第一部分矢量分析基础演示文稿

矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）
矢量的代数表示
F EH B 矢量可表示为：A eA
D A 其中
eA
A A
A
A 为模值，表征矢量的大小；
eA为单位矢量，表征矢量的方向；
矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示
矢量的几何表示
说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 D。教材
A B
B
A
B
A
AB
B
矢量的乘法 ➢ 矢量与标量相乘
kA exkAx eykAy ezkAz eAk A
标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。
➢ 矢量的标积（点积）
A B A B cosAB
B
Ax Bx Ay By Az Bz
AB
A
说明：
1、矢量的点积符合交换律和分配律：
A B B A A (B C) A B A C
面元矢量 体积元
dSr erdl dl err2sindd dS e dlrdl ezrsindrd dS edlrdl erdrd
dV r2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
说明：球面坐标系下矢量运算：
A er Ar e A e A B er Br e B e B
1.2.4 坐标单位矢量之间的关系
wk.baidu.com
直角坐标与 圆柱坐标系
ex
e cos
e sin
ey
sin cos
ez 0 0
ez
0
0
1
圆柱坐标与 球坐标系
er
e
e
sin cos
e
0
e
ez
0
cos
0 sin
1
0
直角坐标与 球坐标系
ex
ey
ez
er sin cos sin sin cos
直角坐标系
z dSz ezdxdy
dz
dSy eydxdz
o
dy
dx dSx exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
1.2.2 圆柱坐标系
坐标变量
,, z
坐标单位矢量 e , e , ez
位置矢量
r e ez z
线元矢量
dr ed e d ezdz
面元矢量
dS edldlz e ddz dS edldlz eddz dSz ezdldl ez dd
2、两个矢量的点积为标量
3、A B A B 0 A// B A B AB
➢ 矢量的矢积（叉积）
ex ey ez
A B
A B en AB sinAB Ax Ay Az
B
AB sin
Bx By Bz
A
ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx AxBz ) ez ( AxBy Ay Bx )
三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐 标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
1.2.1 直角坐标系
坐标变量
x, y, z
坐标单位矢量 ex , ey , ez
位置矢量 线元矢量
r ex x ey y ez z
体积元
dV dddz
圆柱坐标系 圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：
A e A e A ez Az B e B e B ezBz
加减：A B e (A B ) e (A B ) ez (Az Bz )
标积：A B (e A e A ez Az ) (e B e B ez Bz ) A B A B Az Bz e e ez
第一部分矢量分析基础演示文 稿
优选第一部分矢量分析基础
本章内容
本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基 础内容。
• 矢量代数
• 常用正交坐标系
• 标量场的梯度
• 矢量场的散度 • 矢量场的旋度
本章重点
• 拉普拉斯运算
• 亥姆霍兹定理
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
标量与矢量
标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）
说明：
1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：
A B B A A(B C) A B AC
2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式
A (B C) B (C A) C (A B) A(BC) B(A C) C(A B)
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点 来确定。
上的矢量符号即采用印刷体。
矢量用坐标分量表示
A ex Ax ey Ay ez Az Ax A cos Ay A cos Az A cos
z
Az
A
Ay
Ax O
y
x
A A(ex cos ey cos ez cos ) eA ex cos ey cos ez cos
1.1.2 矢量代数运算
dl exdx eydy ezdz
面元矢量
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
加减：A B er (Ar Br ) e (A B ) e (A B ) 标积：A B (er Ar e A e A ) (er Br e B e B )
Ar Br A B A B er e e
矢积：A B Ar A A Br B B
er ( A B A B ) e ( A Br Ar B ) e ( Ar B A Br )
矢积：A B A A Az e ( A Bz Az B ) e (Az B A Bz ) B B Bz
ez ( A B A B )
1.2.3 球面坐标系
坐标变量
r, ,
坐标单位矢量 er , e , e
位置矢量
r err
线元矢量 dr erdr e rd ersind
球坐标系
A ex Ax ey Ay ez Az B exBx eyBy ezBz
矢量的加法和减法
A B ex (Ax Bx ) ey (Ay By ) ez (Az Bz )
说明： 1、矢量的加法符合交换律和结合律：
A B B A (A B) C A (B C)
2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：