三角函数的定义最新版.ppt

sin
R
cos tan , sec
R { | k , k Z}
2
cot,csc { | k , k Z}
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9
相关训练
1.若角 终边上有一点P 3，0，则下列函数值不存在
的是（ ）． A．sin B．cos C．tan D．cot
2.函数 y tan x cot x 的定义域是（ ）．
x x
|
的值域是
(
C
)
(A) {－1，1}
(B) {－1，1，3}
(C) {－1，3}
(D) {1，3}
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21
2.已知角θ的终边上有一点P(－4a, 3a)(a≠0),则
2sinθ+cosθ的值是 ( ) C
(A) 2
5
(C) 2 或 － 2
5
5
(B) － 2
5
(D) 不确定
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又因为②式tan 0 成立，所以角 的终边可能位于
第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
反过来请同学们自己证明.
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18
例5.若三角形的两内角，满足sincos<0， 则此三角形必为（ B ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三种情况都可能
15
探究： 三角函数值在各象限的符号
P(x,y)
sin y
r
o
x
cot
x y
cos x
r sec r
x
tan y
x
csc r
y
y
（）
o
x
（ ）（ ）
sin
y
（ ）（ ）
o
x
（ ）（ ）
cos
y
（ ） （ ）
o
x
（
）（
tan
）
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16
练习： 确定下列三角函数值的符号：
sinα=
y 3 13 r 13
tanα=
y 3 x2
cosα= cotα=
x 2 13 r 13 x 2 y3
secα= r 13
x2
cscα=
r 13 y3
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变式1：已知角α的终边过点P（2a，－3a）(a<0)， 求α的六个三角函数值。
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12
例2. 求下列各角六个三角函数值： （1）0；（2）π；（3） 3
2
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13
变式：角 的终边在直线 y 2x 上，求
的六个三角函数值．
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14
例3. 角α的终边过点P(－b，4)，且cosα=
3 5
则b的值是（ A ）
（A）3 （B）－3 （C）±3 （D）5
解：r= b2 16
cosα=
x r
b 3 b2 16 5
解得b=3.
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1
1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
c
Oa
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P
b
sin c
b
a
cos c
M
b
tan a
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2
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
b
Oa M y
x
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3
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
22
3. 设A是第三象限角，且|sin A |= －sin A ,则
2
2
A 2
是
(
D
)
(A)第一象限角
(B) 第二象限角
(C)第三象限角
(D) 第四象限角
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23
4. sin2·cos3·tan4的值 ( B )
(A)大于0
(B)小于0
(C)等于0
(D)不确定
5.若sinθ·cosθ＞0, 则θ是第 一、象三限的角
4
0
.
练习 确定下列三角函数值的符号
cos16
5
sin( 4 )
3
tan(17 )
8
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17
例4 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角. sin 0 ①
tan
0
②
证明：
因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三
或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
x
xl O
它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。
终边相同的角，三角函数值分别相等。
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6
角α的其他三种函数：
角α的正割：
sec
1
cos
r x
角α的余割：
csc
1
sin
r y
角α的余切：
cot 1 x tan y
我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看 成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种 函数统称三角函数．
A．x
x
R，x
2
，x
B．x
x
R，x
k 2
，k
Z
C．x xR，x k，k Z
D．
x
x
R，x
k
2
，k
Z
（3）若 sin m 3 ，cos 4 2m 都有意义，则
m5
m5
m ________
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10
例1.已知角α的终边过点P（2，－3），求α的 六个三角函数值。
解：因为x=2，y=－3，所以 r 13
（1）cos 250（2）tan( 672)（3）sin
解：（1）因为
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250 是第三象限角，所以cos250 0
4
；
（2）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan 48，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（3）因为
4
是第四象限角，所以
sin
OP
M P OP
cos OM OM
M x
OP OP
tan MP M P
OM OM
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5
任意角的三角函数 :
y
记作xrsi叫n叫α做做，角角即αα的s的in余α正=弦弦，，ry；
y
记记作r作xytc叫aons做αα，角,即即αc的otsa正αn=α切= ，rx；xy
P
r yA
m
其中:
OM a
sin MP b
OP r
MP b OP r a2 b2
cos OM a
OP r
y
﹒Pa, b
tan MP b
OM a
o
﹒ Mx
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4
诱思 探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
﹒ P(a,b)
O
M
OMP ∽ OMP
P
sin MP
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7
三角函数是以实数为自变量的函数
实数 →角（其弧度数等于这个实数） →三角函数值（实数）
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下面我们研究这些三角函数的定义域：
P(x,y)
sin y
r
o x cot
比值不随P点位置的改变而改变
x y
cos x
r sec r
x
tan y
x
csc r
y
三角函数
定义域
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例6.已知 1 sin 2 1 ，则为第几象限角？
解：因为
2
1
sin
2
1，所以sin2 >0,
2
则2kπ<2<2kπ+π, kπ<<kπ+
2
所以是第一或第三象限角.
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20
练习
1.函数y=
| sin x | sin x
+ cos x
| cos x |
+
|
tan tan