圆方程复习课程

半径
r
1 2
D2＋E2－4F
基础知识梳理
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示 圆的充要条件是什么？
【思考·提示】 充要条件是D2 ＋E2－4F＞0.
三基能力强化
2．(2009年高考重庆卷改编)圆心 在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆 的方程是( )
A．y2＋(x－2)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 答案：A
课堂互动讲练
考点二 与圆有关的轨迹问题
求轨迹方程的大致步骤： (1)建立平面直角坐标系，设出动 点坐标； (2)确定动点满足的几何等式，并 用坐标表示； (3)化简得方程，一般情况下，化 简前后方程的解集是相同的，如有特 殊情况，可适当予以说明，即删去增 加的解或补上失去的解．
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例2 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋ y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平 行四边形MONP，求点P的轨迹．
(3)待定系数法的应用，解答中要尽 量减少未知量的个数．
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例1 根据下列条件求圆的方程． (1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直
线2x＋3y＋1＝0上； (2)已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，
且在 y 轴上截得的线段长为 4 3，求圆的方程．
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【思路点拨】 设出圆的标准方 程或一般方程，利用待定系数法求 解，关键是用好所给三个独立条件．
第3课时 圆的方程
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基础知识梳理
1．圆的定义 (1)在平面内，到定点的距离等于定长 的 点的集合叫做圆． (2)确定一个圆的要素是 圆心 和半径 ．
基础知识梳理
2．圆的方程
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝ r2(r＞0)
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆心坐 标
(a，b)
(－D2 ，－E2)
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【解】 (1)显然，所求圆的圆心在 OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程 为： x2＋y2＝ (x－1)2＋(y－1)2即 x＋y－1 ＝0.
解方程组x2＋x＋y－3y1＋＝10＝，0， 得圆心 C 的坐标为(4，－3)．
又圆的半径 r＝|OC|＝5，所以所求圆 的方程为：
(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
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【规律小结】 解决轨迹问题，应注意 以下几点：
(1)求方程前必须建立平面直角坐标系 (若题目中有点的坐标，就无需建系)，否则 曲线就不可转化为方程．
(2)一般地，设点时，将动点坐标设为 (x，y)，其他与此相关的点设为(x0，y0) 等．
(3)求轨迹与求轨迹方程是不同的，求 轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方 程后还要指出方程的曲线是什么图形．
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例3 已知实数x、y满足方程x2＋y2－ 4x＋1＝0.
(1)求xy的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
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【思路点拨】
化x，y满足的关系为(x－2)2＋y2＝3
【思路点拨】 先设出P点、N点 坐标，根据平行四边形对角线互相平 分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆 的方程可求．
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【解】 如图所示，设 P(x， y)， N(x0， y0)，则线 段 OP 的中点坐标为(x2，2y)， 线 段 MN 的 中 点 坐 标 为 (x0－ 2 3，y0＋2 4)．
答案：x2＋y2＋4x－3y＝0
三基能力强化
5．若圆x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－ a＝0关于直线x－y＋1＝0对称，则实 数a＝________.
答案：3
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考点一
求圆的方程
在解决求圆的方程这类问题时，应 当注意以下几点：
(1)确定圆的方程首先明确是标准方 程还是一般方程．
(2)根据几何关系(如题中的相切、弦 长等)建立方程求得a、b、r或D、E、F.
三基能力强化
3．当 a 为任意实数时，直线(a－ 1)x－y＋a＋1＝0 恒过定点 C，则以 C 为圆心， 5为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 答案：C
三基能力强化
4．(教材习题改编)以直线3x－4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直 径的圆的方程是________．
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因为平行四边形的对角线互相平分，
故x＝x0－ 22
3，y＝y0＋ 22
4，从而xy00＝＝yx－＋43
.
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2
＝4. 因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点：(－95，152)和(－251，258)(点 P 在 OM 所在的直线上时的情况)．
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(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ①
将 P、Q 点的坐标分别代入①，得： 4D－2E＋F＝－20，② D－3E－F＝10. ③ 令 x＝0，由①得 y2＋Ey＋F＝0, ④ 由已知|y1－y2|＝4 3，其中 y1、y2 是方程④的 两根，
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所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝ E2－4F＝48, ⑤
解②、③、⑤组成的方程组，得 D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝ －10，E＝－8，F＝4， 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x －8y＋4＝0.
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【名师点评】 一般地，已知圆 心或半径的条件，选用圆的标准式方 程，否则选用一般式方程．另外，还 有几何法可以用来求圆的方程．要充 分利用圆的有关几何性质，如“圆心在 圆的任一条弦的垂直平分线上”“半 径、弦心距、弦长的一半构成勾股关 系”等．
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考点三 与圆有关的最值问题
求与圆有关的最值问题多采用几何法， 就是利用一些代数式的几何意义进行转 化．如(1)形如 m＝xy－－ba的最值问题，可转化
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为动直线斜率的最值问题；(2)形 如t＝ax＋by的最值问题，可转化为直 线在y轴上的截距的最值问题；(3)形 如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题， 可转化为两点间的距离平方的最值问 题．