思维训练作用，数学证明常用的方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等等。

关键词：数学证明；意义；方法

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它的应用非常广泛，是学习现代科学技术必不可少的基础学科。学习数学，就离不开数学证明，这是由数学证明在数学发展中所起的作用决定的。什么是数学证明呢？许多人认为数学证明是根据相应的公理，法则等来说明结论是正确的一种活动。数学证明是数学学习中非常重要的一部分，在不同的情境中，数学证明有不同方法。

数学证明的方法

（一）综合法和分析法

综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到要

证的结论的方法。分析法则是从要证的结论出发，一步一步的搜索下去，最后达到命题的已知条件的方法。

例1 求证θθsin cos 1-=θθ

cos 1sin +

方法1： 左边 =)cos 1(sin sin 2θθθ+=θθ

cos 1sin +=右边

所以得证。

方法2：右边=θθcos 1sin +=)cos 1)(cos 1()cos 1(sin θθθθ-+-=θθθ2cos 1)

cos 1(sin --

=θθθ2sin )cos 1(sin - =θθ

sin cos 1-=左边

所以得证。

方法3：θθsin cos 1-=2cos 2sin 22sin 22

θθθ=tan 2θ=2cos 22cos

2sin 22θ

θθ=θθcos 1sin +

所以得证。

方法4：要证θθsin cos 1-=θθcos 1sin +只需要证

θθθθsin sin )cos 1)(cos 1(=+-

即要证θθ22sin cos 1=-，显然，这个命题成立，故得证。

上述例题的四种解法中，前三种是用综合法解的，而第四种解法

是用分析法解的。在证明的过程中，我们用到了同角三角函数的关系，半角公式等等。所以，通过数学证明我们不仅理解了这道命题的正确性，还知道了为什么正确，同时还增进了对同角三角函数的关系，半角公式等等的理解。

从例1我们可以看出，综合法的特点是从“已知”逐步推向“未

知”，其逐步推理，实际是要寻找它的必要条件。分析法的特点是从“需知”逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件。

综合法和分析法各有其优缺点。从寻求解题思路来看，综合法是

由已知的寻找未知的，即直接由条件证明结论。但是由条件容易导出许多其它的结论，因而不容易有效。分析法由未知的推向已知的，即由结论慢慢推出所需要的条件，这样比较容易解决问题。就表述证明

的过程而论，综合法的形式比较简洁，条理清晰，分析法由于倒过来叙述，因而比较繁琐，文辞冗长。这也就是说，分析法有利于思考解决问题，综合法宜于表达问题。因此在解题时，可以把分析法和综合法结合起来使用，先以分析法为主，寻找解题思路，再用综合法有条理的表述证明过程。

(二)反证法

通过证明论题的否定命题不真实，从而肯定论题真实性的方法叫

做反证法。

反证法的一般步骤如下：

假设命题的结论不成立，即结论的否定命题成立。

从否定的结论出发，逐层进行推理，得出与公理或前述的定理，

定义或题设条件等自相矛盾的结论，即说证明结论否定不成立。

据排中律，最后肯定原命题成立。

反证法有归谬法与穷举法两种。在应用反证法时如果与原命题结

论相矛盾的方面只有一种可能情况，只要把这种情况推翻，就能肯定结论成立，这种反证法叫做归谬法。如果与原命题相矛盾的方面不止一种情况，就必须把矛盾方面的所有可能的情况一一驳倒，才能肯定结论成立，这种反正法叫做穷举法。

例 2求证2是无理数。

证明：假设2是有理数，且为既约分数q p

，（p>0,q>0），则22q p =2，

222q p ，由此可见p 是偶数，记为2r 。同理又可得q 也是偶数，这与

q p 是既约分数相矛盾。从而2是无理数。 在这道题目中，2只有两种可能，是无理数或者不是无理数。

所以，命题的否定方面只有一种可能情况。因而，我们可以假即设其为有理数，然后推出矛盾证得该题。

例 3在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，已知

OB=OD ，BCD BAD ∠=∠。

求证：四边形ABCD 是平行四边形。

证明：如图，假设四边形ABCD 不是

平行四边形，则由于OB=OD ，所以必有OA ≠OC ，即OAOC 。

若OA∠',OCD D OC ∠>∠'，BCD OCD BCO BAD ∠=∠+∠>∠∴，与BCD BAD ∠=∠矛盾。

如果OC OA >，同理可证，这也是不可能的。

所以，四边形ABCD 是平行四边形。

在该题中，命题的否定方面有两种可能OAOC 。所以，在利用反证法证明时要把这两种否定情况都驳倒才可以。

通过这道题的证明，可以增进人们对平行四边形特征的理解，使

自己的思维更加严谨，缜密。

反证法是一种重要的证明方法，不但在初等数学中有很多的应

用，就是在高等数学中也有着很重要的应用，数学中的一些重要的结论，从最基本的性质，定理到某些难度较大的世界难题，往往是用反