直线与方程(经典例题)

直线与方程

知识点复习： 一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[

)

90,0∈α时，0≥k ； 当(

)

180,90∈α时，0

90=α时，k 不存

在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：11

2121

y y x x y y x x --=

--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：

1x y a b

+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意：○

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系

平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：

000=++C y B x A （C 为常数）

（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；

（ⅱ）过两条直线0:

1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程

为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。 （6）两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交 交点坐标即方程组⎩⎨

⎧=++=++0

222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 （8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）

是平面直角坐标系中的两个点，

则||AB

（9）点到直线距离公式：一点)00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2

200B

A C By Ax d +++=

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

典型例题

例1. 已知直线过点P （-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l 的方程。

解：设直线的截距式方程为：x a y

b +=1

则有-+-==⎧⎨

⎪⎪⎩⎪⎪54

1125a b

ab ⇒==-a b 52，或，a b =-=524

∴-+=--=直线方程为或852*******x y x y

例2 已知两点A (-3，4)，B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点． （1）求直线l 的斜率的取值范围．（2）求直线l 的倾斜角的取值范围．

分析：如图1，为使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角应介于直线PB 的倾斜角与直线PA 的倾斜角之间，所以，当l 的倾斜角小于90°时，有PB k k ≥；当l 的倾斜角大于90°时，则有PA k k ≤． 解：如图1，有分析知

=PA

k 23)1(4----＝－1， =PB k 23)

1(2---＝3．

∴ （1）1-≤k 或3≤k ．

（2）arctan3≤α≤

43π．

说明：容易错误地写成－1≤k ≤3，原因是或误以为正切函数在[)π,0上单调递增．

图1

x

例3 若三点A )3,2(-，B )2,3(-，C ),2

1(m 共线，求m 的值． 分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在．

解答：由A 、B 、C 三点共线，则AC AB k k =．

∴

22

13

2332+-=+--m ，解得21=m ． 说明：由三点共线求其中参数m 的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公式，面积公式等，但用斜率公式求m 的方法最简便．

例4. 在直线上求一点，使点到两点（，），（，）的3101120x y P P -+=- 距离相等。 分析：（1）设P （x ，y ），则有y ＝3x ＋1，故点P 的坐标为（x ，3x ＋1），由距离公式得x 的方程，解得x ＝0。 （2）设P （x ，y ），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线方程为x ＋y －1＝0，再解方程组得P （0，1）。

解法1：设P （x ，y ），则有y ＝3x ＋1 故点P 的坐标为（x ，3x ＋1）

()()()()由距离公式得：

x x x x -++=

-++13223122

22

解之得：x ＝0

∴所求的点为P （0，1） 解法2：设P （x ，y ），两点（1，-1），（2，0）所连线段的中垂线方程为： x y +-=<>10

1 又3102x y -+=<>

解由<1>、<2>组成的方程组得：P （0，1）

练习:

1. 直线ax by ab +=≠10()与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）

A. 12ab

B.

12

ab C. 1

2ab

D.

12ab

2. 过点A （4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ） A. x y +=5 B. x y -=5

C. x y +=5或x y -=40

D. x y -=5或x y +=40