河南省2018年中考数学总复习 第一部分 教材考点全解 第二章 方程(组)与不等式(组)第6讲 一元

类型1 一元二次方程的定义 类型2 一元二次方程的解 类型3 一元二次方程根的判别式 类型4 一元二次方程的应用
类型1 一元二次方程的定义
下列方程是一元二次方程的是( )
A．x2－y＝1
B．x2＋2x－3＝0
C．x2＋1x＝3
D．x－5y＝6
【解析】 选项 A 中，有 x，y 两个未知数，属于二元，不是 一元二次方程，A 错误；选项 B 中，等式两边都是整式，只 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)， 是一元二次方程，B 正确；选项 C 中，等式左边有分式，不 是一元二次方程，C 错误；选项 D 中，含有 x，y 两个未知数， 并且未知数的最高次数是 1，不是一元二次方程，D 错误，故 选 B.
考点三 一元二次方程的实际应用
1．增长率问题 (1)增长率＝增 基长 础量 量×100%； (2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b 为增长后的量，则___a_(1_＋__m__)n_＝__b___，当m为平均下降率，n 为下降次数，b为下降后的量时为__a_(1_－__m__)n_＝__b___.
考点一 一元二次方程的概念及一般解法（高频考点） 考点二 根的判别式及应用 考点三 一元二次方程的实际应用
考点一 一元二次方程的概念及一般解法（高频考点）
1．只含有____1__个未知数 x 的整式方程，并且能化成 _a_x_2_＋__b_x_＋ ___c_＝__0_(_a_，__b_，__c_为___常__数__，__a_≠__0_)___的形式，这样的
命题点1 解一元二次方程(8年2考) 命题点2 一元二次方程根的判别式(8年3考)
命题点1 解一元二次方程(8年2考)
1．(2013·河南3题)方程(x－2)(x＋3)＝0的解( D )
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3
D．x1＝2，x2＝－3
2．(2010·河南5题)方程x2－3＝0的根是( D )
3.“a≠0”是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的重要 组成部分，如果明确了 ax2＋bx＋c＝0 是一元二次方程，就隐 含了 a≠0 这个条件，当 a＝0，b≠0 时，它就成为一元一次 方程.若方程 ax2＋bx＋c＝0 未指明 a≠0，则它不一定是一元 二次方程.
巩固提升
1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( C )
(1)证明：一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|化成一般形式 为x2－5x＋6－|m|＝0.
∵Δ＝25－4(6－|m|)＝1＋4|m|＞0， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)解：把x＝1代入x2－5x＋6－|m|＝0，得|m|＝2， ∴m＝±2. 解方程x2－5x＋6－2＝0，得x1＝1，x2＝4， 即方程的另一个根为x＝4.
2．利率问题：本息和＝本金＋利息；利息＝ __本__金__×__年__利__率__×__年__数_____. 3．销售利润问题：利润＝售价－成本； 利润率＝利 成润 本×100%. 4．列一元二次方程解决实际问题的一般步骤与解一元一 次方程应用题的一般步骤相同，关键是分析清楚题中的等量 关系，然后列出方程并求解． 注意：解方程后既要检验所求结果是否为所列方程的解， 还要检验是否为原问题的解.
A．x2＋1x＝1 C．(x＋1)(x－2)＝1
第二章 方程(组)与不等式(组)
第6讲 一元二次方程及其应用(3～9分)
【版本导航】人教：九上第二十一章 P1—P26； 北师：九上第二章 P30—P58； 华师：九上第二十二章 P17—P46.
一元二次方程及其解法不属于中考的必考内容，但在解 答题中应用一元二次方程解决问题非常普遍，预计以后对其 可能会加大考查的力度，在复习时应给予足够的重视．
A．x＝3
B．x1＝3，x2＝－3
C．x＝ 3
D．x1＝ 3，x2＝－ 3
命题点2 一元二次方程根的判别式(8年3考)
3．(2017·河南6题)一元二次方程2x2－5x－2＝0的根的情况 是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．(2016·河南11题)若关于x的一元二次方程x2＋3x－k＝0有 两个不相等的实数根，则k的取值范围是__k_＞__－__94___. 5．(2015·河南wk.baidu.com9题)已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝ |m|. (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
【答案】 B
1.构成一元二次方程的四个条件：①等式两边都是是整 式方程；②只含有一个未知数(一元)；③未知数的最高次数是 2(二次)；④能化成 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式.不满足其中任 何一个条件的方程都不是一元二次方程.
2.这里说的整式是关于未知数的整式，在有些含有字母 系数的方程中，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有 未知数，这样的方程仍是整式方程.
判别式与根的关系：当Δ＞0时，方程有_两__个__不__相__等____ 的实数根；当Δ＝0时，方程有_两__个__相__等___的实数根；当Δ＜0 时，方程___没__有____实数根．反之，也成立．
2．一元二次方程根与系数的关系(选学内容) 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1，x2，则x1＋x2＝_－__ba__，x1·x2＝___a_c__. 3．以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是_x_2_－__(_x_1＋__x_2_)_x_＋__x_1x_2_＝__0_.
方程叫做一元二次方程．
2．解一元二次方程的基本思路是_降__次_____，基本解法有： __直___接__开__平__方___法、__配__方__法__、公__式___法__、_因___式__分__解__法___；
还可以用图象法估算一元二次方程的近似根．
考点二 根的判别式及应用
1．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判 别式为b2－4ac，记作Δ＝b2－4ac.