中考复习《图形的变换》尺规作图

02 考点突破
·考点1 三角形基本作图 ·考点2 组合作图
考点1 三角形基本作图
例 1 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3.
(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB 的平分线，交斜边 AB 于点 D；
②过点 D 作 BC 的垂线，垂足为点 E.
图1
【点拨】利用基本作图，先作出 CD 平分∠ACB，然后作 DE⊥ BC 于 E；
考点2 组合作图 例 2 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规
作图过程． 已知：四边形 ABCD 是平行四边形． 求作：菱形 ABEF(点 E 在 BC 上，点 F 在 AD 上)． 作法：①以 A 为圆心，AB 长为半径作弧，交 AD 于点 F； ②以 B 为圆心，AB 长为半径作弧，交 BC 于点 E； ③连接 EF.则四边形 ABEF 为所求作的菱形．
解：如图，过点 N 作 NH⊥OP 于 H.
∵AB＝ON＝OP＝a，∴正方形 ABCD 的面积 S1＝a2，
在 Rt△ONH 中，∵∠NOH＝45°，ON＝a，∴NH＝ 22a，
∴菱形
OPMN
的面积
S2＝
22a2，∴SS12＝
a2 ＝ 22a2
2.
2．【2020·厦门质检·10 分】如图，在△ABC 中，∠B＝90°，点 D 在边 BC 上，连接 AD，过点 D 作射线 DE⊥AD.
在 Rt△ABD 中，cos∠BAD＝AADB.
∵cos∠BAD＝23，∴AADB＝23，∴DBMC ＝23. ∵BC＝6，∴DM＝9.
(1)在射线 DE 上求作点 M，使得△ADM∽△ABC，且点 M 与点 C 是对应点；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：方法一：如图①，点 M 即为所求． 方法二：如图②，点 M 即为所求．
①
②
(2)在(1)的条件下，若 cos∠BAD＝23，BC＝6，求 DM 的长． 解：∵△ADM∽△ABC，∴DBMC ＝AADB.
根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形(图 2)；(保留作图痕迹)
图2 【点拨】本题需要掌握菱形的判定定理之一，即邻边相等的平行 四边形是菱形，然后再利用尺规进行作图，作此类问题时需要掌 握各类四边形的判定和性质．
解：如答图2所示，四边形ABEF为所求作的菱形． 答图2
(2)完成下面的证明． 证明：∵AF＝AB，BE＝AB， ∴_____A_F____＝____B_E_____． 在▱ABCD 中，AD∥BC， 即 AF∥BE. ∴四边形 ABEF 为平行四边形．
名称
3.作角 的平分 线
图示
作法
(1)以 O 为圆心，①_任__意__长___为半径作弧， 分别交 OA，OB 于点 M，N. (2)分别以点 M，N 为圆心，以②_大__于_____12 MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 P. (3)连接 OP，则 OP 即为∠AOB 的平分线.
名称
4.作线 段的垂 直平分 线
∵AF＝AB， ∴四边形 ABEF 为菱形(邻__边__相__等__的__平__行__四__边__形__是__菱__形__)(填推
理的依据)．
例 3 如图 3，△ABC 内接于⊙O，动手操作．
(1)求作：△ABC 的内切圆⊙I；(要求：尺规作图，不写作法，但
保留作图痕迹) 【点拨】根据△ABC 的内心是三条角平
例 4 如图 4，在△ABC 中，点 P 是 AC 上一点，连接 BP，求作 一点 M，使得点 M 到 AB 和 AC 两边的距离相等，并且到 点 B 和点 P 的距离相等．(不写作法，保留作图痕迹)
图4
【点拨】本题需要掌握角平分线以及垂直平分线的性质，角平分 线上的点到角两边的距离相等，垂直平分线上的点到线段两端点 的距离相等，那么交点就是符合两个条件的所求点.
分线的交点即可作出内切圆⊙I；
解：如答图3，⊙I就是所 求作的△ABC的内切圆．
图3 答图3
(2)若 AI 与⊙O 交于点 D，连接 BD，DC.求证：BD＝DI＝DC.
【点拨】根据 AI 与⊙O 交于点 D，利用在同(等)圆中，同(等)弧 所对的圆周角相等即可证明 BD＝DI＝DC.
证明：∵⊙I 是△ABC 的内切圆，∴∠BAI＝∠CAI. ∴B︵D＝C︵D，∴BD＝DC. ∵∠DIB＝∠ABI＋∠BAI，∠DBI＝∠DBC＋∠IBC， ∠ABI＝∠CBI，∠DBC＝∠DAC＝∠BAI，∴∠DBI＝∠DIB， ∴BD＝DI. ∴BD＝DI＝DC.
名称
5.过一 点作已 知 直线l 的垂线
图示
作法
(2)过直线 l 外一点 P 作直线 l 的垂线 PN： ①在直线另一侧取点 M； ②以点 P 为圆心，PM 长为半径画弧，分 别交直线 l 于 A，B 两点；
③分别以点 A，B 为圆心，以大于12AB 长 为半径画弧，交于点 N； ④过点 P，N 作直线 PN，则直线 PN 即为 所求垂线.
知识点2 组合作图
名称
图示
作法
形状
1.作圆 的内接 正方形
在⊙O中用直尺和圆规作两条互相垂直的 直径，将⊙O四等分，从而作出正方形．
名称
2.作圆 的内接 正六边 形
图示
作法
(1)画⊙O的任意一条直径AB. (2)以点A，B为圆心，以⊙O的半径R为半 径画弧，与⊙O相交于点C，D和E，F. (3)顺次连接点A，C，E，B，F，D，即 可得到正六边形ACEBFD.
教材梳理
第六章 图形的变换 第33课时 尺规作图
目录
01 知识梳理 02 考点突破
03 福建4年中考聚焦
01 知识梳理
·知识点1 五种基本作图 ·知识点2 组合作图
知识点1 五种基本作图
名称
图示
1.作一条线段 等于已知线段
作法 (1)作射线OP； (2)在OP上截取OA＝a，
OA即为所求线段．
解：如答图1，CD，DE即为所作． 答图1
(2)在(1)作出的图形中，求 DE 的长． 【点拨】利用 CD 平分∠ACB 得到∠BCD＝45°，再判定△CDE 为等腰直角三角形，得到 DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC， 从而利用相似比计算出 DE.
解：∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD＝12∠ACB＝45°. ∵DE⊥BC，∴△CDE 为等腰直角三角形，∴DE＝CE. 易知 DE∥AC，∴△BDE∽△BAC， ∴DACE＝BBEC，即D2E＝3－3DE，∴DE＝65.
名称
2.作一 个角等 于已知 角
图示
作法
(1)在∠α上以O为圆心，以任意长为 半径作弧，交∠α的两边于点P，Q； (2)作射线O′A′； (3)以O′为圆心，OP长为半径作弧， 交O′A′于点M； (4)以点M为圆心，PQ长为半径作弧 交(3)中所作的弧于点N； (5)连接O′N，延长至B′，则∠A′O′B′ ＝∠α.
解：如答图4，点M即为所求．
答图4
03 福建4年中考聚焦
1Baidu Nhomakorabea
2
1．【2020·莆田质检·10 分】已知边长为 a 的正方形 ABCD 和∠O ＝45°，如图，
(1)以∠O 为一个内角作菱形 OPMN，使 OP＝a(要求：尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹)；
解：如图，菱形OPMN即为所求．
(2)设正方形 ABCD 的面积为 S1，菱形 OPMN 的面积为 S2，求SS12 的值．
图示
作法
(1)分别以点 A，B 为圆心，以大于12AB 长为半径，在 AB 两侧作弧，分别交 于点 M 和点 N.
(2)过点 M，N 作直线 MN，直线 MN 即 为线段 AB 的③垂__直__平__分__线__.
名称
5.过一 点作已 知 直线l 的垂线
图示
作法 (1)过直线 l 上一点 O 作直线 l 的垂线 MN： ①以点 O 为圆心，任意长为半径向点 O 两 侧作弧，分别交直线 l 于 A，B 两点； ②分别以点 A，B 为圆心，以大于12AB 长为 半径向直线两侧作弧，两弧分别交于点 M， N，过点 M，N 作直线 MN，则直线 MN 即 为所求垂线.